小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合思想是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，涉及數(shù)學(xué)的兩大研究對(duì)象一數(shù)與形。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，還能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，有效培養(yǎng)他們的空間觀念。通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，順利發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題隱含的數(shù)量關(guān)系，從而提高解題的效率和準(zhǔn)確度。由此可見(jiàn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想十分重要。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的一種重要思維方法，其核心在于將抽象的“數(shù)”（包括數(shù)字、數(shù)量關(guān)系、函數(shù)關(guān)系式等）與直觀的“形”（包括圖形、圖像等）巧妙地結(jié)合起來(lái)。該思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究和解決過(guò)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的確切定義尚未統(tǒng)一，不同學(xué)者從各自的研究視角提出了不同的理解。于冬梅基于解決問(wèn)題的角度討論數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)為數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過(guò)“以數(shù)解形”或“以形助教”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而找到解題途徑[1]。崔為虹則從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的角度分析數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)為數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表達(dá)，數(shù)形結(jié)合就是將較難理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，借助簡(jiǎn)單的圖像來(lái)理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言[2]。

綜合上述觀點(diǎn)，筆者認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想可以讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，更加關(guān)注數(shù)與形的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系，從而更順利地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。掌握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)在于準(zhǔn)確把握數(shù)與形之間的關(guān)系。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想不僅可以為學(xué)生提供更加豐富的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題路徑與方法，還能有效促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知與思維發(fā)展[3]。

二、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值

（一）輔助教學(xué)，化難為易

升入小學(xué)高年級(jí)后，學(xué)生會(huì)感覺(jué)數(shù)學(xué)知識(shí)的難度大幅增加，無(wú)論是數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的知識(shí)，還是圖形與幾何領(lǐng)域的知識(shí)，都變得更加抽象、難懂。在這一階段，學(xué)生可能開(kāi)始遇到挫折，比如發(fā)現(xiàn)自己無(wú)法準(zhǔn)確地完成分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算，難以利用圓的周長(zhǎng)和面積公式解決問(wèn)題，不理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義等。盡管小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的思維方式已經(jīng)逐漸從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡，但是教師仍然應(yīng)當(dāng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助具體形象的事物來(lái)加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。此時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)這些相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

比如教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在閱讀教材中的文字表述和公式后，無(wú)法真正理解平均數(shù)的含義，就可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形理解這一數(shù)學(xué)概念。通過(guò)“移一移”和“補(bǔ)一補(bǔ)”兩項(xiàng)動(dòng)手操作任務(wù)，學(xué)生可以實(shí)際體驗(yàn)將數(shù)據(jù)平均化的過(guò)程，由此理解平均數(shù)的計(jì)算思路和計(jì)算方法，并體會(huì)到平均數(shù)的含義和作用。

（二）輔助解題，厘清思路

數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生解決相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。面對(duì)涉及數(shù)量關(guān)系、函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題，學(xué)生可以利用圖形將抽象的概念具體化、清晰化；面對(duì)涉及幾何圖形的問(wèn)題，學(xué)生可以引入數(shù)量分析以確保自己推理的準(zhǔn)確性。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生解題的速度和效率會(huì)逐步提高，解決問(wèn)題的信心也會(huì)逐漸增強(qiáng)。

比如教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算分?jǐn)?shù)除法時(shí)常常出錯(cuò)，于是指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想理解分?jǐn)?shù)除法知識(shí)。教師在黑板寫(xiě)下‘ ，然后繪制一個(gè)被7等分的長(zhǎng)方形，并將其中的4份涂上顏色，再給4份的一半畫(huà)斜線，如圖1所示。接下來(lái)，教師對(duì)學(xué)生說(shuō)：“我們可以用這個(gè)被7等分的長(zhǎng)方形來(lái)表示整體的‘1’，那么 ，就意味著把長(zhǎng)方形的上色區(qū)域分成2份。大家可以數(shù)出來(lái)長(zhǎng)方形上色區(qū)域被2等分的結(jié)果嗎？”學(xué)生很快回答：“上色區(qū)域被分為2份，每份會(huì)有2個(gè)小長(zhǎng)方形！”教師繼續(xù)說(shuō)：“沒(méi)錯(cuò)！上色區(qū)域被2等分后，每份包含2個(gè) 即 ，所以" 4/"7÷"2 =" 2/"7"。"隨后，教師還指導(dǎo)學(xué)生思考分?jǐn)?shù)乘法 的結(jié)果，初步感知分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)在聯(lián)系。

（三）建立模型，獲得經(jīng)驗(yàn)

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要分析和研究一些數(shù)學(xué)模型，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法解決問(wèn)題，由此形成模型意識(shí)。數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生理解相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)通用的解題技巧，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)[4]，從而在面對(duì)數(shù)學(xué)難題時(shí)更加自信。

三、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的策略

（一）“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)

1.數(shù)形結(jié)合，理解概念

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)公理、定理、法則和公式的基礎(chǔ)。正確理解并且能夠靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算技能，發(fā)展邏輯思維和空間想象力的前提。然而一些數(shù)學(xué)概念具有較強(qiáng)的抽象性，小學(xué)生不太容易理解[5]。在這種情況下，教師宜引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助具體的圖形理解抽象的數(shù)學(xué)概念，使抽象的知識(shí)變得形象、易懂。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“負(fù)數(shù)”的教學(xué)為例。為了讓學(xué)生理解負(fù)數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)概念，教師展示溫度計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合溫度計(jì)刻度旁的數(shù)值理解負(fù)數(shù)的意義，比較負(fù)數(shù)的大小。這種直觀的教學(xué)方式有助于學(xué)生理解負(fù)數(shù)的概念，把握負(fù)數(shù)的本質(zhì)。此后，教師還繪制數(shù)軸，用正數(shù)、負(fù)數(shù)分別表示人向東走、向西走的距離，借此加深學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的理解。

2.數(shù)形結(jié)合，理解算理

算理和算法關(guān)系密切，算法的實(shí)踐需要算理的理論支持，而對(duì)算理的正確理解則是成功執(zhí)行算法的前提。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)小學(xué)生應(yīng)具備一定的運(yùn)算能力，這要求教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生正確完成計(jì)算，還要啟發(fā)他們理解運(yùn)算背后的基本原理。在教學(xué)時(shí)，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生理解與算式有關(guān)的抽象概念，深化對(duì)計(jì)算本質(zhì)的認(rèn)知，從而順利掌握算理的精髓，進(jìn)而逐步發(fā)展運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)［]。

在進(jìn)行人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)時(shí)，教師利用線段圖，揭示分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法間的轉(zhuǎn)化規(guī)律，以深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法原理的理解。在課堂上，教師創(chuàng)設(shè)如下教學(xué)情境：“晨晨 小時(shí)能夠走2千米，那么她1小時(shí)能走多少千米？”由此，教師引出分?jǐn)?shù)除法算式— ，接下來(lái)，教師使用線段圖來(lái)揭示其中的數(shù)量關(guān)系（如圖2所示），引導(dǎo)學(xué)生先算出晨晨 小時(shí)走的路程，再求晨晨1個(gè)小時(shí)（即3個(gè) 小時(shí)）能走多少千米，得出算式 0通過(guò)上述分析，學(xué)生理解了“一個(gè)數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘上這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”這個(gè)算理。掌握算理的本質(zhì)后，學(xué)生自然能夠更順利地使用這一算理進(jìn)行計(jì)算。由此，學(xué)生也能體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

3.數(shù)形結(jié)合，厘清關(guān)系解答一部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵在于理解題目隱含的數(shù)量關(guān)系。小學(xué)階段學(xué)生的抽象邏輯思維仍相對(duì)較弱，有時(shí)他們難以直接通過(guò)文字?jǐn)⑹隼斫忸}目隱含的數(shù)量關(guān)系。教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想理解相對(duì)復(fù)雜的題目，將題目中的文字描述轉(zhuǎn)化為圖形，借此捕捉問(wèn)題中的關(guān)鍵信息，找到解題思路。

（二）“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)

1.數(shù)形結(jié)合，認(rèn)識(shí)圖形

借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)，學(xué)生可以更準(zhǔn)確地描述圖形的大小、形狀等幾何特性，加深對(duì)圖形性質(zhì)的理解，掌握計(jì)算周長(zhǎng)、面積和體積的技巧[7]。

在教授人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物模型入手認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體。此后，教師再指導(dǎo)學(xué)生分析長(zhǎng)方體和正方體的幾何特性，并嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述長(zhǎng)方體和正方體的幾何特性，比如總結(jié)“長(zhǎng)方體由6個(gè)面組成，有8個(gè)點(diǎn)，12條棱”。掌握長(zhǎng)方體和正方體的幾何特性后，學(xué)生更容易理解計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體周長(zhǎng)、表面積和體積的公式。

在教授人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“圓”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，由此理解圓周率π這一概念。在學(xué)生掌握?qǐng)A的幾何特性后，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生利用代數(shù)方法探索圓面積的計(jì)算公式。

2.數(shù)形結(jié)合，描述位置

在小學(xué)階段，教師需要初步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生逐步具備形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在教授人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“圖形的運(yùn)動(dòng)（三）”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上繪制圖形，由此理解圖形的平移、翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)，學(xué)習(xí)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述圖形的運(yùn)動(dòng)方式和位置。這樣的教學(xué)方式可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

在教授人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“位置與方向（二）”時(shí)，教師可以結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，然后引入平面直角坐標(biāo)系，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的橫軸、縱軸描述物體的位置與運(yùn)動(dòng)方向。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以找到更豐富的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路，實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展。教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想理解數(shù)學(xué)概念、算理，分析數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識(shí)幾何圖形，描述圖形的運(yùn)動(dòng)和物體的位置，幫助學(xué)生逐步形成抽象思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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