數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在教育改革的浪潮中，學(xué)生自學(xué)能力培養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合解題能力培養(yǎng)已經(jīng)成為教育領(lǐng)域關(guān)注的焦點.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略顯得尤為重要.通過將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的圖形相結(jié)合，幫助學(xué)生在腦海中構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識的生動畫面，從而加深對概念的理解.

1在題目解析中創(chuàng)設(shè)情境，全面滲透數(shù)形結(jié) 合解題思想

在初中數(shù)學(xué)的解題過程中，數(shù)形結(jié)合的方法得到了廣泛的運用.隨著課程改革的推進(jìn)，學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣也日益濃厚[.在解題時可以通過結(jié)合數(shù)學(xué)與圖形的概念來繪制問題的初步草圖，并利用假設(shè)或反推等策略來深入分析和應(yīng)用問題的條件.

例1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=-x²+ 5x-4 與直線 相交于點 A 和點 B ，拋物線與 x 軸的另一個交點為 C 已知點 A 位于 x 軸上，求ΔABC 的面積.

解析 本題綜合了幾何與函數(shù)知識，需通過以下步驟解決.

數(shù)形結(jié)合定位關(guān)鍵點：拋物線與 x 軸的交點可通過解方程 -x²+5x-4=0 得到，即 x=1 和 x=

4，對應(yīng)點 A（1，0） 和 C（4，0） .聯(lián)立拋物線 y=-x²+ 5x-4 與直線 y=x-1 ，求交點 A 和 B 的坐標(biāo).通過代數(shù)運算可得交點 B（3，2） ：

幾何分析計算面積：確定三角形頂點坐標(biāo)A（1，0）， B（3，2） ？ C（4，0） 后，利用坐標(biāo)計算面積

求拋物線與 x 軸的交點：解方程 -x²+5x-4 =0 ，因式分解得一 ，故交點為A（1，0） 和 C（4，0） ·

求拋物線與直線的交點：聯(lián)立 y=-x²+5x- 4與 _y=x-1 ，得方程： x-1=-x²+5x-4?x²- 4x+3=0?（x-1） （x-3）=0 解得 x=1 或 x= 3，對應(yīng)點 A（1，0） 和 B（3，2） ·

使用三角形的面積公式：由于 AC 在 x 軸上，因此 ΔABC 的面積可以用底乘以高再乘以二分之一來求解.通過繪制拋物線、直線及它們的交點草圖，可以直觀地理解三角形的位置關(guān)系，從而避免了純代數(shù)計算所帶來的抽象性.通過代數(shù)運算可以精確地求出點的坐標(biāo)，而通過幾何圖形則可以驗證這些結(jié)果的合理性.將數(shù)值與圖形相結(jié)合，不僅提高了學(xué)生解題的效率，還加深了學(xué)生對函數(shù)與幾何之間關(guān)系的理解.

2充分融合數(shù)形結(jié)合思想，全面豐富解題方法

圖形輔助解題在處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時尤其重要，特別是在初中數(shù)學(xué)中.利用圖形輔助思考，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思維方法，以數(shù)解形，以形助數(shù)，可以直觀分析問題，找出關(guān)鍵要素和內(nèi)在聯(lián)系，從而提高解題效率和準(zhǔn)確性.

例2如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知四邊形ODCB為矩形.已知點 B 和點 D 的坐標(biāo)分別是（6，0）和（0，4），設(shè) k且xgt;0的函數(shù)圖象過線段 OC 的中點 A ，并且與線段 DC 和 BC 分別在點 E 和點 F 相交.假設(shè)直線 EF 為 y=k₂x+b 元（1）求出直線 EF 與反比例函數(shù)的解析式.

（2）計算 ΔOEF 的面積.

解析分析問題（1）時，明確點 A 坐標(biāo)尤為關(guān)鍵，基于函數(shù)圖象可知， ΔOEF 的面積可以通過用矩形ODCB的面積減 ΔODE ， ΔOBF ， ΔCEF 的面積得出，已知點 B 和點 D 的坐標(biāo)分別是（6，0）和（0，4），可知點 C 是（6，4），由線段 OC 中點為點 A 可以得出 A 的坐標(biāo)是 A（3，2） ，所以 k₁=6 .故反比例函數(shù)解析為 .將 x=6 代人，可得 y=1 ，所以點 F 坐標(biāo)為（6，1）.同理點 E 的坐標(biāo)是 .隨后，將點 E 和點 F 代入直線解析式可得 =5 .基于此，問題（2）中 ΔOEF 面積是： S_ΔOEF=

3綜合歸納，使數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用更為完善

提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力需要持續(xù)的邏輯推理和歸納總結(jié)，同時教師要為學(xué)生創(chuàng)造自主探索的學(xué)習(xí)環(huán)境.數(shù)形結(jié)合思想是解決復(fù)雜問題的有效方式，學(xué)生應(yīng)學(xué)會概括數(shù)學(xué)概念，反思并提出解決策略.通過建立完整知識結(jié)構(gòu)，深人理解數(shù)形結(jié)合概念，發(fā)掘高效應(yīng)用策略，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

例3觀察圖2，圓 O 的直徑為MN，點 P 在MN上且弦 AB 與弦 CD 相交于點 P .已知 ∠APM 等于 ∠CPM 問 AB 與 CD 之間的數(shù)量關(guān)系，并解釋其原因.

解析解題需要使用圓、三角形等知識，這道題是對學(xué)生基本知識、理解能力及反應(yīng)能力的考查，需要學(xué)生將所學(xué)知識與已知條件相結(jié)合.基于數(shù)形結(jié)合思想，經(jīng)過圓心 O 作 OE，OF 分別與 AB，CD 垂直，垂足分別是點 E，F(xiàn) ，因 ∠APM=∠CPM ，所以∠OPF=∠OPE ，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得出 OE 等于 OF ，連接 _OD，OB ，則 OD=OB ，所以 RtΔOFD 則 DF=BE 以此得出 AB=CD

學(xué)生在回答問題后，應(yīng)深入融合和內(nèi)化所學(xué)知識，提煉和總結(jié)以真正掌握知識點.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用多種方法探索和思考，培養(yǎng)解決問題的能力.教師可鼓勵學(xué)生多角度分析問題，通過實踐、討論、反思等方式深化理解.利用數(shù)形結(jié)合思想整理問題，從而直觀理解抽象概念，全面系統(tǒng)思考.這有助于構(gòu)建全面深入的數(shù)學(xué)知識體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).

4結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想能夠顯著提高學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，將數(shù)形結(jié)合思想融人初中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以更直觀地揭示數(shù)量之間的深層聯(lián)系，這是一種極為有效的解題策略.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用圖形等多種方式來解答題目，幫助其形成良好的思維習(xí)慣.這種方法不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還有助于培養(yǎng)其邏輯思維技巧，全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成效，為學(xué)生提供更加豐富的學(xué)習(xí)體驗.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳玉萍.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透的有效策略[J].甘肅教育研究，2024（17）：61-63.