例談二次函數(shù)中的三角形面積問題的解題研究

二次函數(shù)是初中的重要知識，也是中考的?？贾R點(diǎn)，其中二次函數(shù)中的三角形面積問題更是中考的熱點(diǎn)題型.本文對各地區(qū)，特別是北師大版初中數(shù)學(xué)教材使用地區(qū)的中考題，教材例題和習(xí)題，各地模擬題進(jìn)行梳理分析，總結(jié)出二次函數(shù)中的三角形常見的三類問題，分別是求三角形面積，已知三角形面積求其他量和求三角形面積的最值問題.本文將基于這三種類型的題目展開討論，并總結(jié)出答題策略，下面一一展開研究.

1求三角形的面積的問題

這種題型是已知三角形的底和高，或者根據(jù)已知條件可以直接把三角形的底和高求出來，然后利用三角形的面積公式求三角形面積.

例1已知拋物線 y=-x²+4x+12 ，拋物線與 x 軸的兩個交點(diǎn)為 A，B ，與 軸的交點(diǎn)為 C ，求三角形ABC的面積.

解已知拋物線 y=-x²+4x+12 ，

所以當(dāng) y=0 時，

-x²+4x+12=0

即 x²-4x-12=0 ，

解得 x₁=-2，x₂=6 ，

所以 A（-2，0），B（6，0）

當(dāng) x=0 時， y=12 ，

所以 C（0，12） ：

所以 |AB|=|6-（-2）|=8 ，

所以S△ABC

所以三角形ABC的面積為48.

評注該題是二次函數(shù)中的三角形面積問題，已知三角形的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，要求三角形的面積.解決這種類型的題型的關(guān)鍵有兩個：一是確定三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)；二是根據(jù)三個頂點(diǎn)坐標(biāo)確定三角形的形狀，如果為特殊三角形，則求出底和高，利用公式求面積即可，如果不是特殊三角形，則往往對其進(jìn)行分割，分割方法一般是水平分割和豎直分割兩種，根據(jù)實(shí)際問題合理進(jìn)行分割.

2 已知三角形面積求其他量的問題

這種問題的難度比前面問題稍微要高，一般是根據(jù)指定三角形的面積，求拋物線的方程，或者求拋物線方程中的未知數(shù)，或者求點(diǎn)的坐標(biāo)，甚至有可能求直線方程等.

例2已知拋物線 x 的正半軸的交點(diǎn)為 A（10，0） ，與 軸的交點(diǎn)為B（0，10） ，點(diǎn) C 是拋物線位于 x 軸下方圖象上的一點(diǎn)，且 ΔABC 的面積為40，求點(diǎn) c 的坐標(biāo).

解已知拋物線 22+bx+c，與x軸的

正半軸的交點(diǎn)為 A（10，0） ，與 軸的交點(diǎn)

為 B（0，10） ，所以 c=10，b=-6 .所以拋物線方程為 設(shè) C（m，n） ，則有 根據(jù)已知，求得直線 AB 的方程為 y=-x+10 ，

當(dāng) x=m 時，y=-m+10， 過點(diǎn) c 作垂直于 x 軸的直線，交直線 AB 于點(diǎn) D ，則 |CD|=10-m-n. 又因?yàn)?ΔABC 的面積為40，所以S△ABC 由 ①② 聯(lián)立，解得 m=8，n=-6 ，所以點(diǎn) c 的坐標(biāo)為 （8，-6） ·

評注該題是已知 ΔABC 的面積的情況下，求點(diǎn) c 的坐標(biāo)，其中點(diǎn) C 在拋物線 10上.這種題型的關(guān)鍵是建立關(guān)于該點(diǎn)的等式，聯(lián)立方程組，求解即可.所以一般的思路為：一是設(shè)需求的點(diǎn)坐標(biāo)；二是根據(jù)已知條件建立關(guān)于要求點(diǎn)的坐標(biāo)的未知數(shù)的方程；三是聯(lián)立方程組，解方程組即可.

3求三角形的最大面積的問題

這種問題的難度大，一般以壓軸題的形式出現(xiàn).題目特征是已知三角形的兩個頂點(diǎn)，第三個頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，求三角形面積的最大值.這種問題的解法很多，最常用且最簡單的方法是平移法，也稱為切線法.

例3已知拋物線 y=-x²+2x+3 ，與 x 軸的正半軸交點(diǎn)為 A ，與 軸的交點(diǎn)為 B ，點(diǎn) C 是拋物線位于直線 AB 上方的一點(diǎn)，求三角形ABC的面積的最大值.

解已知拋物線 y=-x²+2x+3 ，與 x 軸的

正半軸交點(diǎn)為 A ，與 軸的交點(diǎn)為 B ，所以A（3，0）， B（0，3） ，則直線AB的方程為 y=-x+3 設(shè)點(diǎn) C（m，n） ，與直線 AB 平行，且與拋物線相

切的直線方程為 y=-x+b ：則有 ，

消去 得 x²-3x+b-3=0 ，

判別式 Δ=（-3）²-4×（b-3）=0 ， （204號

解得·

則有 0

即 （2x-3）²=0 ，

解得 則 即

當(dāng) 時 1

所以三角形ABC的面積的最大值為：

評注該題是已知三角形 ABC 的頂點(diǎn) A，B ，點(diǎn) c 位于拋物線上，是動點(diǎn)，要求三角形 ABC 的最大面積.解這類題型的關(guān)鍵有：一是方法的確定，不同的題型，選擇不同的方法會有不同的效果；二是確定頂點(diǎn) c 的坐標(biāo)；三是根據(jù)點(diǎn) c 的坐標(biāo)對三角形進(jìn)行分割，這是最關(guān)鍵步驟.

4結(jié)語

拋物線中的三角形面積問題是將三角形問題融入二次函數(shù)中，屬于知識點(diǎn)融合的典型題型.根據(jù)對中考題、教材例題和習(xí)題、模擬題的梳理，總結(jié)出常見的題型有求具體的三角形的面積，已知三角形的面積求其他量，求三角形面積的最值等題型.本文通過求具體的三角形的面積，已知三角形的面積求其他量，求三角形面積的最值三個方面進(jìn)行例談，并提出具體的答題策略.以上三種問題的突破關(guān)鍵是對一般三角形進(jìn)行分割，分割的形式恰當(dāng)，可以簡化問題.

參考文獻(xiàn)：

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[3]李加祿.拋物線中三角形面積最大值問題的解法攻略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2020（2）：41-44.