“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，構(gòu)建解題法是解決復(fù)雜結(jié)合問(wèn)題較為常見的解題方式，其中，構(gòu)建輔助圓作為構(gòu)建解題法的高級(jí)形式，通過(guò)輔助圓構(gòu)建簡(jiǎn)化例題，將抽象問(wèn)題直觀化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)及圓與幾何圖形之間的關(guān)系的認(rèn)知能力的同時(shí)，有助于促進(jìn)學(xué)生解題能力提升.為提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，本文對(duì)“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用進(jìn)行討論與分析，旨在為廣大學(xué)者提供幫助及建議.

1輔助圓在求線段長(zhǎng)度的幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

根據(jù)圓的定義可以看出，平面內(nèi)所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形為圓.在幾何問(wèn)題解題中，如果部分點(diǎn)到點(diǎn)的距離始終相等，那么這些點(diǎn)必然在以該定點(diǎn)為圓心、定長(zhǎng)為半徑的圓上.通過(guò)構(gòu)造輔助圓的方式解題，有助于提高學(xué)生解題效率[1].

例1在四邊形DCBA中，AB//CD， AB= ，求 BD 的長(zhǎng)度.

解析以 D，C，B，A 四點(diǎn)構(gòu)建輔助圓，已知 （構(gòu)造的輔助圓上另一點(diǎn)取為點(diǎn) E)，EB 為直徑， ∠EDB=90^° ，在RtΔEDB 中根據(jù)勾股定理得出

圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角，若問(wèn)題中出現(xiàn)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或有外角等于內(nèi)對(duì)角的條件時(shí)，可構(gòu)造輔助圓來(lái)求解線段長(zhǎng)度.通過(guò)構(gòu)造輔助圓，將看似復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的問(wèn)題，利用圓的性質(zhì)和定理，可以巧妙地求出線段的長(zhǎng)度.對(duì)此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題的條件和特征，靈活選擇合適的方法構(gòu)造輔助圓，以此提高學(xué)生解題能力.

2輔助圓在求度數(shù)的幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

在求度數(shù)的幾何問(wèn)題中，構(gòu)造輔助圓的基本思路是利用圓的性質(zhì)（如圓周角性質(zhì)、圓心角性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等）將角度的求解轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的計(jì)算.

例2在四邊形ABCD中，已知 AD // BC AB=AC=AD=2.5，CD=3 ，求 BD 的長(zhǎng).

解析 (1)構(gòu)造輔助圓．以點(diǎn) A 為圓心， AB 為半徑作圓（記為 ?A^? .由于 AB=AC=AD=2.5 ，因此點(diǎn) c 和點(diǎn) D 均在 ?A 上.

（2）利用平行線性質(zhì).延長(zhǎng) DA 交 ?A 于點(diǎn) E 因 AD / BC ，根據(jù)平行線間線段比例性質(zhì)，可推得BE=CD=3

（3）應(yīng)用圓的性質(zhì).連接 BD ，由于 DE 為 ?A 的直徑( E 在 ?A 上，且 A 為圓心)，故 ∠DBE= 90^° 在 RtΔBDE 中： BE=3 （已知）， DE=AD+AE =2.5+2.5=5(AE 為 ?A 半徑，故 AE=AB= 2.5).最后應(yīng)用勾股定理求得 BD 的長(zhǎng)為4.

本題通過(guò)構(gòu)造以 A 為圓心的輔助圓，將分散的邊長(zhǎng)條件 (AB=AC=AD ）整合為圓上的點(diǎn)，進(jìn)而利用“直徑所對(duì)的圓周角為直角”的性質(zhì)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊長(zhǎng)計(jì)算，體現(xiàn)了輔助圓在簡(jiǎn)化問(wèn)題中的關(guān)鍵作用.

3輔助圓在求圖形面積問(wèn)題中的應(yīng)用

圖形面積求解作為初中數(shù)學(xué)中常見例題，傳統(tǒng)解題主要采用數(shù)形結(jié)合及整體思想，因初中生思維能力有限，解題中數(shù)形結(jié)合及整體思想運(yùn)用效率不佳.為提高學(xué)生解題效率及幫助學(xué)生求解圖形面積問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造輔助圓的方式抓住問(wèn)題核心，以此提高學(xué)生解題效率.

例3如圖 1，ΔABC 為等邊三角形， AH⊥ BC于點(diǎn) H，CF⊥AB 于點(diǎn) F ，點(diǎn) D 在 AH 的延長(zhǎng)線上，連接 CD ，以 CD 為邊作等邊 ΔCDE ，連接 AE 交CF 于點(diǎn) G .已知 ·AC=4 ，求 ΔACD 的面積.

解析由已知條件得 CH=2，AC=4 以點(diǎn) c 為圓心，以 CD 為半徑作輔助圓，可輔助判斷 AH 和CH的關(guān)系.

在 RtΔAHC 中， ，在 RtΔCDH 中， ，則

綜合上述分析可以看出，在圖形面積解題中構(gòu)造圓輔助，可將所求圖形的面積巧妙地轉(zhuǎn)化為圓的面積一部分，通過(guò)與其他圖形組合得出圖形面積，以此提高學(xué)生解題效率[2].

4輔助圓在求線段比或面積比問(wèn)題中的應(yīng)用

線段比、面積比作為初中數(shù)學(xué)解題中的難點(diǎn)，學(xué)生在解題過(guò)程中經(jīng)常因問(wèn)題復(fù)雜、晦澀難懂而遇到困難.為提高學(xué)生解題效率，教師可在求線段比或面積比問(wèn)題中應(yīng)用輔助圓，利用圓中眾多的定理來(lái)建立線段之間的比例關(guān)系，通過(guò)比例關(guān)系推導(dǎo)，繼而求出線段比或由線段比推導(dǎo)出面積比[3].

例4在 RtΔABC 中， .AC=BC?∠ACB= 90^°，P 是 CB 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， BP:BC=k ，已知0?k?1 ，過(guò)點(diǎn) P 作 AP 的垂線，并過(guò)點(diǎn) B 作AB的垂線，兩垂線相交于點(diǎn) Q，AP=PQ ，然后連接 AQ .求 ΔABC 與 ΔAPQ 的面積比.

解析要根據(jù)題目的已知條件，選擇合適的點(diǎn)為圓心作輔助圓，再對(duì)問(wèn)題進(jìn)行逐步的求解，得出ΔABC 與 ΔAPQ 的面積比.

基于此，應(yīng)用輔助圓求解幾何問(wèn)題，可以提高解題的效率.通過(guò)輔助圓的應(yīng)用，有助于加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的運(yùn)用能力，培養(yǎng)其從不同角度分析問(wèn)題的習(xí)慣，

5 結(jié)語(yǔ)

從上述分析可以看出，目前初中數(shù)學(xué)幾何類試題涉及圓、三角形及直線相關(guān)的問(wèn)題，在解題過(guò)程中，學(xué)生需要具備良好的空間想象能力及邏輯推理能力，以此才能提高自身解題效率.誠(chéng)然，初中階段學(xué)生思維發(fā)散能力較差，在解題中極易因內(nèi)容抽象遇到瓶頸.為有效促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散及提高學(xué)生解題能力，本文分析了“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，即利用圓的相關(guān)性質(zhì)將試題中的已知條件與求解目標(biāo)進(jìn)行有效聯(lián)系，使較為復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生能夠更加快速準(zhǔn)確進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解.因此可以看出，通過(guò)掌握“構(gòu)造輔助圓”的應(yīng)用方法學(xué)生能夠更加靈活地求解幾何問(wèn)題，全面提升創(chuàng)新思維能力和解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[3]應(yīng)文慧.“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].試題與研究，2024(26)：16-18.

[4]陳霞.“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用[J]數(shù)理天地(初中版）， 2024(7):34-35

[5]王雪.“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023(18)：73—74.