高觀點視角下的幾何結(jié)構(gòu)解法探析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0059-06

F.克萊因曾指出，一個數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)是一個有機的整體，應(yīng)站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，觀點高了事物才能顯得明了、簡單．許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)中才能被深刻理解．高觀點是強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)呈現(xiàn)出系統(tǒng)性、連續(xù)性和結(jié)構(gòu)性的特征，且注重揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．在教學(xué)時，教師可以從高觀點視角分析和解決初等數(shù)學(xué)問題，也可以從教育學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)教育的基本理論等視角來理解數(shù)學(xué)．通過探析一道中考試題的多種解題思路，嘗試站在高觀點的視角來審視中考試題的教學(xué)方法和策略，促進學(xué)生了解數(shù)學(xué)的整體性、系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性等特征.

圖1

二、結(jié)構(gòu)分析

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在口ABCD中， AC 為對角線， AE⊥ BC 于點 E ，點 F 是 AE 延長線上一點，且 ∠ACF= ∠CAF ，線段 AB ， CF 的延長線交于點 G. 若 ，AD=4 ， tan∠ABC=2 ，則 BG 的長為

該題是2024年中考山西卷第15題，以平行四邊形為背景命制，圖中包含直角三角形和等腰三角形，題干的前半部分是對圖形結(jié)構(gòu)特征的定性描述，后半部分是對線段長度的定量刻畫，目標是求出線段 BG 的長度．根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，可以得到 BC= AD=4 ，進而將平行四邊形抽象為圖2.在 RtΔABE 中，由 ， tan∠ABC=2 ，可得 BE=1 ， AE=2 則EC=3. ，因為 ∠ACF=∠CAF ，所以 FA=FC 在 RtΔCEF 中， EF²=FC²-EC² ，即 EF²=（EF+2）²-3² 解得 （2

圖2

圖3

將圖2進一步抽象得到圖3，這是與線段比例有關(guān)的圖形，這個圖形的特征是由四條不同方向的直線兩兩相交得到6個點，其中的已知條件是不在同一條直線上的兩組線段之比，如 AE：EF=8：5 ， BE：EC= 1：3 ，目標是得到另外兩條直線上的線段之比，如AB：BG ， GF：FC. 下面圍繞這個圖形，從低起點到高觀點進行解法探析與教法探討，

三、解法探析

1.低起點解法探析

低起點解法是針對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生熟悉的知識出發(fā)，逐步拆解問題，分步推導(dǎo)，降低思維難度．對于該題，從低起點出發(fā)，需要抽象基本圖形，并逐步建立線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常建立至少兩個或者更多的數(shù)量關(guān)系，在解題時，需要運用自身的數(shù)學(xué)知識和解題經(jīng)驗，不斷挖掘題中隱含的條件，同時強調(diào)建立多個數(shù)量關(guān)系在解題過程中的重要性，需要有耐心、有毅力深入挖掘問題的本質(zhì)，從而得出正確答案.

思路1：平行線法.

根據(jù)圖3的結(jié)構(gòu)特征，采用平行線法解決問題，那么平行線法是什么，如何、為何可以解決這個問題呢？首先，觀察圖3，發(fā)現(xiàn)該圖由四條不同方向的直線兩兩相交得到6個點，點與線之間又存在著關(guān)聯(lián)，即每一個點都是由兩條不同方向的直線相交得到的.其次，過一點作已知直線的平行線，一共能作多少條呢？依據(jù)基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”，即過6個點中的任意一點都可以作與另外兩條線段所在直線平行的直線，這樣可以構(gòu)造出12條不同的平行線．最后，構(gòu)造平行線后，如何解決該問題呢？通過構(gòu)造與第三條線段平行，且與第四條線段相交形成“A字形”或“8字形”結(jié)構(gòu)，利用三角形相似的知識解決問題.

解法1：如圖4，過點 A 作 AH//CG ，交 CB 的延長

線于點 H ，則 ΔAEH～ΔFEC. 所以 設(shè) BH= （20號

m，所以2 ，解得m=19. ，同理，可得 ΔABH～

△GBC.所以

圖4

如圖5～9，通過作平行線構(gòu)造相似三角形，形成比例線段，進而求出線段 BG 的長度，這6種情況相對較為簡單，通過程序化方法先得到含有線段 m 與已知比例的線段組成的相似三角形，以此求出線段 m 的長，然后再找到含有線段 m 與線段 BG 的相似三角形，即可求出線段 BG 的長.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

【評析】為讓學(xué)生不盲目地選擇解法，教師需要引導(dǎo)學(xué)生有序思考，從4條線段的特征出發(fā)，已知 AE ：EF=8：5 ， BE：EC=1：3 ，待求 AB：BG ， GF：FC 因此，可以將這6個點分為兩類，其中有3個點在線段 GC 外，即點 A ， B ， E ，解法1是分別過這3個點作平行線，均形成兩組相似三角形結(jié)構(gòu).這樣分類使得學(xué)生的解題思路不再無序、散亂，而是自然地解決問題.

解法2：如圖10，過點 C 作 CH//AF ，交 GA 的延長線于點 H ，則 ΔBEA～ΔBCH. 所以 設(shè) CH=m，AH=n ，所以 解得 m=8 ，（204 .同理，可得 ΔGFA～ΔGCH. 所以 即 解得

圖10

如圖 11～15 的輔助線作法與圖10類似，需要尋找兩組相似三角形.這6種情況在解決問題時較為復(fù)雜，第一組相似三角形中含有 m ， n 兩個未知量，求出這兩個未知量的值，再將其代入第二組相似三角形，即可求出線段BG的長.

圖11

圖12

圖15

圖13

圖14

【評析】運用如圖 10～15 所示的方法作輔助線解題時，要設(shè)兩個中間量求解，計算量較大，因此應(yīng)盡量回避這種方法．在解決復(fù)雜的幾何問題時，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察和分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生能夠靈活運用圖形的性質(zhì)和定理尋找解題的突破口.

2.高觀點解法探析

高觀點的解題策略是將復(fù)雜的多個數(shù)量關(guān)系進行深度提煉與整合，最終優(yōu)化為簡潔明了的定理或方法，這一視角超越了單純的問題解決層面，它追求的是對問題本質(zhì)的深刻理解及對數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)構(gòu)建.

思路2：解三角形法.

解三角形法的核心是聚焦能確定三角形形狀的三個要素，求出另外三個要素，該題要求解線段 BG 的長度，因此聚焦線段BG所在的三角形即可．顯然，ΔBGC 是一個鈍角三角形，且∠GBC， ∠C 及邊 BC 這三個量是確定的．因此，需要構(gòu)造有公共直角邊的兩個直角三角形，利用解直角三角形的思路解確定形狀的三角形.

解法3：如圖16，過點 G 作 CB 的垂線，垂足為點 H_? 設(shè) BH=n ，因為 tan∠GBH=tan∠ABE=2 ，所以GH=2n，CH=n+4，BG=√5n.因為tan C=EF 即 所以n=20 所以BG=√5n=20√5

圖16

【評析】掌握解三角形的本質(zhì)后，可以引導(dǎo)學(xué)生求解確定形狀的三角形，即將非直角三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，從而解決問題，這一方法為解決更復(fù)雜的幾何問題和實際應(yīng)用問題提供了有力的支持.

思路3：面積法.

同高的兩個三角形的面積比等于底邊的比，在對幾何結(jié)構(gòu)的探究中，先從直觀的一維線段出發(fā)，再逐步構(gòu)建對二維平面以至三維空間的認知.這個結(jié)論不僅簡化了面積計算的過程，而且深刻揭示了空間維度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系．從一維的長度到二維的面積，通過“同高”這一條件，實現(xiàn)了度量上的直接對應(yīng).

解法4：如圖17，連接 GE ，由已知，易得 1， 設(shè) S_ΔEBG=x. 因為 SAEBG =1，所以S△CE=3x.則S△E=3x- 因為S_ΔGEA=x+1 ，所以 解得 因為 所以

圖17

【評析】面積法能夠?qū)缀?、代?shù)和三角函數(shù)知識緊密聯(lián)系起來．面積法不僅能幫助學(xué)生更好地理解和掌握幾何知識，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力.

思路4：垂線段法.

利用垂線段法解該題時，需要從宏觀上看這四條線段的特征，其中兩組線段的比例是已知的，一組線段的比例是待求的，可以過其中三條線段的交點向第四條線段作垂線段，目的是將三個不同方向的線段投影到第四條線段上，然后通過設(shè)而不求的方法借助數(shù)量積的關(guān)系求出目標線段的比例關(guān)系.

解法5：如圖18，過點 B ， E ， A 分別作線段 CG 的 垂線，垂足分別為點 H₁ ， H₂ ， H₃ 設(shè) H₁B=a，H₂E=b HA=c.由已知，得b 將三個比例式相乘，得 解得 BG=

圖18

【評析】平行線分線段成比例定理是將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)換為代數(shù)表達的橋梁，通過構(gòu)造三條互相平行的垂線段，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三組線段的比的乘積恰好等于1.這種構(gòu)造方法不限制垂線段的數(shù)量，根據(jù)題目已知條件和實際需要，即可構(gòu)造 n 組線段的比的乘積等于1.這就需要學(xué)生靈活運用幾何變換和線段之間的比例關(guān)系，找到解決問題的突破口，形成解決問題的策略.

思路5：梅涅勞斯定理.

使用梅涅勞斯定理時，只需要保留已知比例的線段和所求比例的線段即可．如圖19，點A，B， E 是 ΔABE 的三個頂點，另外三個點 G ， F ， c 稱為“分點”，從頂點 A 出發(fā)到分點，最后再回到頂點A，沿路徑 BCEFA ，各段路徑的比值乘積等于1，即

圖19

解法6：如圖19，由梅涅勞斯定理，得 .所以 解得

【評析】梅涅勞斯定理的發(fā)現(xiàn)及證明過程，是讓平時學(xué)有余力的學(xué)生探索的優(yōu)秀素材，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴謹性和靈活性.

思路6：解析法.

解析法是將定性的結(jié)構(gòu)分析直接轉(zhuǎn)化為定量的計算，將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．這種方法具有高度的直觀性和系統(tǒng)性，能夠清晰地表示幾何關(guān)系，避免傳統(tǒng)幾何法中可能出現(xiàn)的思維跳躍或邏輯漏洞，是一種高效、系統(tǒng)的解題方法，但用該種方法解題計算量較大．因此，在用解析法解題時，需要學(xué)生具備較強的代數(shù)運算能力.

解法7：如圖20，以點 E 為坐標原點，直線 BC 為x 軸，直線 AF 為 y 軸，建立平面直角坐標系．易得點A（0，2）， B（-1， 0） ， C（3， 0） ， .可得直線 AB ， CF 的解析式分別為 ，兩條直線交于點 所以求得 BG=

【評析】雖然近年來平面幾何解析化一直被初中數(shù)學(xué)教學(xué)淡化，但是這一方法是確定各個點位置的直觀方法．基于題中的線段之間有垂直關(guān)系，故可以構(gòu)造平面直角坐標系，通過代數(shù)運算求解問題.

3.高觀點跨學(xué)科解法探析

黎曼開創(chuàng)了“力等于幾何”的思想，這一思想不僅革新了幾何學(xué)，也為物理學(xué)提供了全新的視角．自然界中的力并非獨立于空間和時間存在，而是與空間的幾何性質(zhì)密不可分，這種深刻的見解不僅推動了數(shù)學(xué)與物理的深度融合，也為現(xiàn)代宇宙學(xué)和量子場論的發(fā)展提供了重要的理論基礎(chǔ)．黎曼的“力等于幾何”思想，堪稱科學(xué)史上的一座里程碑，至今仍在深刻地影響著我們對宇宙的理解.

思路7：質(zhì)點法.

質(zhì)點是力學(xué)中的一個概念．所謂質(zhì)點，是有位置而沒有大小但卻有質(zhì)量的點，設(shè)想將幾何中的點的意義加以推廣，在保留點的基本特征的同時又賦予點質(zhì)量，于是這個點就成為幾何質(zhì)點．幾何中的線段比可以轉(zhuǎn)化成質(zhì)點的質(zhì)量比；反過來，質(zhì)量比可以轉(zhuǎn)化為所求的線段比．這種方法類似于物理學(xué)中的杠桿原理，即杠桿平衡時，動力 × 動力臂 Σ=Σ 阻力 × 阻力臂.

解法8：因為 AE：EF=8：5 ，類似于動力臂與阻力臂的比為 8：5 ，所以阻力與動力的比為 8：5 ，即點 F 的質(zhì)量記為 F（8） ，點 A 的質(zhì)量為記為 A（5） ，則支點 E 的質(zhì)量記為 E（5+8） ．同理，因為 BE：EC=1：3 ，所以點 C 的質(zhì)量記為 C（1） ，點 B 的質(zhì)量記為 B（3） ，則點 E 的質(zhì)量記為 E（3+1） ．如圖21，將點 E 的質(zhì)量統(tǒng)一成比例后，點 E 的質(zhì)量記為 E（52） ，此時點 A 的質(zhì)量記為A（20） ，點 B 的質(zhì)量記為 B（39） ，則點 G 的質(zhì)量記為G（19），所以BG：AB=20：19.所以BG=20√5

圖20

圖21

【評析】通過引入質(zhì)點這一力學(xué)概念，巧妙地將幾何與物理學(xué)中的質(zhì)量概念相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的跨學(xué)科聯(lián)系．質(zhì)點作為有位置、無大小但有質(zhì)量的點，是對幾何中點的概念的推廣，既保留了點的基本特征，又賦予了其物理意義，這種轉(zhuǎn)化使得幾何中的線段比可以轉(zhuǎn)化為質(zhì)點的質(zhì)量比，反之亦然，為解決問題提供了新的視角，通過質(zhì)量比與線段比的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識找到解決問題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題的多樣性和實用性.

四、教學(xué)建議

高觀點的解法并非一蹴而就的產(chǎn)物，它需要具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、敏銳的洞察力和豐富的解題經(jīng)驗，只有經(jīng)過長期的經(jīng)驗積累與沉淀，才能在面對復(fù)雜問題時迅速調(diào)用自身的知識儲備，并運用高觀點策略優(yōu)化解題過程．因此，在解決問題時不能一味地追求高觀點，教師需要先帶領(lǐng)學(xué)生夯實基礎(chǔ)知識.

1.注重知識間的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性

在該題的解決中，教師構(gòu)建了系統(tǒng)化的知識網(wǎng)絡(luò)，采用“基礎(chǔ)一綜合一拓展”的三層次教學(xué)框架通過低起點的平行線法建立解法1和解法2之間的縱向聯(lián)系，讓學(xué)生感悟過不同點構(gòu)造平行線時，點的特征與線段比例之間的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性；通過高觀點中的初等數(shù)學(xué)方法建立思路2至思路6的解法的橫向聯(lián)系，將線段問題置于整體圖形中觀察，理解部分與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生分析不同方法間的內(nèi)在聯(lián)系；通過高觀點中的跨學(xué)科方法（質(zhì)點法），引導(dǎo)學(xué)生打破學(xué)科壁壘，嘗試將數(shù)學(xué)知識與物理知識結(jié)合來解決問題．在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的思維特點和問題的應(yīng)用條件，幫助學(xué)生建立“方法選擇一問題特征”的對應(yīng)關(guān)系，通過這種系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的設(shè)計，既能夯實學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，又能培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識解決復(fù)雜問題的能力，最終實現(xiàn)從具體方法掌握到數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟的升華，促進核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

2.注意低起點與高觀點之間的聯(lián)系

運用低起點方法解題時，鼓勵學(xué)生從簡單到復(fù)雜、從易到難地逐步解決問題，注重基礎(chǔ)知識的鞏固和深化，從而深入理解和掌握知識點，這種方法能夠幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，是推動他們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)和探索的動力．

運用高觀點方法解題時，不再局限于題中給出的具體條件，而是站在更高的理論高度，審視并剖析這些條件背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，并將它們巧妙地應(yīng)用于當(dāng)前問題的解決中，高觀點的解題策略還強調(diào)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系與系統(tǒng)性．它將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識視為一個有機整體，通過不斷地歸納、總結(jié)與提煉，發(fā)現(xiàn)不同知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解與掌握.

從不同視角切入解決問題，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的多樣性和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)聯(lián)性，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)．在實際解題過程中，低起點方法為學(xué)生提供了必要的知識儲備和基本技能，使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用高觀點方法.同時，高觀點方法也為學(xué)生提供了更寬廣的視野和更深入的思考方式．這兩種視角在不同層面和角度上相互促進、相互補充，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.

參考文獻：

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