素養(yǎng)導向下單元整體復習的教學實踐

關(guān)鍵詞：單元整體復習；核心素養(yǎng)；思維導圖；二次函數(shù)中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0042-05

數(shù)學教學的本質(zhì)在于引導學生思考，培養(yǎng)學生良好的思維習慣，提升學生的數(shù)學學習能力.問題是教學活動實施的載體，好的問題可以促使教學達到事半功倍的效果．二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，既是初中數(shù)學學習中的難點，又是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要載體．而線段和角是圖形與幾何領(lǐng)域的兩個基本概念，在一次公開課活動中，筆者將線段和角融入“二次函數(shù)”單元整體復習課中．現(xiàn)將該節(jié)課的教學整理如下，與同行交流和探討.

單元整體復習教學強調(diào)在學生整體掌握單元知識的基礎(chǔ)上，遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，把點狀的課時知識橫向聯(lián)系形成線狀的知識鏈，并縱向拓展建立網(wǎng)狀的知識框架，最終構(gòu)成三維知識體系，再借助對例題的分析與思考拓展知識，總結(jié)一類問題的解決方案，歸納探究一般的解題路徑，使學生觸類旁通.

二、教學過程及設計說明

一、對單元整體復習課的認識

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在課程實施教學建議中指出，在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系．單元整體復習不僅是對知識點的簡單梳理，達到溫故的目的，更應該是對知識面的深度理解，達到知新的目的，使學生理解數(shù)學學科本質(zhì)、提升數(shù)學思維、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

1．構(gòu)建框架，凸顯知識聯(lián)系

問題1：結(jié)合課題“二次函數(shù)”，說說本章研究的對象是什么？研究的內(nèi)容有哪些？

【教學說明】單元整體復習教學中，應該引導學生對零散的數(shù)學知識進行整理，構(gòu)建完整的單元知識結(jié)構(gòu)，使學生形成良好的知識遷移能力，增強應用意識．明確本章研究的對象是二次函數(shù)后，通過提出開放性的問題，讓學生相互交流、充分討論，促進學生在思維的相互碰撞中不斷完善整章內(nèi)容的思維導圖（如圖1），理解在本章“學了什么”，進一步啟發(fā)學生思考回顧二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)“怎么學”的研究過程，形成二次函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究路徑 （如圖2）.兩個思維導圖為下一步研究“為何學”奠定了基礎(chǔ)，為進一步探究函數(shù)本質(zhì)指明了方向.問題1給學生提供了廣闊的思維空間，使學生得以將所學知識橫向和縱向延伸，培養(yǎng)了學生的抽象能力、模型觀念、推理能力等素養(yǎng)，

2.動靜分析，形成方法路徑

單元整體復習課中，不僅要研究一章知識框架的形成過程，還應以活動為載體，探究、歸納解決一類問題的基本方法，使學生感悟其中蘊含的數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，逐步發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

圖3

本節(jié)課中，先給出以下背景，再通過問題引領(lǐng)學生逐步解題.

如圖3，已知二次函數(shù) y=-x²+2mx+2m+1 （ Ω_m 是常數(shù)，且 mgt;0 ）的圖象與 x 軸交于 A ， B 兩點（點A在點 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點 C ，連接 AC ，BC.

環(huán)節(jié)1：靜態(tài)分析，函數(shù)中顯圖形

問題2：當 m=1 時，如圖4，若點 P 為拋物線的頂點，連接 PB ，PC.根據(jù)條件，你能得到哪些結(jié)論？

圖4

【教學說明】在構(gòu)建知識框架的基礎(chǔ)上提出開放性問題，目的是讓學生發(fā)散思維、認真思考，與同伴交流、相互討論，然后在全班匯報．在思維的相互碰撞中，學生不斷豐富由這道開放性問題能得到的結(jié)論.一方面，是關(guān)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和一元二次方程的關(guān)系的相關(guān)結(jié)論．例如， A ， B ， C ， P 四點的坐標分別為 ！ B（3， 0） ， C（0， 3） ， P（1， 4） 當 x=1 時， 當 xgt;1 時， y 隨 x 的增大而減??；當 xlt;1 時， y 隨 x 的增大而增大．當 -10 ；當xlt;-1 或 xgt;3 時， ylt;0 方程 -x²+2x+3=0 的根為x₁=-1 ， x₂=3 ：另一方面，根據(jù)點的坐標得到幾何圖形的相關(guān)結(jié)論.例如， ΔPBC 是直角三角形， S_ΔABC=6 ， ΔPBC～ΔACO 等．

數(shù)與形相互交融，彼此聯(lián)系，缺一不可，問題2以一個定量的函數(shù)表達式為載體，借助函數(shù)圖象，逐層挖掘點、線、形的相關(guān)結(jié)論，促進學生從直觀想象到推理能力的層層深入，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

環(huán)節(jié)2：動態(tài)研究，圖形中尋函數(shù).

題中動靜融合，存在很多共性，如在研究思路、研究對象、研究方法等方面都有類似之處.

問題3：當 m=1 時，如圖5，若點 P ， Q 分別為拋物線、線段 BC 在第一象限內(nèi)的動點，且 PQ//Oy ，連接 PB ， PC ，點 P 在從點 C 運動到點 B 的過程中，線段 PQ 的長度發(fā)生了怎樣的變化？你能得到哪些結(jié)論？

圖5

【教學說明】函數(shù)的本質(zhì)是刻畫兩個變量之間的關(guān)系．動態(tài)研究中，經(jīng)常把函數(shù)圖象上的點的運動抽象為點的坐標變化．先利用幾何畫板軟件引導學生觀察點 P 運動的過程，讓學生感受線段 PQ 長度的變化規(guī)律，猜想線段 PQ 的長度有最大值，再抽象出兩個變量（即點 P 的橫坐標和線段 PQ 的長度），建立相關(guān)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出線段 PQ 長度的最大值．在學生得到線段 PQ 長度最大值的基礎(chǔ)上，讓學生充分討論，可以探究如下結(jié)論.例如，求△PBC面積的最大值；如圖6，過點 P 作 PH⊥BC 于點 H ，求線段 PH 、 Δ PHQ周長、 ΔPHQ 面積的最大值；如圖7，連接 OP ，交 BC 于點 M ，求 或祎 S△PCM的最大值；如圖8，連接AP交S△OCMBC 于點 N ，過點 A 作 AE//Oy 交 BC 的延長線于點 E ，求 電或 的最大值，

圖6

圖7

圖8

波利亞曾指出，好問題同某種蘑菇有些相像，它們都是成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍再找一找，很可能附近就有好幾個，在教學過程中，教師通過追問啟發(fā)學生充分思考、交流后，學生可以得到線段的長度、三角形的面積和周長、線段的比、三角形的面積比的最大值等結(jié)論．通過總結(jié)和提煉方法，使得學生頭腦中零散的思維得以匯聚，形成思維鏈，使得思維更有條理、更清晰，讓學生“既見樹木，又見森林”，培養(yǎng)了學生的模型觀念、應用意識等核心素養(yǎng).

問題4：如圖9，拋物線的頂點為點 P ，連接 PB ， 若 ∠ACO=∠CBP ，求 Ω_m 的值.

圖9

【教學說明】從變化的線段中能抽象出函數(shù)關(guān)系，變化的角亦然．問題4中 ∠ACO 和 ∠CBP 的大小隨著 Ω_m 的變化而變化，其本質(zhì)涉及銳角三角函數(shù).

思路1是引導學生直接寫出tan∠ACO=OA=1 .構(gòu)造 ∠CBP 所在的直角三角形，形成“一線三等角”基本模型．如圖10，過點 C 作 CE⊥BC 交直線 BP 于點 E 過點 E 作 EF⊥Oy 于點 F ，易得 ΔOBC～ΔFCE 得到點 E 的坐標 （1， 2m+2） ．根據(jù) B ， P ： E 三點共線，列方程 .解得 m=1 ，

圖10

圖11

思路2是由題中隱含的 45^° 度角，把變化的∠CBP轉(zhuǎn)化為∠PBM，直接寫出∠PBM的銳角三角函數(shù)，同時把 ∠ACO 轉(zhuǎn)化為 ∠ACB ，構(gòu)造 ∠ACB 所在的直角三角形．如圖11，過點 P 作 PM⊥Ox 于點 M ，交 BC 于點 N 連接 AN ，易得 ∠ANC=90^° ，根據(jù)點 P ， B 的坐標得到 由 ∠ACN=∠PBM ，得 .解得 m=1 ，

兩種思路都是巧妙地借助角的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建銳角三角函數(shù)，尋找相等關(guān)系建立方程，從而解決問題.

在用二次函數(shù)建構(gòu)線段長度及三角函數(shù)構(gòu)建角度大小的過程中，通過對一系列問題的思考與探究，學生經(jīng)歷用文字語言、符號語言、圖形語言表達的過程，體會從特殊到一般、從具體到抽象、從定性到定量的數(shù)學研究路徑，在思考與表達的過程中發(fā)展學生的幾何直觀、抽象能力、模型觀念、運算能力、推理能力等數(shù)學核心素養(yǎng).

3.整理回味，培養(yǎng)數(shù)學情感

問題5：回顧本節(jié)課的學習過程，你的收獲是什么？提出你的疑惑.

【教學說明】單元整體復習課的教學中，在引導學生形成知識框架、歸納解決問題的數(shù)學方法的基礎(chǔ)上，還需要培養(yǎng)學生良好的數(shù)學情感，讓學生形成克服困難、主動探究、互幫互助的良好品質(zhì)．本節(jié)課中，讓學生從回顧知識、探究問題的角度總結(jié)、歸納單元整體復習的策略和方法，將碎片化的知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，構(gòu)建完整的思維體系，形成解決線段最值、角的存在性問題的一般路徑 （如圖12），在體驗函數(shù)模型建立的過程中，培養(yǎng)學生的應用意識、創(chuàng)新意識.

圖12

和研究路徑生長圖，揭示數(shù)學本質(zhì).

在“二次函數(shù)”單元知識框架的建構(gòu)過程中，要先讓學生深人理解函數(shù)是從實際問題中抽象出的兩個變量之間的依賴關(guān)系，理解用函數(shù)表達變化關(guān)系的實際意義，經(jīng)歷從實際問題中抽象數(shù)學模型、求解模型、驗證反思的過程，形成模型觀念；再借助平面直角坐標系描點，理解函數(shù)圖象與表達式的對應關(guān)系，理解函數(shù)與對應的方程、不等式的關(guān)系，增強幾何直觀．通過本節(jié)課的學習，旨在讓學生會用函數(shù)表達現(xiàn)實世界事物的簡單變化規(guī)律，提高應用意識；經(jīng)歷用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的過程，形成數(shù)學想象力；在用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的過程中，提升推理能力，提高學習數(shù)學的興趣，進一步發(fā)展應用意識，理解數(shù)學本質(zhì).

2.體驗數(shù)學思想方法的歸納應用，提升數(shù)學思維

數(shù)學知識僅是外在形式，數(shù)學思想方法則是隱性知識，是數(shù)學的本質(zhì)．在單元整體復習教學中，要注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示數(shù)學思想方法在知識相互聯(lián)系中的作用；應注意歸納知識所包含的思維方式，揭示其在構(gòu)成系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)、掌握其功能、加深學生對其認識等方面的指導作用．數(shù)學思想方法形成的關(guān)鍵在于對其進行總結(jié)和歸納．對于學習者而言，體驗數(shù)學思想方法的歸納、應用，就是經(jīng)歷知識的來源探究的過程，從而發(fā)展數(shù)學思維.

三、單元整體復習教學思考

1.深化數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，理解數(shù)學本質(zhì)

單元整體復習旨在讓學生將在新授課中所學的零散知識結(jié)構(gòu)化.在實施單元整體復習課的教學前，教師要從整章的知識結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)、教學結(jié)構(gòu)出發(fā)去思考：學生已有的知識和經(jīng)驗有哪些？如何形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)？該如何拓展和延伸？引導他們往何處去？因此，單元復習課的設計過程中，教師既要認真研讀課程標準、教材、教學參考書，弄清楚該單元學習的知識點，又要關(guān)注知識點間的聯(lián)系，緊緊圍繞單元知識構(gòu)建知識網(wǎng)絡，提煉思想方法，歸納研究路徑，理解單元知識的數(shù)學邏輯，最終形成單元知識網(wǎng)絡框架圖

本節(jié)課始終以一個拋物線為背景，從特殊到一般，層層推進，從靜態(tài)到動態(tài)，動中取靜，根據(jù)二次函數(shù)中動點引發(fā)相關(guān)的變量，構(gòu)建目標線段長度的二次函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)得到線段長度的最值，通過學生質(zhì)疑、教師追問的方式由線段長度的最值引發(fā)學生對點到直線的距離、三角形的面積或周長、線段之比、三角形面積之比等最值的探究；把函數(shù)表達式中的參數(shù)作為變量，構(gòu)建相關(guān)角的三角函數(shù)，通過角相等直接構(gòu)造直角三角形，或通過角相等轉(zhuǎn)化重新構(gòu)造直角三角形，利用相等關(guān)系建立方程，通過方法的歸納整理，在形成問題、生成流程圖和方法路徑生長圖的過程中，學生經(jīng)歷了從幾何直觀的形成到抽象能力的深入，從函數(shù)模型的建立到方程模型的運用，形成模型觀念，提升推理能力，在思維的碰撞中，激發(fā)學生的智慧，發(fā)展學生會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界的應用意識.

3.感悟數(shù)學情感的滲透融通，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

《心理學大辭典》中指出，情感是人對客觀事物是否滿足自己的需求而產(chǎn)生的態(tài)度體驗，數(shù)學情感就是人們對數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學活動是否符合自身精神需求而產(chǎn)生的情緒和態(tài)度，積極的數(shù)學情感，在改變數(shù)學學習態(tài)度，培養(yǎng)數(shù)學學習興趣，提高數(shù)學知識的應用、數(shù)學問題的解決和數(shù)學語言的表達，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)等方面都起到了重要作用，

數(shù)學情感融通于數(shù)學學習的各個領(lǐng)域，通過數(shù)學情感使得不同領(lǐng)域之間產(chǎn)生碰撞與感悟，數(shù)學情感又是數(shù)學學習的內(nèi)因，滲透于數(shù)學學習的全過程，幫助學生形成數(shù)學學習動力，養(yǎng)成數(shù)學學習的積極態(tài)度，轉(zhuǎn)化為學生克服數(shù)學學習困難的堅定信念，為發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)．本單元整體復習教學真正做到了以學生的學習活動為中心，還原學生真學的過程，讓學生的聽轉(zhuǎn)化為學生的說，讓學生帶著積極的情感充分地表達、傾聽和思考，在用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的過程中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

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