明晰線段中點(diǎn)與角平分線的幾何真諦

例1如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn) B 為圓 ∴ ，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交 BA .BC 于點(diǎn) M，N ，又分別以 M，N 為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線BO，交線段 AD 于點(diǎn) E ，交 CD 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，若 CD=3 .DE=2 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

（A） 1∠ABE=∠CBE （B）BC=5. （C）DE=DF · （204

答案 （D）.

解析結(jié)合題意，可先通過作圖過程對(duì)（A）選項(xiàng)進(jìn)行判斷，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到 AB= CD D，AD=BC 等內(nèi)容，再利用相似三角形的性質(zhì)判斷其他選項(xiàng).

由圖1可得， BF 為 ∠ABC 的角平分線，則∠ABE=∠CBE ，故（A）正確.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 AB=CD ， AD=BC ，AD//BC，AB//CD， 由 AD//BC 可得 ∠CBE=∠AEB ，因?yàn)?∠ABE=∠CBE ，等量代換可得 ∠ABE=∠AEB 則 AB=AE=CD=3 ，所以 BC=AE+ED=AB+ED=3+2=5 故（B）正確.因?yàn)?AB//CD ，可得 AB//CF ，則 ∠ABE=∠F ，又因?yàn)?∠AEB=∠DEF ，可得到 ΔABE～ΔDEF 所以 則 因?yàn)? 所以 DF=2 ，而 DE=DF=2 ，故（C）正確.

（D）是錯(cuò)誤的.

例2如圖2所示，在 RtΔABC 中， ∠C=90^° .以點(diǎn) B 為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交 AB，BC 于點(diǎn) M，N ，又分別以 M，N 為圓心，以大于 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) P ，作射線 BP 交 AC 于點(diǎn) D ，作 DE⊥AB ，點(diǎn) E 為垂足，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

（ A）BC=BE ·

（B）DC=DE ：

（C）BD=AD ·

（D）BD 一定經(jīng)過 ΔABC 的內(nèi)心.

答案 （C）.

解析本題利用垂徑定理、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等性質(zhì)作圖，再根據(jù)作圖過程對(duì)（A）（B）選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，最后通過三角形的內(nèi)心的性質(zhì)對(duì)（D）選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

由作圖過程，可知 BD 是 ∠ABC 的角平分線，

因?yàn)?∠C=90^° ，且 DE⊥AB ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得 CD=DE ，故（B）正確.

由角角邊（AAS）得 ΔBDC?ΔBDE ，進(jìn)而可得 BC=BE ，故（A）正確.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得， BD 一定經(jīng)過ΔABC 的內(nèi)心，故（D）正確.

但題意并未說明 DE 是 ∠ADB 的角平分線，所以選項(xiàng)（C）無法證明.故（C）錯(cuò)誤.

例3如圖3所示， ∠A=90^°，AB=AC，BD⊥ AB，BC=AB+BD ：

（1）嘗試寫出 AB 與 BD 的數(shù)量關(guān)系；

（2）延長(zhǎng) BC 到 E ，使得 CE=BC ，又延長(zhǎng) DC 到點(diǎn) F ，使 CF=DC ，連接 EF ，寫出 EF⊥AB 的證明過程；

（3）在（2）的條件下，作 ∠ACE 的角平分線，交AF 于點(diǎn) H ，試寫出 AH=FH 的證明過程.

解析本題第（2）問可根據(jù)題意依據(jù)倍長(zhǎng)中線法則，將線段延長(zhǎng)一倍構(gòu)造全等三角形；第（3）問可由題目提供的線段等量關(guān)系寫出證明過程，

（1）由題意可得 ∠A=90^° .AB=AC ，可得ΔABC 是一個(gè)等腰直角三角形，

由此可得 ，又因?yàn)?BC=AB+BD ，可得

則 AB 與 BD 之間的數(shù)量關(guān)系為 BD.

（2）作圖，如圖4所示，由題意可得 BC=CE ，

∠1=∠2 ，且 CF=DC ，

所以 ΔCBD?ΔCEF ，

則可得 ∠E=∠CBD ，

可得 BD//EF .因?yàn)?BD⊥AB ，

所以可證得 EF⊥AB ：

（3）作圖，如圖5所示，延長(zhǎng) AB 和 EF 兩條線段交于點(diǎn) M ，連接 AF ，延長(zhǎng) CH 交 ME 于點(diǎn) G

由題意和第（2）問可知 AC⊥AB，EF⊥AB ，

所以 EF // BD ，

即 ME//BD ，

可得 ∠ACG=∠EGC

由題意可知 CG 是 ∠ACE 的角平分線，

所以 ∠ACG=∠ECG ，

所以 ∠CGE=∠ECG ，

由等角對(duì)等邊可得 EC=EG ·

又因?yàn)?ΔCBD?ΔCEF ，

所以 EF=BD CE=CB ，

由等量代換可得 CB=EG ，

因?yàn)?BC=AB+BD ，

所以 EG=AB+BD=AC+EF ，

即 FG+EF=AC+EF ，

所以 AC=FG

又因?yàn)?AC//FG ，

所以 ∠CAH=∠HFG

由角角邊（AAS）得 ΔACH?ΔFGH ，由全等

形的對(duì)應(yīng)邊相等可得 AH=FH ：

結(jié)語

在對(duì)線段的中點(diǎn)及角平分線性質(zhì)的運(yùn)用過程中，可借助倍長(zhǎng)中線、線段等量關(guān)系的內(nèi)容梳理大致框架，在證明線段相等、三角形全等及利用角平分線的定義和性質(zhì)定理進(jìn)行角度、長(zhǎng)度等計(jì)算時(shí)，可根據(jù)這些關(guān)系進(jìn)行等量代換，熟練運(yùn)用相關(guān)技巧解決幾何的應(yīng)用問題，為后續(xù)的深入探究學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).