基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐探究

一、教學(xué)分析

1.教材分析

本節(jié)課選自人教版（2019年）《數(shù)學(xué)》（必修第一冊）第四章對應(yīng)小節(jié)的第二課時(shí)《4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》，是在學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，以及對數(shù)運(yùn)算的背景下，進(jìn)一步深人學(xué)習(xí)和研究對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，一方面，可以延續(xù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)與知識(shí)類比；另一方面，也為基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)中起了延續(xù)與類比的作用.

2.學(xué)情分析

（1）知識(shí)層面：學(xué)生已了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)運(yùn)算技巧，通過指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)掌握了研究函數(shù)的一般方法.

（2）能力層面：學(xué)生在初中已經(jīng)掌握了用描點(diǎn)法描繪函數(shù)的圖象，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)提供了按“背景一概念一圖象和性質(zhì)一應(yīng)用”的順序研究函數(shù).

（3）情感層面：學(xué)生思維活躍，樂于合作，有探究問題的意識(shí)，但思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力有待于提高.

（4）資源層面：我們有多媒體、幾何畫板等軟件，以及生活中大量的貼合實(shí)際的素材展示給學(xué)生，幫助學(xué)生理解對數(shù)函數(shù)的深刻內(nèi)涵.

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）簡單通過描點(diǎn)法作圖，可利用電腦工具來進(jìn)行作圖等;

（2）能類比指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究路徑和方法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特殊關(guān)系，在信息技術(shù)支撐下探索其基本圖象與基本性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)；

（3）會(huì)借助其圖象與性質(zhì)來解決一些簡單的應(yīng)用問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值；

（4）知道對數(shù)函數(shù) y=log_ax 與指數(shù)函數(shù) y=a^x 互為反函數(shù) ）

4.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

（2）會(huì)類比指數(shù)函數(shù)研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

（3）掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

5.重點(diǎn)難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（2）教學(xué)難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究和歸納

二、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1前面我們是怎樣定義冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的呢？又是學(xué)習(xí)了這兩個(gè)函數(shù)哪些基本知識(shí)與內(nèi)容？通過類比，我們又是怎樣定義對數(shù)函數(shù)的呢？又要學(xué)習(xí)這個(gè)函數(shù)中的哪些基本知識(shí)與內(nèi)容呢？

師生活動(dòng)：提問幾個(gè)學(xué)生來分別回答，教師加以完善.

教師點(diǎn)評：（1）由冪函數(shù) y=x^α ，指數(shù)函數(shù) y= a^x 入手，通過函數(shù)的定義，以及對應(yīng)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)來展開，給對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)定下基調(diào).（2）數(shù)學(xué)中的類比思維與方法應(yīng)用，可以從已經(jīng)學(xué)過的冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)這兩類函數(shù)的學(xué)習(xí)人手，合理加以類比展開，明確學(xué)習(xí)的方向

設(shè)計(jì)意圖借助學(xué)習(xí)過的冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，通過定義、圖象與性質(zhì)等方面，給本課時(shí)的學(xué)習(xí)指明方向.同時(shí)也方便確定對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，都是在問題的引領(lǐng)并指導(dǎo)下展開的.

環(huán)節(jié)二：問題導(dǎo)向，合作探究

問題2 利用描點(diǎn)法，我們能否畫出對數(shù)函數(shù)y=log₂x 的簡單圖象呢？

問題3能否借助數(shù)學(xué)程序一幾何畫板，通過電腦操作畫出幾個(gè)不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù) y=log_ax 的圖象？（布置一個(gè)小組的成員電腦操作）

問題4通過觀察描點(diǎn)法圖象以及電腦程序作出的圖象，可以說說你對對數(shù)函數(shù) y=log_ax 的圖象和性質(zhì)有哪些基本的認(rèn)識(shí)呢？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生嘗試，再展示交流，最后形成共識(shí).

教師活動(dòng)：通過幾何畫板進(jìn)行函數(shù)作圖，

教師點(diǎn)評：（1）描點(diǎn)法作圖時(shí)關(guān)注特殊點(diǎn)，如：log_a1= 0，log_aa= 1，log_a=- 1 等；

（2）教師在學(xué)生展示具體對數(shù)函數(shù)圖象基礎(chǔ)上利用信息技術(shù)做出更多的圖象以便性質(zhì)的歸納；

（3）教師要有意培養(yǎng)學(xué)生由圖象獲得性質(zhì)的方式和步驟.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，關(guān)注基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，其中包括獨(dú)立思考和交流討論，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的規(guī)律總結(jié)能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)三：性質(zhì)歸納，表格展示

問題5 你能否結(jié)合以上一些相關(guān)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以進(jìn)一步歸納與總結(jié)，抽象出一般對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)呢？

問題6 借助以下的表格，你能否加以進(jìn)一步的完善？

對數(shù)函數(shù) γ=log_ax（agt;0 ，且 a≠1 ）的圖象和性質(zhì)如下表：（表格略，如P133教材中的表格）

預(yù)設(shè)答案： （0，+∞） ，（1，0）， （-∞，0） ，[0，+∞），（0，+∞），（-∞，0]，x 軸

設(shè)計(jì)意圖 合理性質(zhì)歸納，由特殊向一般加以總結(jié)，形成知識(shí)體系，掌握對數(shù)函數(shù)的基本圖象與性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納思維以及數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)四：性質(zhì)升華，知識(shí)串聯(lián)

問題7根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象特征，能否從代數(shù)運(yùn)算的思維來獲取一些關(guān)于對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組交流，再小組內(nèi)總結(jié)，通過小組成員的回答，教師加以合理完善，最后形成共識(shí).

教師點(diǎn)評：（1）由對數(shù)的定義可得出對數(shù)函數(shù)的定義域、值域；（2）由 log_a1=0 可知所有對數(shù)函數(shù)過點(diǎn)（1，0）；（3）由對數(shù)與指數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系及其運(yùn)算性質(zhì)可以知其單調(diào)性等；（4）利用換底公式有 y= ，則 y=log_ax 與 的圖象關(guān)于 x 軸對稱，因此可以利用 的圖象作出 的圖象

設(shè)計(jì)意圖先畫圖象然后從圖象獲得性質(zhì)是初學(xué)者容易形成的定勢思維，這種由圖象獲得性質(zhì)的方法很粗糙，精確的方法還是需要通過代數(shù)推理.這為學(xué)生提供了一條研究函數(shù)性質(zhì)新的途徑.

問題8如圖1所示，四個(gè)對數(shù)函數(shù) logbx，C3：y =logx，C4：y = logdx的圖象，你能給出參數(shù)a，b，c，d的大小關(guān)系嗎？

圖1

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生嘗試，再展示交流，最后提問.

教師點(diǎn)評：由 log_aa=1 知，作 y=1 與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就可獲得 a，b，c，d 的大小關(guān)系.

預(yù)設(shè)答案 ：0

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)，并會(huì)借助函數(shù)的圖象加以直觀想象與數(shù)形結(jié)合.

問題9“研究反過來的問題”是一種逆向思維，由此學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)和提出問題的基本方法：對數(shù)函數(shù) y=log_ax 與指數(shù)函數(shù) y=a^x 的圖象是否有某種關(guān)系？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生嘗試，再展示交流，最后形成共識(shí).

教師點(diǎn)評：對數(shù)函數(shù) 與指數(shù)函數(shù)y=a 的圖象是關(guān)于直線 y=x 軸對稱的，這種對稱關(guān)系的發(fā)現(xiàn)可以通過圖象去觀察，也可代數(shù)視角去處理.若學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)，教師加以提示.

問題10 能否通過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)加以合理類比，進(jìn)而得出相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生先小組交流，再小組內(nèi)總結(jié)，通過小組成員的回答，教師加以合理完善，最后形成共識(shí).

教師點(diǎn)評：借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩個(gè)函數(shù)之間特有的關(guān)系，把指數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)中自變量與函數(shù)值的位置倒過來，再用函數(shù)語言表達(dá)出來，就得到對數(shù)函數(shù)的所有內(nèi)容

設(shè)計(jì)意圖 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象和基本性質(zhì)之間的對比與分析，給問題的理解與掌握提供更好的渠道，也給問題的解決開拓更加寬廣的空間.

環(huán)節(jié)五：典例分析，鞏固理解

例1 （課本第133頁例3）比較下列各題中兩個(gè)值的大?。裕?

師生活動(dòng)：根據(jù)不同條件下兩個(gè)對數(shù)之間的關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)來分析與比較，也給問題的變式與應(yīng)用提供條件.

變式 （2013年全國課標(biāo)卷文 II?8^? 設(shè) ，則（ ）

C.cgt;bgt;aD.cgt;agt;b

設(shè)計(jì)意圖基于實(shí)例的應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上加以合理變式與拓展，給問題的理解與掌握開拓一個(gè)全新的空間.同時(shí)，結(jié)合不同的實(shí)例來歸納總結(jié)比較大小的基本技巧與策略，開拓學(xué)生的思維層面，提升學(xué)生的解題能力.

環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)，形成體系

問題11 你能回憶一下對數(shù)函數(shù)的哪些基本性質(zhì)？并在本課的學(xué)習(xí)研究過程中，有哪些你記憶深刻的探究技巧與思維方法？

師生活動(dòng)：提問一些學(xué)生來歸納總結(jié)，當(dāng)中教師加以合理引導(dǎo)并完善

預(yù)設(shè)答案：

數(shù)學(xué)運(yùn)算是基本手段代數(shù)運(yùn)算（定量）描點(diǎn)（計(jì)算工具） 認(rèn)識(shí)對數(shù)函數(shù) 圖象 性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算（對稱性） 直觀感知（定性）A R研究原命題與逆命題是發(fā)現(xiàn)反函數(shù)問題的基本路徑指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖（1）幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，本節(jié)課到底學(xué)了哪些內(nèi)容；

（2）明確研究路徑和方法：類比一類函數(shù)“列表、描點(diǎn)、畫圖”的方式獲得對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)；從代數(shù)運(yùn)算角度對對數(shù)函數(shù)解析式分析獲得其圖象和性質(zhì)；用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的特殊關(guān)系分析獲得其圖象和性質(zhì).

三、教學(xué)反思

1.課改熱點(diǎn)，設(shè)計(jì)優(yōu)點(diǎn)

在當(dāng)下高中課程改革走向深入，圍繞著教育教學(xué)的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，如何在課堂中落實(shí)核心素養(yǎng)；如何開展有價(jià)值的教學(xué)設(shè)計(jì)；從聚焦教師的“教”到聚焦學(xué)生的“學(xué)”，從聚焦“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變等，都是我們一線教師所必須深入研究的課題.本節(jié)課從問題設(shè)置，環(huán)節(jié)深入，學(xué)生主體等方面都有很好的突破.這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)充分基于新課標(biāo)要求和新教材的編寫理念，在學(xué)生學(xué)習(xí)方式方法上做了一些大膽的探索.

2.類比思維，難點(diǎn)突破

充分展示類比思維，借助指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，類比到對數(shù)函數(shù)上，使得學(xué)生學(xué)習(xí)起來更加有目的.而學(xué)生已經(jīng)有了研究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，所以在畫出具體的對數(shù)函數(shù)的圖象上，學(xué)生是能夠處理的，但是由具體的圖象到歸納一般的圖象的過程，學(xué)生會(huì)存在困難.這里就可以借助幾何畫板來突破難點(diǎn)，通過改變對數(shù)函數(shù)的底數(shù) a 的值，呈現(xiàn)大量具體的對數(shù)函數(shù)圖象，再讓學(xué)生歸納圖象，總結(jié)性質(zhì).