圓錐曲線斜率定值問題的兩種解題思路

例題 點(diǎn) F 是橢圓 C 的右焦點(diǎn)，若經(jīng)過點(diǎn)（2，0）的直線 l 與橢圓 c 相交于 A，B 兩點(diǎn)，設(shè)直線 AF，BF 斜率分別為 k₁，k₂（k₂≠0 ），試k1求證：k2 為定值.

1一般直線解析式

一般式是指假設(shè)與圓錐曲線相交的直線解析式為 y=kx+b 或 x=ky+b ，其中 k 是斜率， b 是截距，假設(shè)一般解析式思路適用大部分圓錐曲線的斜率問題.運(yùn)用一般直線解析式求解問題，具體步驟為：（1）假設(shè)與圓錐曲線相交的直線解析式，代入圓錐曲線中消元；（2）根據(jù)一元二次方程式和韋達(dá)定理，得到交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式；（3）用橫縱坐標(biāo)表示直線斜率，化簡求對(duì)應(yīng)問題即可.

解法1設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 直線 _AB iB：x=ty+2 ，將解析式代人橢圓 c 可得 （2+t²）?y²+4ty+2=0 由 Δ=8（t²-2）gt;0 可得 ，由韋達(dá)定理可得y1+y2=2+2

所以

故 為定值. 解法2設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，

直線 AB：x=ty+2

將解析式代入橢圓 c

可得 （2+t²）y²+4ty+2=0

由韋達(dá)定理可得y1+y2=2+2

所以 ，故 為定值.

思考 兩種不同解法都對(duì)直線解析式做出一般式的假設(shè)，根據(jù)過點(diǎn)（0，2）這個(gè)已知條件得到假設(shè)的一般式 x=ty+2 ，代入橢圓方程中消元得到一元二次方程式，就能憑借韋達(dá)定理得到 x₁…x₂，y₁ 、y₂ 之間的關(guān)系，就能得到斜率比值的表達(dá)式，此時(shí)化簡求最終值，即可證明 是定值.

2 點(diǎn)斜直線解析式

設(shè)點(diǎn)斜式也是比較常見的一種假設(shè)思路，在直線斜率存在的前提下點(diǎn)斜式更加直觀，即根據(jù)直線經(jīng)過的定點(diǎn) （a，b） 假設(shè)直線解析式 k（x-a） ，代入圓錐曲線方程中消元求解斜率相關(guān)問題.假設(shè)點(diǎn)斜式直線思路解答圓錐曲線的斜率問題，具體步驟為：（1）根據(jù)定點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)斜式的直線解析式，代入圓錐曲線方程中消元；（2）結(jié)合一元二次方程式求直線上點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；（3）用交點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率，得到表達(dá)式并化簡，對(duì)問題進(jìn)行最終解答.

解法3 易知直線 AB 斜率存在，設(shè)直線 AB：y=k（x-2）（k≠0） ，將解析式代入橢圓 C 中，可得 （1+2k²）x²-8k²x+（8k²-2）=0 由韋達(dá)定理可得 即x2= 0因?yàn)?

所以 故 為定值.

思考點(diǎn)斜式的假設(shè)與一般式具有一定區(qū)別，適用情況也不相同.點(diǎn)斜式需要直線經(jīng)過定點(diǎn)的基礎(chǔ)前提，并且要求斜率存在，才能假設(shè)并代入計(jì)算.因此該題可以假設(shè)直線為 y+0=k（x-2） ，代入橢圓后借助一元二次方程式的韋達(dá)定理解題，即可得到斜率表達(dá)式并證明成立.

3結(jié)語

從一道圓錐曲線斜率之比為定值的不同證明思路分析過程中，可以窺探到圓錐曲線的斜率問題的不同證明角度，對(duì)不同思路對(duì)應(yīng)解題步驟的區(qū)分與映射，有助于學(xué)生理解斜率問題，從而提升解題的正確率與效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃瑞平，周仕榮.解答圓錐曲線中直線的斜率之和（積）為定值問題的兩種途徑[J」.語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版下旬），2024（01）：35—36.

[2]牛志忠，郭清源.高考圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)與斜率和積問題之妙解[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2022（12）： ^17-19+23.