一道雙曲線競賽題的解法與推廣

2024年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省初賽第9題是一道以雙曲線為載體，探究系數(shù)不對稱的斜率和為常數(shù)的條件下直線過定點問題，本文探究試題的解法，將試題的結論推廣和類比，再整合得到一類問題的一般性結論.

1 試題呈現(xiàn)及評析

題目（2024年江西初賽第9題）雙曲線Γ： 的左右頂點 ^A，B 的距離為 ^{4，M，N} 是右支上不重合的兩動點且滿足 k_BN+2k_AM=0（k_AM，k_BN 是相應直線的斜率），求動直線 MN 經(jīng)過的定點的坐標.

該題設中給出的雙曲線兩頂點間的距離即給定了 Δ_a 的值，又給出右支上兩動點所滿足的斜率關系，要證明的是動直線MN過定點.常規(guī)解題思路：利用雙曲線的幾何性質和給定的斜率關系，設出直線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理來求解.由于右支上兩點 M，N 的連線可以垂直于 x 軸，因而設直線方程為 另外，觀察圖形和式子可以發(fā)現(xiàn)，若 M，N 兩點滿足條件，則它們關于 x 軸分別對稱的點 M^'，N^' 也滿足條件的，因而所求的定點必在 x 軸上，這就進一步驗證了直線方程設為 +t ，并且只需求出 Φ_t 的值就可.我們再來看關系 k_BN+ 2k_AM=0 ，由于系數(shù)不對稱，所以將 x₁，y₁，x₂，y₂ 代人之后是無法直接應用韋達定理的，對于這種非對稱結構的式子，將其轉化為比值為定值的形式 -2，然后把韋達定理和關系代人，問題基本上就解決了.

求解本題關鍵在于理解雙曲線的幾何和代數(shù)性質，以及如何利用給定的條件來推導出直線的定點位置，該過程不僅考查考生對雙曲線基本性質的理解，還考查學生在處理復雜數(shù)學問題時的邏輯推理和分析問題的能力，同時還能培養(yǎng)學生處理復雜數(shù)學問題的技巧和策略.

2 解法探究

解法1 （設線法）根據(jù)題意可知 a=2 ，故 設 ?M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，由于A（-2，0），B（2，0） ，因此 又根據(jù)k_BN+2k_AM=0 ，得 ，從而得 =-2 ：

設直線 MN：x=my+t， 由 消去 x （204得 （b²m²-4）y²+2mb²y+（t²-4）b²=0 ，因此 則 y₂ ）.根據(jù)題意可知 （20 （Φ_t+2）y₂Φlt;0 ，所以 ，因此 ，所以 t+2= （204號

2（t-2） ，解得 t=6 ，故得 MN_：x=my+6. 令 y=0 得 x=6 ，故動直線 MN 經(jīng)過的定點的坐標為（6，0）.

點評解法1利用“設線法”，設出直線MN的橫斜截式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，把韋達定理代入斜率關系變形后的比值式，整體變形處理求解，是求解非對稱韋達應用問題的一種常規(guī)方法.

解法2（齊次化法）由解法1，得 根據(jù)題意知點 M 在 Γ 上，因此 = 1，變形得 代人上式得 ，于是 -2，因此

設 MN_！x=my+t ，所以 x₁=my₁+t ，從而 12=my1+t-2，所以2-2 = 1.再由4 得 b²x₁²-4y₁²=4b² ，因此 b²（x₁-2+2）² （204號 （20 =0.于是b2（x-2）2+4b2（x，-2）·（-2 ，即 兩邊同除以 （x₁-2）² 得 同理得 （204因此 是關于 x 的方程 的兩實根，由韋達定理得 所以 ，從（20而得 ，解得 t=6 ，所以直線 MN_：x= my+6. 令 y=0 ，得 x=6 ，故動直線 MN 經(jīng)過的定點的坐標為（6，0）.

點評解法2兩次運用點在 Γ 上，得到關系等式后，通過進行常數(shù)的加、減配湊和代換，將等式化為“齊二次式”進行處理得到兩個“同構”等式，構造一元二次方程利用韋達定理求解.齊次化法在圓錐曲線中應用較為廣泛，對于簡化圓錐曲線的運算量有著很重要的作用.

解法3（設點法）設 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，因為 M，N 均在 Γ 上，所以 變形得 由解法1得 =-2，將上述兩式代人得 =-2，因此1（x+2） ，整理得 x₂y₁+2x₁y₂= （204 4y₂-2y₁①. 變形得 x₁y₂+2y₂=-2 x₂y₁+4y₁ ，所以 x₁y₂+2x₂y₁=4y₁-2y₂②. 由 ②-① 得 x₂y₁-x₁y₂=6y₁-6y₂=-6（y₂ -y₁）.③ 由于直線 MN 的斜率 =y-1，因此直線MN 的方程為 ，整理得（204 （x₂-x₁）y=（y₂-y₁）x+x₂y₁-x₁y₂ 把 ③ 代入得（20 ，即 （x₂-x₁）y 令 x=6 ，則 y=0 ．故動直線MN 經(jīng)過的定點的坐標為 （6，0）

點評解法3設出點的坐標，利用點在 Γ 上，得到點的坐標關系，然后設出直線的點斜式方程，代入求解，過程比較簡捷.

3 試題變式

試題的題設條件中，將兩斜率的不對稱和為常數(shù)其實是兩斜率的比值為常數(shù)，基于這一理解和認識，對試題從逆向進行思考和變式，可有：

變式 雙曲線Γ 的左、右頂點分別為 ^A，B ，過定點（6，0）的直線與 Γ 的右支交于 M，N 兩點，則 是相應直線的斜率）.

解析 設直線 MN 的方程為 x=my+6 ，聯(lián)立 消去 x 得 （Δb²m²-4）Δy²+2mΔb²y+32 （20（2 b²=0

設 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，則 （ 兩式相除得 （2所以m yy2 ．因為 A（δ_-2，0） ，B（2，0） ，所以 所以

4結論推廣

若把試題推廣為一般雙曲線情形

結論1 雙曲線I （2號 的左、右頂點為 A，B，M，N 是右支上不重合的兩動點 且滿足 k_BN+λk_AM=0（λgt;0，k_AM，k_BN 是相應直線的 斜率），則動直線 MN 經(jīng)過定點（

以下按試題解法1的設線方法來證明該結論

證明 設 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ， 因為

A（δ-a，0），B（δa，0） ，所以 （20

又由 k_BN+λk_AM=0 ，得 ，所以

設直線 MN 的方程為 x=my+t ，聯(lián)立 消去 x 得 （t²-a²）b²=0 ，所以 所以

由題意得 tgt;a，y₁y₂lt;0，（t-a）y₁?（t+a）y₂ lt;0 ，所以 ，所以 所以t+a=λ（t-a），解得t=（λ+1）a， ，所以直線 令 y=0 ，得 故動直線 MN 經(jīng)過的定點坐標為（

若把試題變式中的雙曲線方程和定點均推廣為一般情形，即逆向考慮結論1，有結論：

結論2 雙曲線 的左、右頂點分別為 ^A，B ，過定點 （x₀，0） 且不垂直于 y 軸的直線與 Γ 相交于 M，N 兩點，若 ?k_AM，k_BN 是相應 直線的斜率，則

證明 設直線 MN 的方程為 x=my+x₀ ，聯(lián)立 消去 x 得 設 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，則

兩式相除得 （2 所以 因為 A（δ-a，0），B（δa，0） ，所以 所以

橢圓和雙曲線都是有心圓錐曲線，它們之間有著許多相似的性質，類比雙曲線的結論1和結論2，可以得到橢圓的相應結論.

結論3 橢圓 的左、 右頂點為 A，B，M，N 是橢圓上不重合的兩動點且滿 足 是相應直線的斜 率），則動直線 MN 經(jīng)過定點

結論4 橢圓I 的左、 右頂點分別為 ^A，B ，過定點 （x₀，0） 且不垂直于 y 軸 的直線與 Γ 相交于 M，N 兩點，若 是相應直線 的斜率，則

結論4的證明可仿照結論2的證明，這里從略.