借助數(shù)學思想，提高解題能力

初中數(shù)學學習中，常見的數(shù)學思想有數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、分類討論思想、函數(shù)思想、方程思想等.巧用這些數(shù)學思想，可以使數(shù)學問題簡單化，有效地提高解題效率.

1應用數(shù)形結合思想，提高解題能力

例1已知 mgt;ngt;0 ，若關于 x 的方程 x²+ 2x-3-m=0 的解為 x₁…x₂（x₁2） ，關于 x 的方程 x²+2x-3-n=0 的解為 x₃…x₄（x₃4） ，則下列結論正確的是（ ）

（A）x₃124. （20

（20

（C）x₁234. （2

（D）x₃421. （2

思路解析 數(shù)形結合思想是指將問題的數(shù)量與圖形結合，用圖形直觀地表示數(shù)量關系，力求找到解題思路的一種思想.

解析由 x²+2x-3-m=0 的解為 Ψ_x1 、x₂（x₁2 ）可知，函數(shù) y=x²+2x-3 與函數(shù) y= m 的交點為 x₁…x₂（x₁2） ：

由 x²+2x-3-n=0 的解為 x₃…x₄（x₃4） 0可知，函數(shù) y=x²+2x-3 與函數(shù) y=n 的交點為x₃…x₄（x₃4） ：

又已知 mgt;ngt;0 ，可畫出大致圖象，如圖1.

由圖可知， x₁342 .故選擇（B）.

2 應用化歸轉化思想，提高解題能力

例2已知點 P 為半圓 O 上的一動點，直徑 AB =8 ，求 PA+PB 的最大值.

思路解析化歸轉化思想是指將復雜問題轉化為易于解決或已經解決的問題的一種思想.

解析 如圖2，過點 P 作 PQ⊥AB

求 PA+PB 的最大值，即求 （PA+PB）² 的最大值.

因為 （PA+PB）²=PA²+PB²+2PA?PB= AB²+2PA?PB ，

所以求 （PA+PB）² 的最大值即求 PA?PB 的最大值.

在 RtΔPAB 中， AB×PQ ，可知求 PA?PB 的最大值，即求 AB× PQ 的最大值.

又因為 AB 的值一定，所以求 AB×PQ 的最大值即求 PQ 的最大值.

綜上，可將求 PA+PB 的最大值轉化為求 PQ 的最大值，即

由題意可知，當點 P 為半圓中點時， PQ 最大.且此時 PQ 等于半圓的半徑，即 PQ_max=4 ，

所以 （PA+PB ）

3應用分類討論思想，提高解題能力

例3關于 x 的函數(shù) y=（m²-1）x²- 的圖象與 Ψ_x 軸只有一個交點，求 Ψ_m 的值.

思路解析分類討論思想是指將問題按照某原則或標準分成幾類進行討論的一種思想.

解析當 m²-1=0 時，因為函數(shù)圖象與 x 軸

只有一個交點，所以 2m+2≠0 （204故可列出，解得 m=1 ，當 m²-1≠0 時， m≠±1 因為函數(shù)圖象與 x 軸只有一個交點，有[ -（2m+2）]²-4×2（m²-1）=0 ，解得 m

=-1 （舍去）， m=3 綜上， m 的值為1或3.

4應用函數(shù)思想，提高解題能力

例4某水果批發(fā)商中每箱蘋果的進價為40元.經市場調查，若每箱蘋果的售價為50元，平均每天銷售90箱，且價格每提高1元，平均每天少銷售3箱.問：當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？

思路解析 函數(shù)思想是指利用函數(shù)處理問題中的數(shù)量關系的一種思想.

解析 設銷售價為 x （元／箱），平均每天的銷售利潤為 w 元.由題意可知 —50）]，化簡得 w=-3x²+360x-9600. 要求最大利潤，即求二次函數(shù) w=-3x²+360x-9600 的最大值．易知 w=-3x²+360x-9600=-3 （x-60）²+1200，alt;0 ，故當 x=60 時， 有最大值1200.綜上，當每箱蘋果的銷售價為60時，可以獲得最大利潤1200.

5應用方程思想，提高解題能力

例5如圖3，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° AC=BC=5 ，正方形DEFG的邊長為 ，它的頂點D，E，G 分別在 ΔABC 上，則 BG 的長為

思路解析 方程思想是一種用列方程或方程組的方法解題的思想.

解析 如圖4，過點 G 作 GK⊥AC

因為 ∠ACB=90^°，AC=BC

所以

因為 GK⊥AC ∠BAC=45^°

所以 ΔAGK 為等腰直角三角形，

由四邊形DEFG為正方形，

可得 DG=DE ∠GDE=90^°

因為 ∠DGK+∠KDG=90^°

∠CDE+∠KDG=90^°

所以 ∠DGK=∠CDE

且 ∠DKG=∠ECD=90^°

故 ΔDGK?ΔCDE

所以 GK=CD DK=CE ，

不妨設 AK=x DK=y ，

則 GK=CD=x CE=y

因為 AC=AK+DK+CD，CD²+CE²=DE²，

所以可列出

消 得 x²-4x+4=0 ，

解得 x=2 ，

從而 AK=2

所以 ，

所以

綜上， BG 的長為 ：

6 結語

總而言之，在初中數(shù)學解題教學中，教師應意識到數(shù)學思想的重要性，有針對性地培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，讓學生能夠靈活掌握和運用，從而高效解題，有效學習.