探究構(gòu)造函數(shù)法在高考試題中的應(yīng)用

1應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法解三角函數(shù)真題

例1 （2022年全國甲卷數(shù)學(xué)（理）·第12題）已知 則（ ）

(C)a>b>c.(D)a>c>b.

思路分析 b 與 Ψ_c 的大小利用三角函數(shù)放縮很容易判斷；若比較 a 與 b ，則需要構(gòu)建函數(shù)，利用其單調(diào)性進(jìn)行比大小.

解析 利用三角函數(shù)可知，當(dāng) 時(shí)，tanx>x ，所以 即 所以 可得 b 與 Ψ_c 的大小關(guān)系，即 c> ，不妨構(gòu)造函數(shù) -1(0′

(x)=x-sinx .令 g(x)=x -sinx(0′(x)=1-cosx ，不難發(fā)現(xiàn) g^′(x) 在(0，1）上恒大于0，所以 g(x) 在(0，1)上單調(diào)遞增，即 g(x)>g(0)=0. 所以 f^′(x)>0 ，故f(x) 在(O，1)上單調(diào)遞增，所以 0，即 ，得到 b-a>0，b>a .綜上 c>b>a .故選(A).

評(píng)析 本例題較難，需要學(xué)生重點(diǎn)熟練掌握三角函數(shù)的證明與應(yīng)用.

2應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法解不等式真題

例2（2022·浙江卷·第9題)已知 a，b∈R ，若對任意 x∈R，a∣x-b∣+∣x-4∣-∣2x-5∣?0 ，則（ ）

(A)a?1，b?3.(B)a?1，b?3.

思路分析 通過整理?xiàng)l件中的絕對值不等式，得到 a|x-b|?|2x-5|-|x-4| ，從而構(gòu)建函數(shù) f(x)=a∣x-b∣，g(x)=∣2x-5∣-∣x-4∣， （2再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)圖象解答.

解析 由題意可知，對任意 a|x-b|?|2x-5|-|x-4| .不妨設(shè) f(x)=

a|x-b|，g(x)=|2x-5|-|x-4| ，去絕對值

后 在同一個(gè)平面直

角坐標(biāo)系中作出函數(shù) f(x) 與 g(x) 的圖象，如圖1

所示.結(jié)合絕對值圖象的性質(zhì)，要想使 a∣x-b∣?

∣2x-5∣-∣x-4∣ 恒成立， f(x) 的圖象必在

g(x) 圖象的上方，即必有 故，

選(D).

評(píng)析本例題考查不等式恒成立問題，采用構(gòu)建函數(shù)法解答可以有效提高解題效率.

3應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法解導(dǎo)數(shù)真題

例3（2021年新高考數(shù)學(xué) I 卷·第22題)已知函數(shù) f(x)=x(1-lnx) ：

（1）討論 f(x) 的單調(diào)性；

（2）設(shè) a_λ，b 為兩個(gè)不相等的整數(shù)，且 .證明：

思路分析第一小問，求出導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合符號(hào)即可確定函數(shù)單調(diào)性.第二小問，先利用對稱差函數(shù)分析，再構(gòu)造函數(shù)分別證明左右兩側(cè)不等式成立.

解析 0 Φ_:x>0Φ_: ），所以當(dāng) x∈Γ(0，1) 時(shí)， ??f^′(x)>0 f(x) 單調(diào)遞增；當(dāng) x∈(1，+∞) ）， f^′(x)<0 4f(x) 單調(diào)遞減.綜上， f(x) 在(0，1）上單調(diào)遞增，在 (1，+∞) 單調(diào)遞減.

(2)由 ，得 J 因?yàn)?a≠b ，所以

由(1)知， f(x) 在(0，1)上單調(diào)遞增，在 (1，+∞) 單調(diào)遞減，且 令 x₁ x1b ，設(shè) x₁2

，則 01<12′(x)=f^′(2-x)- .當(dāng) x∈ (0，1）時(shí)， g^′(x)<0 ，則 g(x) 在(0，1）上單調(diào)遞減，所以 g(x₁)>g(1)=0 ，即 f(2-x₁)-f(x₁)>0 f(2-x₁)>f(x₁) ，又因?yàn)?f(x) 在 (1，+∞) 單調(diào)遞減，所以 x₂>2-x₁ ，即 x₁+x₂>2

再證明 x₁+x₂ ，再令 ，則 <0 ，所以 φ(x) 在(O，e)上單調(diào)遞減，即 φ(x)> φ(e)=0 ，即 h^′(x)>0，h(x) 在 (0，e) 上單調(diào)遞增.因?yàn)?01

<12 即 ；又因?yàn)?f(x₁)= f(x₂) ，所以 即 x₂²-ex₂= x₁²-ex₁ ，得 (x₁-x₂) ） (x₁+x₂-e)>0 ；又因?yàn)?1<121+x₂

綜上，

評(píng)析本例題為高考?jí)狠S題，難度較大，解答 時(shí)后面加構(gòu)造函數(shù)要靈活變通.

4結(jié)語

總而言之，掌握構(gòu)造函數(shù)法的基本技巧和題型，可以有效把握解題方向，提高高考解題效率和速率.