用數(shù)學(xué)思想求解幾何問題的探究

數(shù)學(xué)思想在幾何解題中十分常見，同樣可以運(yùn)用于相交線與平行線問題中，常用的有轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、建模思想等.教學(xué)中，建議教師深入解讀方法，再結(jié)合實(shí)例進(jìn)行解題指導(dǎo).

1轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)

1. 1 方法解讀

利用轉(zhuǎn)化思想求解相交線與平行線問題，基本思路是：對于難以直接求解的角度問題，可以轉(zhuǎn)化為求它的補(bǔ)角、余角或與它相等的角，后續(xù)利用兩者的關(guān)系來完成求解.

1.2 解題指導(dǎo)

例1如圖1所示，點(diǎn) δ_C，D_δ 在直線 AB 上，已知∠ACE+∠BDF=180^°，EF // AB ，試回答下列問題.

（1）求證： CE//DF ：

（2）∠DFE 的角平分線 FG 交 AB 于點(diǎn) G ，過點(diǎn)F 作 FM⊥FG 交 CE 的延長線于點(diǎn) M .若 ∠CMF =55^° ，求 ∠CDF ：

分析與解（1）利用平角的性質(zhì)等量代換，可得 ∠BDF=∠BCE ，再利用同位角相等兩直線平行

即可證明；（2）求 ∠CDF 的度數(shù)，可結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，利用兩直線平行、角平分線的定義，將其轉(zhuǎn)化為與之關(guān)聯(lián)的角度，通過求關(guān)聯(lián)角來完成求解.

已知CE// DF ，則 ∠CMF+∠DFM=180^° 0進(jìn)一步可求出 ∠DFM=125^° ，把握其中的垂直條件，則有 ∠DFG=∠DFM-∠GFM=35^°. 再根據(jù)角平分線的定義可得 ∠DFE=2∠DFG=70^° ，利用平行線的性質(zhì)可得 ∠CDF+∠DFE=180^° ，則∠CDF=110^°

解后評析利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行角度推導(dǎo)，本質(zhì)上就是幾何特性關(guān)系的整合過程，構(gòu)建幾何角之間的關(guān)聯(lián)，從而間接求解.過程中需要明確兩點(diǎn)：一是明確已知角、待求角和關(guān)聯(lián)角；二是注意幾何特性的轉(zhuǎn)化，即基于特性來構(gòu)建幾何角的關(guān)聯(lián).

2分類討論思想指導(dǎo)

2. 1 方法解讀

利用分類討論思想求解相交線與平行線問題，主要是對幾何問題中的情形分開討論.造成多情形的原因有很多，常見的為位置不確定，需要關(guān)注點(diǎn)在線上的位置，以及大小關(guān)系的不確定性.求解時(shí)需要明確討論標(biāo)準(zhǔn)，再分別繪制圖形進(jìn)行討論.

2.2 解題指導(dǎo)

例2已知 ∠ABC ，畫一個(gè)角 ∠DEF ，使DE//AB， EF // BC ，且 DE 交 BC 于點(diǎn) P ·

（1）我們發(fā)現(xiàn) ∠ABC 與 ∠DEF 存在某種數(shù)量關(guān)系，如圖2所示，那么圖2中 ∠ABC 與 ∠DEF 有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）若兩個(gè)角的兩邊互相平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少 15^° ，請求出這兩個(gè)角的度數(shù).

分析與解（1）利用平行線的性質(zhì)直接推理，已知 DE //AB， EF // BC ，則 ∠ABC=∠DPC 0∠DPC=∠DEF ，可得 ∠ABC=∠DEF ：

（2）結(jié)合分類討論思想來求解角度，分兩種情形：

① 若兩個(gè)角相等時(shí)，設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為 x ，如圖3，則 x=2x-15^° ，可解得 x=15^° ，即兩個(gè)角均為 15^° ：

② 若兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為 x ，如圖4，則 x+2x-15^°=180^° ，可解得 x=65^° ，即兩個(gè)角的度數(shù)分別為 65^° 和 115^°

解后評析利用分類討論思想求解相交線與平行線問題中的角度問題，需要討論其中不確定點(diǎn)的位置，可從以下兩個(gè)視角切入：一是點(diǎn)在線上、幾何中的位置討論；二是點(diǎn)與線、線與線相對位置關(guān)系的討論.

3建模思想指導(dǎo)

3.1 方法解讀

用建模思想求解相交線與平行線問題，即根據(jù)實(shí)際情形來構(gòu)建幾何模型，該類問題的常見模型有三種：鉛筆頭模型、豬蹄模型、鋸齒模型.建模解析時(shí)有兩種思路：一是結(jié)合實(shí)物直接建模，需要將其中的特征關(guān)系用幾何元素來呈現(xiàn)；二是結(jié)合實(shí)物理解模型，則只需要根據(jù)題設(shè)條件來提取幾何特性即可.

3.2 解題指導(dǎo)

例3滑雪是一項(xiàng)受人們喜歡的運(yùn)動.正確的滑雪姿勢很重要，需要上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖5所示，

AB/ CD ，如果人的小腿 CD 與地面的夾角∠CDE=60^° ，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF 的度數(shù)嗎？

分析與解結(jié)合建模思想來求解，理解要求，提取幾何特性，構(gòu)建鋸齒模型，利用模型結(jié)論推導(dǎo).

過點(diǎn) B 作BM// AF ，過點(diǎn) c 作CN// ED ，按 照圖5進(jìn)行角度標(biāo)注.

分析可知 ∠BAF=∠3

∠CDE=∠4=60^°.

而 AF//DE ，則 BM//CN ，

可推知 ∠1=∠2

又知 AB//CD ，則 ∠ABC=∠BCD ，

可得 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2 ，

所以 ∠3=∠4 ，

則 ∠BAF=∠CDE=60^° ，即 ∠BAF ，

解后評析用建模思想求解相交線與平行線問題.上述解題用了鋸齒模型，利用模型的拆解策略來作輔助線，從平行關(guān)系視角開展角度推導(dǎo).教學(xué)指導(dǎo)中，注意引導(dǎo)學(xué)生明晰常見的模型，總結(jié)模型特征和結(jié)論.

4結(jié)語

總之，利用數(shù)學(xué)思想求解相交線與平行線問題，涉及的思想方法有很多.教學(xué)探究中建議參考上述過程梳理思想方法的應(yīng)用過程，針對性講解構(gòu)建策略；解題分析中注意過程拆解，評析方法應(yīng)用，梳理細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn).