數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)圖象中的實踐路徑

例1已知 x 的不等式的""b 解集恰好是 [a，b] ，試求出 a+b 的結(jié)果.

分析 如圖1所示，首先畫出""4的函數(shù)圖象，對其進行分析，""是一個二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為 x=2 ，頂點坐標為（2，1）.其次注重觀察兩條水平的直線： y=a 和y=b .接著分情況討論：當(dāng)參數(shù) a 和 b 分別在 ia?2 .b?2，alt;2

圖1

如圖1所示，如果兩條直線均與函數(shù)""3x+4 有兩個不同交點，那么原不等式的解集不可能是連續(xù)區(qū)間 [a，b] ，接著分情況討論：

第一種情況，當(dāng) a?2 時，函數(shù)""4在 [a，b] 上單調(diào)遞增.

從函數(shù)圖象上看， y=x 與""的 交點橫坐標不滿足 a?2 的條件.

第二種情況，當(dāng) b?2 時，函數(shù)""4在 [a，b] 上單調(diào)遞減.

從函數(shù)圖象上看，""在 x?2 時單調(diào)遞減， y=x 與""的在 x?2 時沒有符合條件的交點.

第三種情況，當(dāng) alt;2

"至多有一個公共交點，于是 a?f

（x）min=1 ，由""χ2-3x+4的函數(shù)圖象列方程

可得""（b=4，解得∣a=0 或4（不合題意，故舍去），"（20或"或""（不合題意，舍去），

故 a+b=4

例2 已知函數(shù)""若函數(shù)"恰有4個零點，求 k 的取值范圍.

分析本題首先將 x=0 代入到函數(shù) g（x） 中，可得 g（0）=0 ，結(jié)合題目所給條件，可將問題轉(zhuǎn)化為y=|kx-2｜與h（x）：""有3個不同的根，即交點.接著分 k=0，klt;0，kgt;0 三種情況，聯(lián)合數(shù)形結(jié)合的思想進行討論.

已知條件易得 g（0）=0 ，所以要使恰有4個零點，只需要使方程""恰有3個實數(shù)根即可.令h（x）=""即 y=∣kx-2∣ 與 h（x）=""的圖象有3個交點.

因為""第一種情況，如圖2所示.

第三種情況，如圖4所示.

當(dāng) kgt;0 時，當(dāng) y=∣kx-2∣ 與 y=x2"相切時，聯(lián)立方程得 x2-kx+2=0

此時令 Δ=0 得 k2-8=0 解得""或一""（舍去），所以""綜上所述， ??k 的取值范圍為 （-∞，0） U"

當(dāng)k=0時，y=2，則直線y=2與h（x）=""的圖象有1個不同的交點，不滿足題意.

第二種情況，如圖3所示.

當(dāng) klt;0 時，此時""的圖象恒有3個不同的交點，滿足題意.

圖2

結(jié)語

本文涉及的例題注重考查學(xué)生繪制函數(shù)圖象的能力，以及是否能依據(jù)函數(shù)本身特征繪制出符合題意的圖象，并結(jié)合已知條件求出特定數(shù)值.繪制圖象時，應(yīng)該按照特定的幾個步驟：（1）分清函數(shù)的具體類型；（2）在函數(shù)中找到特殊點，并做標記，如 x=0 x=1 等；（3）依據(jù)函數(shù)的基本特征作圖；（4）在高中階段掌握精準繪制函數(shù)圖象的能力，能夠為后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)奠定堅固的知識基礎(chǔ).