問題引入梳理模型，解題探究策略強(qiáng)化

1 問題引入

例1如圖 1-（a） 所示，拋物線 （204號(hào) x+2 的頂點(diǎn)為 A ，與 y 軸交于點(diǎn) B ：

（1）求點(diǎn) A 點(diǎn) B 的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn) P 是 x 軸上任意一點(diǎn)，求證： PA-PB ?AB ;

（3）當(dāng) PA-PB 最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

過程解析：（1）關(guān)注點(diǎn) A 和 B 的位置特性，點(diǎn) A 為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn) B 為拋物線與 y 軸的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的解析式，可求得點(diǎn) A（-2，3），B（0，2） L

（2）證明 PA-PB?AB ，可分兩種情形進(jìn)行 討論.

當(dāng)點(diǎn) P 為 AB 延長線上與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)， PA- PB=AB .

當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上又異于 AB 的延長線與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn) P?A 和 B 構(gòu)成的三角形中， PA-PB

綜上可知， PA-PB?AB ：

（3）求 PA-PB 最大時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)，作直線AB 交 x 軸的交點(diǎn) P ，作 AH⊥OP ，設(shè)垂足為點(diǎn) H ，如圖 1-（b） 所示，分析可知此時(shí)點(diǎn) P 即為所求點(diǎn).

因?yàn)?BO⊥OP，ΔBOP?ΔAHP ，由相似性質(zhì)可得 ，由（1）可知， AH=3，OH=2，OB =2 ，則 OP=4 ，則點(diǎn) P（4，0）

解后思考上述為以拋物線為背景的綜合題，其中后兩問為核心之問，可視為是與線段和差相關(guān)的最值問題，解析過程中采用了數(shù)形結(jié)合的方法策略，充分利用三角形的三邊關(guān)系，以及共線定理來確定最值情形.教學(xué)中，需要教師把握問題特點(diǎn)，梳理解題模型，指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用.

2模型講解

線段最值問題在初中數(shù)學(xué)中十分常見，即求解|PB-PA| 的最值，主要有兩種情形，即求解最大值或者最小值.教學(xué)中建議結(jié)合實(shí)例來講解模型，及最值求解思路.

圖形：已知點(diǎn) A 和 B 為定點(diǎn)，點(diǎn) P 為直線 ξ_l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求 |PB-PA| 的最大值和最小值.

最大值模型：結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，即兩邊之差小于第三邊，則有 |PB-PA|?AB ，分析可知當(dāng)點(diǎn) P?A 和 B 共線時(shí)可取得等號(hào).建模作圖如圖2，連接 BA 并延長，與 l 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).

最小值模型：根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可知，∣PB-PA∣?0 ，當(dāng) AP=PB 時(shí)成立.建模作圖如圖3，點(diǎn) P 為 AB 的中垂線與直線 ξ_l 的交點(diǎn).

思考總結(jié)：對(duì)于線段差的最值問題，主要利用三角形的三邊關(guān)系、共線定理，以及中垂線性質(zhì)來構(gòu)建模型.具體解析時(shí)建議梳理問題條件，建立最值模型，再計(jì)算求解.可按照“條件梳理 $$ 模型構(gòu)建 $$ 計(jì)算求解”來構(gòu)建思路.

3解題指導(dǎo)

上述梳理了線段最值解析模型的構(gòu)建方式，教學(xué)中可結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生解題強(qiáng)化，靈活運(yùn)用模型來分析計(jì)算.

例2已知拋物線 y₁=a（x-2）²-4（a≠0） 經(jīng)過點(diǎn) （0，-3） ，頂點(diǎn)為 M ，將拋物線 y₁ 向上平移 b 個(gè)單位可使平移后得到的拋物線 y₂ 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y₂ 的頂點(diǎn)為 A ，與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B

（1）求 Ω_a 和 b 的值；

（2）求拋物線 y₂ 的函數(shù)表達(dá)式；

（3）點(diǎn) P 是 y 軸上一點(diǎn)，當(dāng) ∣PA-PB∣ 的值最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

思路分析 上述為與平移相結(jié)合的拋物線綜合題，題設(shè)三問，需要利用平移特性來推導(dǎo)拋物線解析式，后續(xù)結(jié)合上述構(gòu)建的最值模型來解析最值.

過程構(gòu)建（1）簡答，拋物線經(jīng)過點(diǎn) （0，-3） .將其代人拋物線解析式，可得 ;把握拋物線的平移過程，分析可知其向上平移了3個(gè)單位，即 b =3 ：

（2）簡答，根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”，可求得拋物線的解析式為

（3）求解線段最值中的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)總結(jié)的模型來分析.

當(dāng) P?A?B 三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，可構(gòu)成ΔPAB ，由三角形的三邊關(guān)系定理可推知「PA一PB|

當(dāng) P?A?B 三點(diǎn)共線時(shí)，如圖4所示，則 ∣PA- PB|=AB ：

顯然當(dāng) |PA-PB 」的值最大時(shí)，即為共線時(shí)的情形，設(shè)出直線 AB 的解析式 y=kx+b ，將點(diǎn)A（2，-1） 和 B（4，0） 的坐標(biāo)分別代入解析式中，可求得 2α－2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－2）.

教學(xué)建議對(duì)于上述與平移相關(guān)的綜合問題，教學(xué)中注意兩點(diǎn)：一是梳理平移規(guī)律，構(gòu)建平移與解析式的關(guān)系；二是總結(jié)線段最值模型，分情形討論.具體教學(xué)時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法策略，直觀呈現(xiàn)問題情形，引導(dǎo)學(xué)生充分思考.

4結(jié)語

線段差最值問題的教學(xué)重點(diǎn)是指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建最值模型，包括最小值和最大值兩種情形，并結(jié)合性質(zhì)定理來詳細(xì)解讀.上述教學(xué)思路有一定的參考價(jià)值，具體教學(xué)時(shí)注意結(jié)合實(shí)例問題來梳理方法策略，指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用解題.同時(shí)合理滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、模型構(gòu)建等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).