巧用將軍飲馬模型解決最短路徑問題

數(shù)學(xué)解題并非空穴來風(fēng)，往往需要相關(guān)數(shù)學(xué)模型的“助力”，比如一類最短路徑問題，它的“依靠”就是將軍飲馬模型.那么何為將軍飲馬？傳說在很久以前的古羅馬時代，亞歷山大城居住著一位名叫海倫的學(xué)者，他不僅精通物理，還十分擅長數(shù)學(xué).有一天，有位羅馬將軍專程去請教他一個令人百思不得其解的問題：

如圖1所示，一位將軍準(zhǔn)備從宿營地 A 處騎馬出發(fā)，先趕到河邊讓馬飲水，然后再速去河岸同側(cè)的另一個宿營地 B 處，請問將軍應(yīng)該怎樣選擇路徑才能使路程最短？

.B軍營

這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它.

如圖2，首先作 A 點(diǎn)關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) A^′ ，然后連接 A^′B ，設(shè) A^′B 與直線 ξ_l 的交點(diǎn)為 P ，連接 AP 與 BP .此時 PA+PB 的長度最小，且 PA+PB= PA^′+PB=A^′B. （20

所謂兩定一動型，就是將軍飲馬的原型，在這個問題中兩個定點(diǎn) A 和 B 位于某直線 ξ_l 的同側(cè)（如圖2），動點(diǎn) P 位于直線 ξ_l 上，要求 PA+PB 的最小值.

例1如圖3，正方形ABCD中， AD=12 ，點(diǎn) P 在 AC 上，點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)，則 PE+PD 的最小值是（ ）

（A）16. （B） . （C）12. （D）

分析由于點(diǎn) B 與 D 關(guān)于 AC 對稱，所以連接BE ，設(shè) BE 與 AC 交于點(diǎn) P ，連接 PD ，此時 PE+ PD=PE+PB=BE 最小，在 RtΔABE 中，利用勾股定理即可得出結(jié)果.

解如圖4，連接 BE ，設(shè) BE 與 AC 交于點(diǎn) P 連接 PD

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以點(diǎn) B 與點(diǎn) D 關(guān)于 AC 對稱，所以 PD=PB ，所以 PE+PD=PE+PB=BE

即 P 為 AC 與 BE 的交點(diǎn)時， PE+PD 最小，即為 BE 的長度.

在 RtΔABE 中， ∠BAE=90^°，AB=AD=12 （2

所以 故選B.

變式 如圖5，點(diǎn) A，B 在反比例函數(shù) 的圖像上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （1，m） ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（3，2）， y 軸上有一動點(diǎn) P ，連接 PA?PB ，則 PA+ PB 的最小值為（ ）

（2號 ： （B）5. （C）3√3.

分析 先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再作點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn) c ，連接 PC，BC ，可得 PC=PA 和點(diǎn) c 的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn) B，P，C 共線時， PC+PB 的值最小，最小值為 BC 的長.

解將點(diǎn) B（3，2） 代入反比例函數(shù) 得：k=3×2=6 ，所以反比例函數(shù)的解析式為

將點(diǎn) A（1，m） 代人 得： ，所以 A（1，6） ，如圖6，作點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn) c 連接 PC，BC 則 C（-1，6） 二 PC=PA ，所以 PA+PB=PC+PB 由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn) B，P，C 共線時， PC+PB 的值最小，

最小值為 ，即 PA+PB 的最小值為 ，故選D.