運用平移法，解三類常見問題

在解決一些復(fù)雜的問題時，平移法能夠提供新的思路和視角，幫助學(xué)生打破思維定式，開拓解題思路.因此，掌握平移法對于提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義.

1 造橋選址問題

造橋選址問題是一個經(jīng)典問題，根據(jù)位置不同可以分為兩類， Z 型和 U 型.圖1為 Z 型，解題中可過點A作 AA^′//MN ，且 AA^′=MN，AA^′NM 為平行四邊形，連接 A^′B ，與直線 b 交于點 N^′ ，當點 N 位于點 N^′ 時， AM+MN+NB 最小.

圖2為 U 型，解題中可過點 A，D 作 AA^′//CD ，DA^′//AC，AA^′"與 DA^′"交于點 A^′"，再作點 B 關(guān)于直線 ξ_l"的對稱點 B^′"，連接 A^′B^′"交直線 ξ_l"于點 D^′"，當點 D 位于 D^′"時， CD 即為所求.

例1如圖3，四邊形 ABCD 對角線 AC，BD 互相垂直， AC=4 BD=6 ，則 AD+BC 的最小值為

（A） ： （C）5. （D）6

解析 如圖3，平移 BD 至 CE ，連接 ED，EA ，

因為 AC⊥BD ，

則 AC⊥EC ，

因為 AD+BC=AD+DE?AE

所以 AD+BC 的最小值為

2 定邊、定高問題

平移法也常被用于解決定邊、定高問題，常涉及幾何圖形的面積或周長計算.平移法通過移動圖形，使得問題中的定邊和定高處于更易于計算的位置，從而簡化問題.常見的題型有矩形或平行四邊形中的定邊、定高問題以及三角形中的定邊、定高問題等.解題中首先需要明確題目中給出的定邊和定高是哪兩條線段，以及它們之間的關(guān)系；而后根據(jù)題目的要求和圖形的特點，確定平移的方向和距離；最后，根據(jù)已知的定邊和定高，計算所求的面積或周長.

例2如圖4，在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° ， 在 AB 上，點 E 在 AB 延長線上， DE=AB ，求 ΔCDE 周長的最小值.

解析因為 ∠ACB=90^° 0 ∠BAC=30^° 所以 ∠ABC=60^° ·因為 ，可得 BC=1，AB=2，DE=AB=2 ，沿 AB 方向平移 CD 至 FE ，連接 CF ，則 CF=DE=2，CF//DE 作 c 關(guān)于 AB 的對稱點 G ，連接 CG，GE，GF ，CG 交 AB 于點 H ，則 所以 CD+CE=FE+GE≥FG ， 故當 F，E，G 三點共線時， ΔCDE 周長最小為

3平行四邊形存在性問題

在初中數(shù)學(xué)試卷中，平行四邊形存在性問題常見的有“兩定兩動”“三定一動”等模型，在面對這兩類平行四邊形存在性問題時，均可以借助平移法進行解題.其中需要注意的是，不同模型均會涉及分類討論思維，如“三定一動”中，需要分別討論將三個定點構(gòu)建的三角形的三邊作為對角線來構(gòu)建三個平行四邊形，進而求出動點位置.

例3如圖5，拋物線 與 x 軸相交于 ^A，B 兩點，頂點為 P

（1）求 A，B 的坐標；

（2）是否存在點 F ，使以 A，B，P，F(xiàn) 為頂點的四邊形為平行四邊形？

解析 （1）A（-3，0），B（1，0） （2）因為拋物線為 中得其頂點 P（-1，-2） ，此時已知 A，B，P 三點，后續(xù)則需對AB所處位置進行分類討論.當線段 AB 為邊時，平行四邊形為ABPF或 ABFP ，此時則有 AP//BF，AP=BF ，則有 A 平移得到 B 的路徑與 P 平移得到 F 的路徑相同，A（-3，0） 向右平移4個單位得到 B（1，0） ，因為 P（-1，-2） ，則可得 F₁（3，-2） ，同理，對于平行四邊形為 ABFP 時，可得 F₂（- 5，-2） ;當AB為對角線時，平行四邊形為 APBF ，此時 P 平移得到 B 的路徑與 A 平移得到 F 的路徑相同，即向右平移2個單位，向上平移2個單位，可得 F₃（-1，2） ，綜上所述，符合題意的 F 點坐標為 F₁（3，-2），F(xiàn)₂（-5，-2），F(xiàn)₃（-1，2）

4結(jié)語

綜上所述，本文總結(jié)了平移法在解答造橋選址、定邊和定高、平行四邊形存在性問題等問題中的運用，可以發(fā)現(xiàn)靈活運用平移法能夠降低相關(guān)問題的解題難度.

參考文獻：

[1]陸軍.初中數(shù)學(xué)幾何題的解題方法[J].數(shù)理天地（初中版），2023（21）：28—29.

[2]王琪瓊.借助多元解題技巧，突破初中數(shù)學(xué)幾何題解題障礙[J].數(shù)理天地（初中版），2023（19）：30-32.