基于高階思維培養(yǎng)開展合作推理式學習

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0031-06

一、問題的提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》首次提出義務教育階段要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，而數(shù)學核心素養(yǎng)與高階思維密切相關．核心素養(yǎng)是個體在長期的學習過程中逐漸形成的關鍵能力和品格特質，它不僅包括知識技能，更強調跨學科理解和應用能力、創(chuàng)新思維、批判性思考，以及解決問題的能力．有研究者指出，初中數(shù)學高階思維是指學生在數(shù)學學習活動中為完成教師所提出的學習要求所表現(xiàn)出來的高水平心智活動，突出表現(xiàn)為策略型思維、批判型思維、創(chuàng)新型思維．其中，策略型思維具有抽象性、多樣性、擇優(yōu)性和遷移性的特點，批判型思維具有質疑性、解構性、辯證性和建構性的特點，創(chuàng)新型思維具有拓展性、發(fā)散性和創(chuàng)造性的特點.

數(shù)學高階思維的培養(yǎng)是一個社會性建構的過程，需要通過互動，激發(fā)多元主體之間的相互啟發(fā)和批判性接納不同觀點的能力．20世紀90年代，美國伊利諾伊大學兒童閱讀研究中心提出的合作推理式學習，目前被廣泛應用在美國的小學課堂上.這一學習方式在提高兒童的語言表達、批判型思維、因果推理、決策能力、知識遷移等方面具有顯著效果．合作推理為大家提供了批判性地評價對方和展現(xiàn)自己的想法或觀點的機會．合作推理不是簡單的合作，而是體現(xiàn)了思維的社會建構性特征．在合作推理式學習中，學生始終圍繞整體目標，在超越自己真實認知水平的情境中，在自己已有經(jīng)驗和認知基礎上與他人進行合作分析、推理，進而得出結論，解決問題．合作推理式學習有別于簡單的技巧性合作學習和單純的小組合作討論學習，強調圍繞具有挑戰(zhàn)性、開放性的問題，與他人在自己已有經(jīng)驗和認知基礎上進行合情推理，共同建構知識.其本質是具有社會性建構特征的思維活動，其核心是提升創(chuàng)造性思維能力和復雜交往能力，

二、合作推理式學習的作用

推理是學生數(shù)學學習中的關鍵能力和必備品質，然而，初中數(shù)學課堂中，學生的推理過程存在不嚴謹、不完整等問題．筆者認為，合作推理式學習有助于解決這些問題．首先，合作推理式學習注重啟發(fā).教師從學生已有的數(shù)學知識、經(jīng)驗和思維水平出發(fā)，創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學情境，啟迪學生積極思考，引導學生學會思考．其次，合作推理式學習注重互動.師生、生生在思維碰撞、啟發(fā)和接力中尋找答案，在合理質疑和反思的過程中促進問題的解決和知識的掌握．最后，合作推理式學習注重探究．合作推理式學習是通過提出問題、合作討論，以及反思和總結等步驟來完成探究的，這一學習方式有助于激發(fā)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力，促進知識的積累和理解．

以“特殊的平行四邊形”一課為例，探索如何在初中數(shù)學教學中設計并實施合作推理式學習方式，發(fā)展學生的高階思維.

三、合作推理式學習的案例設計與實施

1.案例背景

特殊的平行四邊形是滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》八年級第二學期第二十二章第二節(jié)“平行四邊形”中的內(nèi)容．本節(jié)課中，學生將經(jīng)歷從一般到特殊、從具體到抽象的學習過程，理解矩形、菱形的概念，探究矩形、菱形兩類特殊平行四邊形的性質并進行簡單應用.

在傳統(tǒng)的概念教學中，教師通常會以直接講授的方式給出矩形、菱形的性質．但實踐發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生只是單純地記憶矩形、菱形所特有的性質，不能對其靈活應用．本節(jié)課采用合作推理式學習方式，通過將不同學習水平的學生組成小組實現(xiàn)組內(nèi)異質，讓學生經(jīng)歷合情推理及演繹推理等過程，促進學生自身的深層理解、語言表達、論證推理、問題解決和知識遷移等高階思維能力的發(fā)展.

2.教學過程設計

本節(jié)課包括“理解情境，引入主題”“回顧梳理，提出猜想”“小組合作，性質論證”“簡單應用，性質鞏固”“師生小結，反思深化”“分層作業(yè)，能力提高”六個環(huán)節(jié)．在前三個環(huán)節(jié)中設置了兩個合作推理式學習任務．具體如下.

合作推理任務1：類比跨單元學習歷程，掌握矩形、菱形的定義.

在“理解情境，引入主題”環(huán)節(jié)，教師通過問題引導學生類比三角形的學習歷程，猜測四邊形的學習歷程，并在共同研討、相互啟發(fā)、交流碰撞中，從復雜多樣的觀點中逐步概括得到矩形、菱形的概念.

問題1：將一般三角形的邊特殊化，可以得到什么圖形？將角特殊化呢？將邊和角同時特殊化，可以得到什么圖形？

問題2：類比三角形的學習歷程，將平行四邊形的角特殊化可以得到什么圖形？將邊特殊化呢？將它的邊和角同時特殊化又能得到什么圖形？試結合小學期間已學的四邊形進行思考，嘗試歸納矩形、菱形的概念.

概念的形成是一個抽象、概括的過程，需要學生在已有經(jīng)驗和新情境的基礎上進行提煉、總結．通過問題1，學生可以回憶、總結三角形的學習歷程（如圖1），體驗問題研究的過程.通過問題2進行類比式推理，逐步得到矩形和菱形的概念（如圖2）.問題鏈設計的適切性和合理性，為學生合作推理討論奠定了基礎.

圖1

圖2

合作推理任務2：從邊、角、對角線、對稱性四個方面探究矩形和菱形的性質.

在“回顧梳理，提出猜想”環(huán)節(jié)，教師提出問題3和問題4，并借助微視頻和學習單引導學生從邊、角、對角線、對稱性四個方面進行探究．在“小組合作，性質論證”環(huán)節(jié)，類比平行四邊形的學習脈絡和性質學習的過程，探究矩形和菱形的性質，并構建了如圖3所示的框架體系.

圖3

問題3：平行四邊形的學習脈絡是什么？

問題4：我們是從哪幾個維度學習平行四邊形的性質的，分別具有哪些性質？你覺得該如何探究矩形、菱形的性質？

由于初中生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學思維能力和對數(shù)學知識的理解，但從抽象思維到具體思維的過渡仍然存在問題，因此，在這個任務中設置了如下三個活動，引導學生經(jīng)歷“提出猜想一論證推理一形成觀點一小組匯報一引導反思”的過程.通過異質組合作討論，學生逐步完成任務探究，最終得出結論.

活動1：矩形、菱形性質的猜想，活動1包括如下兩個步驟.

步驟1：從邊、角、對角線、對稱性四個維度出發(fā)，猜想矩形和菱形除了具有平行四邊形的所有性質外，還有什么性質（小組討論）.

步驟2：填寫如表1所示的學習單.

表1

活動2：觀看視頻，回顧、感悟平行四邊形性質 論證的具體過程.

八年級學生雖然已經(jīng)有了豐富的圖形研究活動經(jīng)驗，但圖形研究的基本框架還不夠成熟．對于如何開展矩形、菱形性質的研究，學生往往缺乏具體的研究路徑和方向．因此，在活動2中，教師以微視頻形式展示研究問題的基本途徑，為學生提供研究范例，引導學生回顧和復習平行四邊形的研究路徑（定義一性質一判定一應用），整理和梳理平行四邊形性質的探究步驟（猜測—論證一總結）.通過這種方式，學生能夠更好地理解研究問題的方法和過程，以便于后續(xù)能順利過渡到矩形和菱形性質的猜想，并能夠順利論證性質猜想的正確性.

活動3：矩形、菱形性質的論證.

活動3最能體現(xiàn)合作推理式學習方式，包含四個步驟.

步驟1：每5人為一組（異質組），通過討論自主選取矩形或菱形開展性質探究，

步驟2：學生將有關矩形（菱形）性質猜想的文字語言轉化為“已知、求證”的符號語言；學生小組討論，利用幾何思維流程輔助論證猜想.

步驟3：小組討論，整合歸納，派代表進行匯報步驟4：反思各小組的觀點，教師引導，總結觀點.

矩形、菱形性質的論證，對學生數(shù)學語言、符號語言和圖形語言的互化、表達及數(shù)學推理能力有一定的要求，而小組總結匯報是合作推理式學習的重要一環(huán)．為了讓學生更好地開展討論，教師借助信息技術將視頻切片重組，在微視頻中以思維導圖的形式圖文并重地展現(xiàn)了由因導果和執(zhí)果索因的推理過程，并精心設計了與微視頻內(nèi)容相呼應的學習單（如圖4），為學生深人探究、高效交流提供支架.學生在合作推理中反思觀點，進一步完善結論.

圖4“特殊的平行四邊形”學習單

3.教學實施片斷

本課在上海市某區(qū)A校的八年級某班級中實施．A校屬于區(qū)域內(nèi)辦學質量中等的學校，學生的數(shù)學知識基礎和能力一般．本次是在該班第一次采用合作推理式學習方式授課．在課堂上，每5名學生為一組進行合作推理.學生的具體表現(xiàn)如下.

（1）合作推理任務1中的學生表現(xiàn).

在課堂上，學生對問題2中將平行四邊形的邊特殊化的回答如下.

生，：平行四邊形中有一個角是直角就能得到矩形，生2：平行四邊形中若兩條邊相等就能得到菱形.

此時有學生提出質疑.

生3：因為平行四邊形的兩組對邊相等，所以兩條邊相等就能得到菱形是不對的．因此，若平行四邊形的四條邊相等就能得到菱形.

生4：不對，問題是將平行四邊形的邊特殊化，所以前提是平行四邊形的兩組對邊已經(jīng)相等了，應改為“平行四邊形的兩組鄰邊相等就能得到菱形”

生5：我認為平行四邊形的兩組對邊已經(jīng)相等了，應改為“若平行四邊形的一組鄰邊相等就能得到菱形”.

生，和生2通過類比、歸納等方式得出了具有普遍意義的數(shù)學概念，體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納概括能力．雖然生，和生2概括的內(nèi)容不完整，但發(fā)展了策略型思維（抽象性）.生3和生4基于已有的數(shù)學事實和活動經(jīng)驗，對前一名學生的觀點提出合理的質疑，并對其觀點進行優(yōu)化、重構，形成建設性的觀點，發(fā)展了批判型思維（質疑性、建構性）.生5在已有的數(shù)學事實和活動經(jīng)驗基礎上，也對前面同學的觀點進行了整合、拓寬，并化歸了新的觀點，發(fā)展了批判型思維（解構性）.

（2）合作推理任務2中的學生表現(xiàn).

當小組成員明確了研究矩形和菱形性質的問題后，會從邊、角、對角線和對稱性這四個維度進行理性分析.在活動1的討論中，小組成員傾聽彼此的觀點，思考不同的觀點，比較、整理各種不同的結論，并形成組內(nèi)的主要觀點（如表2），但此時學生對菱形對角線的性質的概括并不完整.

表2

在活動3中論證“菱形的兩條對角線互相垂直”時，學生借助圖5在小組內(nèi)發(fā)起了討論.

圖5

生：已知菱形的四條邊相等，而且對角線互相平分生，：要證對角線互相垂直，也就是要證AC⊥BD.

生：已知 AD=CD ， AO=CO ，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質就能得到AC⊥BD.

生、生，和生：通過對一個復雜的問題進行分析、推理，將其轉化為基本的、簡單的數(shù)學結構和關系，體現(xiàn)了批判型思維（建構性）.

對于上述觀點的論證，所有小組都能順利完成，但論證過程中沒有學生對菱形對角線的性質進行補充．這時，教師給予引導：你們在論證“菱形的兩條對角線互相垂直”的過程中有其他發(fā)現(xiàn)嗎？然后各小組學生繼續(xù)思考與討論.

生。：我發(fā)現(xiàn)菱形的任意一條對角線都把菱形分割成兩個全等的等腰三角形.

生 ₁₀ ：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質，可得 ∠ADB=∠CDB. 同理， ∠DAC=∠BAC ， ∠ABD=∠CBD ∠BCA=∠DCA

生 ₁₁ ：其實根據(jù)“等邊對等角”及“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”也能說明 ∠ADB=∠CDB ， ∠DAC=∠BAC ∠ABD=∠CBD，∠BCA=∠DCA.

生 ¹² ：這四組角相等說明了什么？

生 ₁₃ ：說明 BD 平分 ∠ADC 和∠ABC， AC 平分∠BAD和∠BCD.

生 ¹⁴ ：我知道了！菱形的兩條對角線除了互相垂直外還平分每一組對角．所以我們在活動1的表格中關于菱形的性質從對角線出發(fā)還應該添加“菱形的每條對角線平分一組對角”.

生。和生1在已有的數(shù)學事實和活動經(jīng)驗基礎上進行跳躍式聯(lián)想、類比和關聯(lián)，化歸新的觀點和認識，體現(xiàn)了批判型思維（解構性）.生 ₁₁ 從不同角度、不同方式分析、推理得出相同的觀點，體現(xiàn)了策略型思維（多樣性）.生12基于已有的數(shù)學事實和活動經(jīng)驗對觀點提出合理的疑問，體現(xiàn)了批判型思維（質疑性）.生13和生 ₁₄ 基于已有的數(shù)學事實和活動經(jīng)驗，延伸已有的信息和觀點，得出了具有普遍意義的數(shù)學概念、定理，體現(xiàn)了策略型思維（抽象性、遷移性）.這樣，學生通過討論完善了菱形對角線的性質.

活動3中，每個小組充分討論，相互補充，形成觀點，在成果匯報環(huán)節(jié)，各小組派代表陳述小組的觀點和理論支持，并展示小組對核心問題的不同結論或過程與方法.這對學生的數(shù)學表達、推理能力有一定的要求．例如，學生借助學習單，對“矩形的對角線相等”的論證進行了如下匯報.

生（組長）：如圖6，我們小組的猜想是“矩形的兩條對角線相等”．我們先寫出了已知和求證．已知是AB//CD ， ∠ABC=90^° ， AB=CD 求證是 AC=BD. 要證 AC=BD ，只要證 ΔABC?ΔDCB.

圖6

現(xiàn)在已知 AB//CD ， AB=CD ，可知 ∠ABC 和∠BCD是一對互補的同旁內(nèi)角，再根據(jù)矩形定義可知 ∠ABC= 90^° ，得到 ∠ABC=∠BCD 結合 AB=CD ，可以證得 ΔABC?ΔDCB （SAS），從而證得 AC=BD

從上述匯報可以看出，學生通過合作推理形成了建設性的觀點，體現(xiàn)了策略型思維、批判型思維等高階思維．整節(jié)課中，學生經(jīng)歷了歸納推理、類比推理等合情推理，從已知進行分析，依據(jù)圖形的性質和定理，歸納、類比、演繹等推出結論，從而達到演繹推理，形成如圖7和圖8所示的幾何思維框架結構圖.

圖7

圖8

在探究矩形、菱形的基本概念和性質的過程中，教師發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生選擇了探究菱形邊、角和對角線的性質，關于對稱性的性質論證的嘗試較少．這背后的原因可能有兩個方面．一方面，學生認為對稱性的性質可以通過實踐操作來驗證，不需要進行論證；另一方面，學生不清楚如何論證對稱性的性質．針對這一課堂生成的問題，教師引導學生進行反思總結．在教師的引導下，組間共同討論解決菱形和矩形的對稱性問題．最終，發(fā)現(xiàn)從跨單元的視角，可以類比在七年級第一學期學習的關于圖形運動的知識解決問題.根據(jù)菱形對角線的性質一一對角線互相垂直平分，沿著對角線所在直線將菱形翻折，必然會重合，所以菱形是軸對稱圖形，在師生共同努力下，逐步發(fā)展了學生的創(chuàng)造型思維.

四、教學思考

從案例的實施效果來看，在合作推理式學習中開展的探究性對話、建構式互動等學習活動，為高階思維實現(xiàn)社會性建構提供了條件，能促進學生高階思維的發(fā)展．其關鍵在于教師需要對學生的知識水平、思維特征預先考慮，精心設計教學活動，并在課堂中敏銳捕捉學生在推理過程中的不足和創(chuàng)新之處，提供足夠的支架，進而促進學生通過合作完善推理活動，發(fā)展學生的高階思維.

1.充分利用問題情境，為學生提供合作推理式學習的機會

教師需要創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性、開放性的探究問題，借助由問題情境激發(fā)學生的興趣與思考，給學生留下思維的契機和質疑的空間，提供合作推理式學習的機會.

2.巧妙運用“腳手架”，化解合作推理式學習中的難點

在理解的困頓處和思維的轉折時，教師給學生提供適當?shù)摹澳_手架”，以便于學生能在思維的最近發(fā)展區(qū)發(fā)現(xiàn)問題的本質，同時通過小組合作及推理深度激活學生的思維，以此增加學生思維的廣度、深度、高度和厚度，特別地，教師還可以引導學生進行質疑和反思，從而深化理解，分散難點.

3.善于捕捉教學素材，增進合作推理式學習的效益

在課堂中，教師要善于捕捉學生在推理過程中存在的不足和產(chǎn)生的問題，為學生提供辯論的機會，創(chuàng)設尋因、糾錯的臺階，進而促進學生進發(fā)出創(chuàng)新的火花．在這些課堂的突發(fā)事件中，教師要及時利用足夠的教學機智，采用恰當?shù)姆绞浇o予學生適當點撥，促進學生通過合作形成完善的推理，增強合作推理式學習的效果.

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