基于認(rèn)知規(guī)律的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)研究

1引言

初中數(shù)學(xué)教師在幾何部分的教學(xué)上，向來注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形的理解和邏輯推理的練習(xí).但有些課堂停留在模型理論的講解與機(jī)械練習(xí)上，當(dāng)學(xué)生被動(dòng)記憶各種結(jié)論時(shí)，他們難以敏銳地發(fā)現(xiàn)幾何圖形的變化，無法抓住圖形中的本質(zhì)條件，從而不能靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí).若能引入經(jīng)典案例與分層次變式，學(xué)生便能在不同背景中發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特點(diǎn)，也會(huì)逐步提高幾何直觀能力與邏輯推理能力.“將軍飲馬”問題來自對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中最短路徑問題的抽象，在初中數(shù)學(xué)中常借助軸對(duì)稱與線段最短定理解決此類題型，這一專題已成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解題思路的有效途徑.只有當(dāng)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)前關(guān)注學(xué)生已有知識(shí)并把握他們的認(rèn)知水平時(shí)，方能通過適度變式激發(fā)學(xué)生更深層次的探究欲望.倘若課堂僅展示結(jié)論，學(xué)生也許會(huì)覺得數(shù)學(xué)過分神秘，但不知道如何從問題情境過渡到核心解法，這影響他們將所學(xué)知識(shí)遷移到其他最短路徑的題目上.教師若能巧妙編排一系列相關(guān)題組，學(xué)生便會(huì)在類比與對(duì)照中逐漸習(xí)得更寬泛的解題思路，也會(huì)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)奠定更牢固的基礎(chǔ)[1].

2基于認(rèn)知規(guī)律的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)價(jià)值

2. 1 從直觀理解到抽象思維

初中階段的學(xué)生對(duì)幾何事物多半有直觀感知，但難以輕易完成抽象概括.教學(xué)若只采用單一題目示范，學(xué)生可能一時(shí)明白做法，卻難以形成系統(tǒng)認(rèn)知，當(dāng)問題情境在不同角度上變換或延伸時(shí)，他們便在解題時(shí)感到無所適從.只有當(dāng)教師設(shè)計(jì)多樣變式，并結(jié)合學(xué)生心智特點(diǎn)引導(dǎo)他們對(duì)比相似與差異處時(shí)，才能使學(xué)生在反復(fù)思考中構(gòu)建穩(wěn)固的幾何框架.很多人對(duì)“將軍飲馬”問題感到新奇，是因?yàn)槠鋵F(xiàn)實(shí)場(chǎng)景與數(shù)學(xué)性質(zhì)巧妙融合，但如果缺少相應(yīng)的探索環(huán)節(jié)，學(xué)生就只看見結(jié)果而忽視過程，那么幾何方法的靈活運(yùn)用也就無從說起.讓他們主動(dòng)將日常經(jīng)驗(yàn)與圖形推理相連接，有助于推進(jìn)直觀感受往更高層次的理解邁進(jìn)，以避免在應(yīng)用題中出現(xiàn)機(jī)械套用.

2.2激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與遷移效應(yīng)

初中階段的學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)有很大的興趣和好奇心，但若解題方法過于單調(diào)，他們就會(huì)失去持久探究的耐心.當(dāng)“將軍飲馬”問題帶來有趣情境時(shí)，學(xué)生容易產(chǎn)生主動(dòng)求解的熱情.只有當(dāng)教學(xué)設(shè)計(jì)將變式拓展貫穿于多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并將平面幾何與生活實(shí)例交織，方能將這份熱情延續(xù)到后續(xù)任務(wù)中[2].因路徑最短問題引發(fā)的討論，不僅局限于軸對(duì)稱，勾股定理與線段中垂線性質(zhì)也會(huì)在不同類型的變式中應(yīng)用.學(xué)生在反復(fù)運(yùn)用這些定理時(shí)日漸熟練，解題思路的通用性也會(huì)逐步體現(xiàn)，從而獲得正向反饋.對(duì)部分解題能力相對(duì)薄弱的學(xué)生而言，在多輪練習(xí)中累積成就感至關(guān)重要.他們發(fā)現(xiàn)自己并非只能被動(dòng)接受知識(shí)，而是能夠通過操作與思考找到最短路徑的關(guān)鍵，這能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，對(duì)后續(xù)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生促進(jìn)作用.

3基于認(rèn)知規(guī)律的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)原則

3.1 層次銜接與循序安排

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，過于急促的變式跳躍會(huì)打亂學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的把握思路.有些教師為追求“多題多做”，讓課堂像走馬觀花，導(dǎo)致學(xué)生浮于表面，難以錨定每題間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).只有當(dāng)教學(xué)者在起點(diǎn)環(huán)節(jié)聚焦學(xué)生已有認(rèn)知，并以漸進(jìn)方式揭示兩點(diǎn)之間線段最短時(shí)，才能確保變式過程真正沉淀到思維層面.先從簡(jiǎn)單的平面中“兩點(diǎn)之間，線段最短”引導(dǎo)到“兩個(gè)點(diǎn)在一條直線的同一側(cè)時(shí)，在該直線上存在一點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)到該點(diǎn)的距離和最短”，再引導(dǎo)到帶有勾股定理或線段中垂線的情形，這樣學(xué)生對(duì)變式的跨度會(huì)有較為清晰的認(rèn)識(shí).當(dāng)每一次延展都與已有知識(shí)產(chǎn)生交點(diǎn)，學(xué)生就不會(huì)覺得陌生，他們會(huì)在類比中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并提升理解深度.這種變式學(xué)習(xí)就像給學(xué)生鋪就了三級(jí)臺(tái)階，使其能拾級(jí)而上.

3.2 強(qiáng)調(diào)類比與知識(shí)建構(gòu)

幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)重在讓學(xué)生能夠聯(lián)系舊知識(shí)建構(gòu)新知識(shí)，從而形成自己的知識(shí)體系，形成正確的學(xué)習(xí)技能.學(xué)生的學(xué)習(xí)效果不僅受教師的理論引導(dǎo)，也受到學(xué)生自身生活體驗(yàn)的影響.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該積極聯(lián)系與學(xué)生生活密切相關(guān)的情境，結(jié)合他們已經(jīng)掌握的內(nèi)容，抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)，在幾何圖形中作出必要標(biāo)記.只有當(dāng)教師在課堂中創(chuàng)設(shè)動(dòng)手環(huán)節(jié)，并讓學(xué)生親自對(duì)比多條路線的長(zhǎng)短時(shí)，方能開啟主動(dòng)思考的大門[3].若單純讓學(xué)生記住\"對(duì)稱后線段最短”，許多同學(xué)會(huì)感到概念抽象，因此，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)從家到學(xué)校的路徑如何最近這一情境，能使學(xué)生的思路更加清晰，學(xué)習(xí)成效會(huì)更好.由此衍生的討論也會(huì)更豐富，能夠帶動(dòng)學(xué)生對(duì)后續(xù)變式的創(chuàng)造性探索.

4“將軍飲馬”問題變式教學(xué)的實(shí)踐策略

4.1情境引入，激發(fā)動(dòng)力一讓學(xué)生體會(huì)線段最短原理

“將軍飲馬”問題的關(guān)鍵是將位于直線同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線異側(cè)，并引導(dǎo)學(xué)生理解為何對(duì)稱后的兩個(gè)線段的和最小.認(rèn)知規(guī)律表明，初中生往往先依靠感性判斷去猜測(cè)最短路徑，隨后在教師或教材的啟發(fā)下過渡到理性層面的對(duì)稱論證.只有當(dāng)教師基于學(xué)生已經(jīng)掌握“兩點(diǎn)之間線段最短”，并將軸對(duì)稱與中垂線的性質(zhì)詳細(xì)展開時(shí)，才能讓他們充分領(lǐng)會(huì)最短路徑的實(shí)質(zhì).對(duì)稱一旦被引入，問題空間往往會(huì)呈現(xiàn)更直觀的結(jié)構(gòu)，學(xué)生在觀察對(duì)稱后的河岸與飲馬地點(diǎn)之間的連線時(shí)，就能體會(huì)到原問題變形背后的簡(jiǎn)潔思路.此時(shí)，教師可繼續(xù)銜接到三角形三邊關(guān)系，以便強(qiáng)化“兩點(diǎn)間任意折線路徑的長(zhǎng)度必大于直線距離”這一結(jié)論.分段揭示與對(duì)稱鋪陳并非只針對(duì)一個(gè)單例，而是要讓學(xué)生在隨后的相關(guān)問題中自行類比.對(duì)稱方法并不限于水平方向，也可能涉及斜向或垂線方式，如此一來，他們?cè)诤罄m(xù)變式里會(huì)更自覺地運(yùn)用對(duì)稱思維.

在具體實(shí)踐中，教師首先讓學(xué)生想象將軍要把馬牽到對(duì)岸飲水，河面寬度與將軍位置都可視作已知.學(xué)生最初只能憑直覺在圖紙上隨意畫路線，有人猜測(cè)先到河邊再折向飲馬地點(diǎn)，也有人覺得可以走斜線節(jié)省距離.這時(shí)，教師并未立即給出答案，而是引導(dǎo)他們思考是否能借助軸對(duì)稱的方法把河對(duì)岸“翻折”到將軍一側(cè).學(xué)生親手在紙上畫出折疊圖后，測(cè)量得知最短路徑其實(shí)是對(duì)折后兩點(diǎn)之間的線段，很多人驚訝于這種轉(zhuǎn)化的簡(jiǎn)潔性，也意識(shí)到直接在原圖上尋找最短路徑可能既費(fèi)力又無頭緒.當(dāng)對(duì)稱與線段最短定理聯(lián)系起來時(shí)，學(xué)生對(duì)勾股定理或三角形多邊關(guān)系的理解也有新突破，他們會(huì)發(fā)問“如果起點(diǎn)換了位置會(huì)怎樣？”“若河道呈彎曲形狀還能用對(duì)稱么？”，教師趁勢(shì)說明對(duì)稱思路依舊可應(yīng)用，但需要相應(yīng)調(diào)整折疊線，這為后續(xù)的延展與綜合探索奠定了基礎(chǔ).

4.2發(fā)散引導(dǎo)，聯(lián)動(dòng)勾股一讓學(xué)生體會(huì)多 重幾何元素的融匯

最短路徑的判定在不少題型中與勾股定理緊密相連，若學(xué)生尚未意識(shí)到勾股定理對(duì)于測(cè)量線段長(zhǎng)度的特殊價(jià)值，他們就可能只知道“對(duì)稱能帶來一條線”，卻無法在更廣泛的幾何情境里靈活調(diào)用這一知識(shí)，而發(fā)散引導(dǎo)正是為了激發(fā)學(xué)生嘗試把三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系與最短路徑判定結(jié)合起來.發(fā)散引導(dǎo)要配合學(xué)生心理發(fā)展，從易到難逐步升級(jí)題目，同時(shí)嵌入讓他們自己測(cè)量、比較與推理的環(huán)節(jié)，這樣才能讓勾股定理不再只是書本中的公式，而成為他們判斷最短路線的慣用工具.

教師可以先讓學(xué)生測(cè)量“將軍位置到河邊一點(diǎn)”與\"河邊一點(diǎn)到飲馬位置”兩段的和長(zhǎng)，并將其與對(duì)稱后那條線段長(zhǎng)度作比較，大家很快發(fā)現(xiàn)和長(zhǎng)明顯大于那條線段的長(zhǎng)度.若學(xué)生疑惑其中的差異，就可以使用勾股定理來計(jì)算這些線段，并比對(duì)數(shù)值差距.有人提出若換成其他起點(diǎn)，是否會(huì)出現(xiàn)折疊線與勾股間的更復(fù)雜聯(lián)系.教師便據(jù)此布置延展題，讓他們?cè)谡n后畫出多個(gè)不同長(zhǎng)度與角度的起點(diǎn)坐標(biāo)，嘗試用勾股定理計(jì)算.當(dāng)他們把各種數(shù)據(jù)排列出來后，會(huì)更直觀地發(fā)現(xiàn)，“折疊”路徑往往能壓縮距離，因?yàn)槿切蔚膬蛇呏褪冀K大于第三邊，且路徑轉(zhuǎn)彎增加了額外長(zhǎng)度.他們?cè)诖诉^程中還會(huì)對(duì)勾股定理的適用范圍產(chǎn)生新的理解，包括什么時(shí)候用直角三角形判斷，以及什么時(shí)候還要考慮進(jìn)一步的幾何變換，這正是數(shù)學(xué)思維在多重元素融匯后的生動(dòng)展現(xiàn).

4.3綜合訓(xùn)練，迭代深化一讓學(xué)生習(xí)得遷移與問題建模

“將軍飲馬”問題的變式教學(xué)在初中不同階段有不同的側(cè)重點(diǎn)，這一題型可以結(jié)合不同的題目背景考查，而其中蘊(yùn)含的道理是貫穿始終的.若想持續(xù)發(fā)揮其作用，就不能只做一次演示，還應(yīng)在后續(xù)知識(shí)單元里反復(fù)提及并創(chuàng)新場(chǎng)景.例如，初期“將軍飲馬”可以將兩個(gè)線段和最小與勾股定理結(jié)合起來，也可以將問題放在三角形中；當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了平移旋轉(zhuǎn)后，就可以將之與圖形變換結(jié)合；在學(xué)習(xí)平行四邊形與特殊的平行四邊形后，可以將之與四邊形的性質(zhì)相結(jié)合；最后還可以用一次函數(shù)圖象為背景解題.甚至在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，將二次根式與“將軍飲馬”完美結(jié)合，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想.認(rèn)知規(guī)律提示，只有當(dāng)學(xué)生在多輪迭代中不斷碰見相似問題，并且嘗試將已有結(jié)論與新的條件對(duì)照時(shí)，才能把零散的技巧整合為系統(tǒng)的幾何素養(yǎng).問題建模也是重要環(huán)節(jié)，許多真實(shí)場(chǎng)景并非簡(jiǎn)單的平面直線，學(xué)生要學(xué)會(huì)抽象關(guān)鍵要素，忽略多余信息，再圍繞最短路線設(shè)計(jì)方案.這類訓(xùn)練能引導(dǎo)他們把思維從課本推向更廣闊的實(shí)際應(yīng)用中，也能讓數(shù)學(xué)知識(shí)在更復(fù)雜情境中得到拓展.

教師在構(gòu)思“將軍飲馬”教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以適當(dāng)提高難度，如在三角形中求兩個(gè)線段和最小時(shí)，設(shè)置對(duì)稱軸是未知的，需要學(xué)生自己構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化線段的位置后，才能運(yùn)用模型.這樣一來就設(shè)置了障礙，需要學(xué)生先跳一跳再上臺(tái)階，這一連串問題促進(jìn)學(xué)生把之前學(xué)到的多種方法交織運(yùn)用.若有人在建模過程中遺漏了部分條件，教師應(yīng)引導(dǎo)他們回顧“問題抽象化”的要領(lǐng)，并鼓勵(lì)小組間相互討論修正.當(dāng)他們最終找出合理的最短路徑后，會(huì)更加深刻地體會(huì)“將軍飲馬”不只是單題，而是一條通往廣義最短路徑的起點(diǎn).學(xué)生由此學(xué)會(huì)在不同幾何情境中靈活運(yùn)用該方法，也能在構(gòu)建與驗(yàn)證中加深對(duì)數(shù)學(xué)原理的掌握，對(duì)他們的后續(xù)學(xué)習(xí)與思維發(fā)展具有不可替代的意義.

5結(jié)語(yǔ)

變式教學(xué)的核心在于讓學(xué)生在不同角度反復(fù)觸碰同一內(nèi)核，對(duì)“將軍飲馬”這一問題的深人研究恰好體現(xiàn)了這種思路.若課堂僅局限于結(jié)論呈現(xiàn)與一次性示范，學(xué)生恐怕難以在后續(xù)幾何問題中繼續(xù)遷移所學(xué)知識(shí).只有教師從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，并在每個(gè)知識(shí)節(jié)點(diǎn)安插對(duì)應(yīng)的變式與活動(dòng)時(shí)，才能讓他們?cè)谥饘舆f進(jìn)中獲得幾何思維的多重升華.最短路徑并非孤立技巧，其背后涵蓋軸對(duì)稱、三角形三邊與勾股定理的有機(jī)融合，這些知識(shí)點(diǎn)若能在循環(huán)往復(fù)的練習(xí)中逐步深化，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯之美，他們不僅能明晰“將軍飲馬”的由來，更能把握更寬闊的變式遷移通路，使這道經(jīng)典題的意義遠(yuǎn)超眼前，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛與持續(xù)探究的動(dòng)力，

參考文獻(xiàn)：

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