追本溯源 拾級(jí)而上 成之自然

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出要強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，確立以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo).通過(guò)設(shè)計(jì)富有思維含量的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思等學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).本文以“探索勾股定理”為例進(jìn)行闡釋，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

1教材解析

本課是魯教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第三章“勾股定理”章節(jié)起始課.勾股定理是平面兒何有關(guān)度量的最基本定理，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫(huà)了直角三角形的特征，揭示了三角形中最重要的“數(shù)\"與“形\"的關(guān)系.教材設(shè)計(jì)了大量的探究、驗(yàn)證活動(dòng)，提供了多種勾股定理的證明方法，內(nèi)容豐富，從特例入手發(fā)現(xiàn)定理，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作與推理論證，探索味濃厚.

2學(xué)情分析

在六年級(jí)“平面圖形的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了在網(wǎng)格紙中作垂線、平行線及計(jì)算格點(diǎn)多邊形面積的基本技能，具備一定的幾何直觀能力和構(gòu)圖能力，思維逐步從經(jīng)驗(yàn)型轉(zhuǎn)向邏輯型.但七年級(jí)學(xué)生思維偏感性和直觀，探索問(wèn)題的角度和方法比較隨意，需要教師進(jìn)一步引導(dǎo).

3教學(xué)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷操作、發(fā)現(xiàn)、猜想等探索活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)勾股定理.培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，發(fā)展幾何直觀和模型觀念素養(yǎng).

（2）經(jīng)歷驗(yàn)證、推理、計(jì)算等探索活動(dòng)，證明勾股定理.培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是探索并發(fā)現(xiàn)勾股定理，難點(diǎn)是證明并運(yùn)用勾股定理.

4教學(xué)過(guò)程

4.1環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

科學(xué)家曾在1977年發(fā)射“旅行者1號(hào)\"空間探測(cè)器，其主要任務(wù)是探索太空中是否存在新的生命.其中飛船把“勾股定理\"這一文明成果發(fā)射到了外太空，作為人類和外星生命溝通交流的信號(hào).讀完這段材料你有何感想？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一段科學(xué)史話，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題.一方面說(shuō)明勾股定理的重要性，另一方面激發(fā)學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣，為接下來(lái)的探究做好準(zhǔn)備.

4.2環(huán)節(jié)二：建構(gòu)活動(dòng)，探究新知

4.2.1活動(dòng)1：格點(diǎn)構(gòu)圖

任務(wù)1：請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙中畫(huà)出不同的正方形（正方形頂點(diǎn)需在網(wǎng)格紙格點(diǎn)上）.

（學(xué)生依托網(wǎng)格紙中的橫線和豎線，容易畫(huà)出橫平豎直的正方形，如下圖1（1）.對(duì)于圖1（2）中的斜正方形，則需進(jìn)一步引導(dǎo)后畫(huà)出.）

圖1

思考：對(duì)于剛剛畫(huà)出的正方形，你能求出它的面積嗎？

設(shè)計(jì)意圖：勾股定理的研究對(duì)象是直角三角形的三邊關(guān)系，但若直接將研究對(duì)象拋給學(xué)生，會(huì)顯得突兀生硬[1].本環(huán)節(jié)以學(xué)生非常熟悉的正方形為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出不同的正方形，順勢(shì)提出求解正方形面積這個(gè)問(wèn)題，對(duì)于圖1（1）中的面積容易求解，如何求解斜正方形面積是難點(diǎn)，從而自然引出活動(dòng)2.

4.2.2活動(dòng)2：面積巧解

任務(wù)2：如何求出所畫(huà)斜正方形的面積？（學(xué)生依托網(wǎng)格能夠想到通過(guò)“割\"或“補(bǔ)\"的方法“化斜為直\"求解斜正方形面積（如下圖2）.但具體如何“割\"或“補(bǔ)\"則需動(dòng)手操作嘗試.）

圖2

思考：通過(guò)割或補(bǔ)將斜正方形分成了哪幾個(gè)圖形？這些圖形有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：在網(wǎng)格中求面積的問(wèn)題學(xué)生較為熟悉，大部分學(xué)生都能利用“割”或“補(bǔ)”的方法求解，而“割補(bǔ)”形成的兩個(gè)圖形恰好對(duì)應(yīng)著中西方證明勾股定理的兩個(gè)重要方法，即趙爽弦圖證法和畢達(dá)哥拉斯證法.同時(shí)，學(xué)生的眼光也由此慢慢聚焦到正方形中的四個(gè)全等直角三角形上，為后續(xù)進(jìn)一步探究直角三角形的三邊關(guān)系搭建好了思維腳手架，也為證明勾股定理埋下了種子[2].

4.2.3活動(dòng)3：規(guī)律探尋

任務(wù)3：通過(guò)“割\"或“補(bǔ)\"得到了四個(gè)全等直角三角形，請(qǐng)將求解過(guò)程中直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)以及對(duì)應(yīng)正方形的面積填寫(xiě)到表中.

（由于每人所畫(huà)斜正方形大小不一，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作方式盡可能多地收集數(shù)據(jù)填入表中，以便更好地觀察和發(fā)現(xiàn)規(guī)律.填表結(jié)果如表1所示.）

思考：觀察表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

追問(wèn)：正方形的面積與直角三角形的哪條邊存在什么樣的關(guān)系？

表1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求解正方形的面積，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)直角三角形的兩直角邊與正方形面積的數(shù)量關(guān)系.進(jìn)一步追問(wèn)正方形面積與直角三角形斜邊的關(guān)系，皆在巧妙引出直角三角形的斜邊.正方形面積等于其邊長(zhǎng)的平方，而正方形的邊長(zhǎng)恰好是直角三角形的斜邊長(zhǎng)，故正方形面積等于直角三角形斜邊的平方，至此自然揭示出直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而使勾股定理的發(fā)現(xiàn)水到渠成.學(xué)生在觀察猜想過(guò)程中發(fā)展了邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力.

4.2.4活動(dòng)4：結(jié)論證明

任務(wù)4：通過(guò)猜想我們知道，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，請(qǐng)寫(xiě)出它的符號(hào)語(yǔ)言并予以證明.

（如果證明存在困難，可以引導(dǎo)學(xué)生從剛剛求正方形面積的方法中探尋思路.）

追問(wèn)：你還有其他證明方法嗎？觀察思考不同證明方法之間有什么共同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生跳出網(wǎng)格，將發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用更具一般意義的字母來(lái)表示，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.經(jīng)過(guò)前邊三個(gè)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生能夠意識(shí)到“二次計(jì)算面積建立等量關(guān)系”是證明勾股定理的關(guān)鍵所在.本環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)了從具象發(fā)現(xiàn)到抽象證明的的跨越，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力得到了發(fā)展.通過(guò)勾股定理不同證明方法之間的對(duì)比，既彰顯出中西方數(shù)學(xué)文化的多樣文明和璀璨發(fā)展，又刻畫(huà)出勾股定理證法的內(nèi)在一致性，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)大道至簡(jiǎn)的深刻內(nèi)涵.

4.3環(huán)節(jié)三：活學(xué)活用，拓展新知

思考：剛才探索和證明了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，該數(shù)量關(guān)系在非直角三角形中仍然成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：勾股定理作為一個(gè)重要的幾何定理，它的功能是多方面的.由它出發(fā)延伸下去，可以是余弦定理，也可以是三角函數(shù)、無(wú)理數(shù)，甚至是方程 xⁿ+ yⁿ=zⁿ 的正整數(shù)解問(wèn)題.雖然學(xué)生目前不能解決這些問(wèn)題，但是它們都像一粒粒種子一樣，埋在學(xué)生思維的深處等待著被喚醒.

4.4環(huán)節(jié)四：反思總結(jié)，素養(yǎng)提升

（1）本節(jié)課我們是如何探索勾股定理的？（2）在探索過(guò)程中用到了什么樣的數(shù)學(xué)思想？這些思想方法在探究過(guò)程中發(fā)揮了怎樣的作用？（3）回到本課引人部分，你能說(shuō)說(shuō)為什么選擇勾股定理作為人類與外星生命溝通的語(yǔ)言嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)反思，引導(dǎo)學(xué)生厘清本節(jié)課的探究路徑，促使學(xué)生明晰幾何定理學(xué)習(xí)的一般思路和方法，為以后學(xué)習(xí)新的知識(shí)提供參考和借鑒.同時(shí)提煉探究過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中所發(fā)揮的重要作用.最后回扣本課引入部分，使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到勾股定理是人類發(fā)展過(guò)程中的重要文明成果，其承載了極其豐富的數(shù)學(xué)文化價(jià)值.

5思考感悟

5.1追本溯源把握本質(zhì)，巧妙突破教學(xué)難點(diǎn)

教師在勾股定理教學(xué)中常常會(huì)有這樣的困惑：如何引導(dǎo)學(xué)生順其自然地發(fā)現(xiàn)勾股定理，如何引導(dǎo)學(xué)生水到渠成地想到勾股定理的證明方法？筆者通過(guò)查閱史料發(fā)現(xiàn)，勾股定理的發(fā)現(xiàn)偶然之中蘊(yùn)含著必然，勾股定理的證明紛繁之中歸于至簡(jiǎn).為此，本節(jié)課溯本求源抓住“面積”這個(gè)本質(zhì)核心，選擇與勾股定理“形結(jié)構(gòu)\"關(guān)系密切的正方形作為研究切入點(diǎn)，在求解面積過(guò)程中將正方形自然分割成直角三角形，通過(guò)探尋直角三角形兩直角邊長(zhǎng)和正方形面積之間的數(shù)量關(guān)系，巧妙發(fā)現(xiàn)勾股定理，最后借助生成的弦圖順其自然證得勾股定理.

5.2拾級(jí)而上突破藩籬，有效培育核心素養(yǎng)

本節(jié)課學(xué)生循著探究路徑拾級(jí)而上，由淺入深突破知識(shí)和方法的藩籬，注重核心素養(yǎng)的培育.在發(fā)現(xiàn)階段，通過(guò)觀察操作、猜想歸納得出結(jié)論，該過(guò)程培育了幾何直觀、數(shù)據(jù)觀念核心素養(yǎng)，意在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.在證明階段，通過(guò)類比遷移、邏輯推理證明結(jié)論，培育了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和模型觀念素養(yǎng)，皆在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在探索過(guò)程中啟發(fā)學(xué)生以數(shù)刻形，見(jiàn)形思數(shù)，真正感悟到勾股定理是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的重要工具，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要紐帶.

5.3成之自然追求簡(jiǎn)約，綻放數(shù)學(xué)生長(zhǎng)之美

追求數(shù)學(xué)知識(shí)的自然生成，刻畫(huà)數(shù)學(xué)背后的簡(jiǎn)約規(guī)律，綻放數(shù)學(xué)生長(zhǎng)之美是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒追求.本節(jié)課努力營(yíng)造最近聯(lián)想的自然性，堅(jiān)持前后一致的必然性，揭示本質(zhì)貫通的超然性[3].從一般三角形三邊之間的不等關(guān)系自然過(guò)渡到直角三角形三邊之間的等量關(guān)系，這刻畫(huà)出“三角形角的變化導(dǎo)致邊之間數(shù)量關(guān)系變化\"這一簡(jiǎn)約而又深刻的規(guī)律.由此自然生長(zhǎng)，引出非直角三角形中三邊平方關(guān)系是否依然成立這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考一般三角形的邊角關(guān)系，體現(xiàn)出由一般到特殊、再由特殊回歸一般的數(shù)學(xué)研究規(guī)律，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、余弦定理做好了鋪墊。