改“斜”歸“正”

針對初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問題教學(xué)中存在的學(xué)生思維僵化、方法機械等問題，本研究提出將“化斜為直”思想融人教學(xué)實踐.通過構(gòu)建“情境引入—知識遷移—問題解決一拓展提升”的教學(xué)路徑，引導(dǎo)學(xué)生將斜線段轉(zhuǎn)化為直線段，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.實踐表明，該方法有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀和推理能力，為函數(shù)教學(xué)提供了新的范式.

在實際教學(xué)中，二次函數(shù)的最值問題（如線段最值、面積最值等）既是教學(xué)的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往側(cè)重于公式的記憶與機械計算，而忽視了對數(shù)學(xué)思想方法的滲透與應(yīng)用[].這不僅限制了學(xué)生的思維發(fā)展，也削弱了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性與實用性.因此，如何通過有效的教學(xué)設(shè)計，將“化斜為直”思想融入二次函數(shù)的教學(xué)中，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法并提升解決問題的能力，成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究的重要課題.

1教學(xué)準(zhǔn)備

1. 1 單元整體分析

二次函數(shù)的圖象是它性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，對了解和掌握二次函數(shù)的性質(zhì)具有形象直觀的優(yōu)勢，二次函數(shù)作為初中階段學(xué)習(xí)的重要函數(shù)模型，對理解函數(shù)的性質(zhì)，掌握研究函數(shù)的方法，體會函數(shù)的思想是十分重要的[2]，因此本章的重點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解與掌握，應(yīng)教會學(xué)生畫二次函數(shù)圖象，學(xué)會觀察函數(shù)圖象，借助函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)并解決相關(guān)的問題.本章的難點是體會二次函數(shù)學(xué)習(xí)過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)圖象的特征和變換以及二次函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，

1.2 教學(xué)內(nèi)容分析

二次函數(shù)中的線段最值、面積最值等，一直是重要的考點和難點.本節(jié)課是華東師大版九年級下冊第二十六章的拓展內(nèi)容.二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)式、方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的知識，是函數(shù)知識螺旋發(fā)展的一個重要環(huán)節(jié).二次函數(shù)的學(xué)習(xí)不僅強化了學(xué)生對函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用、研究方法等進(jìn)一步的理解掌握，同時也為高中繼續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)和一元二次不等式奠定了基礎(chǔ).

1.3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）通過數(shù)學(xué)的眼光，可以從現(xiàn)實世界的實際問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，并且能用轉(zhuǎn)化的思想求二次函數(shù)的最值問題，形成對數(shù)學(xué)的好奇心與想象力，主動參與數(shù)學(xué)探究活動，提升數(shù)學(xué)抽象能力、創(chuàng)新意識和幾何直觀[3].

（2）經(jīng)歷探索由已知條件特點，靈活選擇化斜為直的轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生能夠理解并運用化斜為直的轉(zhuǎn)化方法求函數(shù)的最值，建立函數(shù)與現(xiàn)實生活之間的邏輯聯(lián)系，能夠運用符號運算、形式、推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問題和實際問題，提升推理意識和推理能力.

（3）通過數(shù)學(xué)的語言，可以簡約、精確地描述斜線段與直線段之間的關(guān)系以及用化斜為直的轉(zhuǎn)化方法，能夠在現(xiàn)實生活中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題，形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，提升應(yīng)用意識和模型意識.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：通過對斜線段與直線段之間的關(guān)系進(jìn)行探究，掌握求二次函數(shù)線段最值和面積最值的方法.

1.4 學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些解決實際問題的活動，會利用勾股定理（兩點間距離公式）求坐標(biāo)系中兩點之間的距離，并會用配方法、判別式法等求已知函數(shù)的最值，為學(xué)習(xí)新知識打下了基礎(chǔ).

基于以上分析確定教學(xué)難點為：學(xué)會根據(jù)不同的條件和題型，利用化斜為直的轉(zhuǎn)化方法在實際應(yīng)用中體會數(shù)學(xué)思維中的轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)模型的作用.

1.5 教學(xué)策略分析

本節(jié)課從以下5個教學(xué)環(huán)節(jié)展開：情境引入，激發(fā)興趣；復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新知；利用新知，解決問題；拓展提升，連接中考；總結(jié)思考，內(nèi)化升華.

（1）情境引入，激發(fā)興趣.通過一道例題，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望.

（2）復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新知.回憶直線段和斜線段的計算方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察簡化，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出直線段，把新問題轉(zhuǎn)化成已知問題來解決.

（3）利用新知，解決問題.利用多題一解的方式，讓學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化思想來求線段或面積最值，對于不能直接觀察出線段的情況，需要進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化思想.

（4）拓展提升，連接中考.

（5）總結(jié)思考，內(nèi)化升華.歸納化斜為直的基本方法，鞏固求線段或面積最值的基本步驟.

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入，激發(fā)興趣

例1已知直線 y₁=x+3 與拋物線 y₂=- 的圖象，點 P 是 y₂ 上的一個動點，則點 P 到直線 y₁ 的最短距離是

2.2 復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新知

坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點的坐標(biāo)，如何求兩點間的距離，我們先來復(fù)習(xí)前面學(xué)過的坐標(biāo)系內(nèi)求線段長的方法：

（1）已知 A（x₁，y₁），B（x₁，y₁） ，則線段 AB 的 長為

（2）已知 B（x₁，y₂），C（x₂，y₂） ，則線段BC 的長為

（3）已知 A（x₁，y₁），C（x₂，y₂） ，則線段AC的

長為

教師問：“仔細(xì)觀察線段，你發(fā)現(xiàn)什么了嗎？”

師生互動我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相同時，這條線段的長可以表示為 AB=∣ψ_y1-ψ y₂∣ 或 BC=∣x₁-x₂ 1.因為它們都與 x 軸或 y 軸平行，為了方便理解和記憶，所以我們把它們叫作直線段.

當(dāng)兩個點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)不同時，利用前面學(xué)過的兩點間的距離公式，現(xiàn)在我們知道線段 AC= ，因為它們都不與 Ψ_x 軸或 軸平行，所以我們把它叫作斜線段.

我們發(fā)現(xiàn)直線段的計算遠(yuǎn)比斜線段的計算來得簡單，我們大膽猜想是否可以把斜線段轉(zhuǎn)化為直線段，來求坐標(biāo)系中的線段長.

2.3 利用新知，解決問題

小試牛刀1

變式1過點 P 作 PQ//y 軸交直線 y₁=x+ 3于點 Q ，則 PQ 的最小值

方法總結(jié)要求豎直線段的長，我們通常假設(shè)拋物線上的點坐標(biāo)，再表示出直線段的長，最后發(fā)現(xiàn)是一個新的二次函數(shù)求最值的問題便得解.

小試牛刀2

變式2過點 P 作 PQ//x 軸交直線 y₁=x+ 3于點 Q ，則 PQ 最小值

方法總結(jié)要求水平線段的長，我們還是假設(shè)拋物線上的點坐標(biāo)，再表示出直線段的長，最后發(fā)現(xiàn)是一個新的二次函數(shù)求最值的問題便得解.

一般來說，要求豎直線段或水平線段的長的最值，我們只需要假設(shè)拋物線上的點坐標(biāo)，再表示出直線段的長，最后得出一個新的三次函數(shù)，利用前面學(xué)過的二次函數(shù)求最值的問題便得解，我們在解題過程中，需要根據(jù)題目給出的具體條件的特點，恰當(dāng)?shù)乇硎境鼍€段長來解決問題.下面我們一起來利用直線段解決引例的問題.

小試牛刀3

變式3求 P 到直線 y₁ 的最短距離是

方法總結(jié)：此題要求的斜線段 PH 的長，根據(jù)化斜為直思想，我們可以把 PH 轉(zhuǎn)化為 PQ ，再利用相似或三角函數(shù)找到 PH 與 PQ 之間的數(shù)量關(guān)系，這樣就變成了求 PQ 的最小值，利用轉(zhuǎn)化達(dá)到了化繁為簡的效果.

變式訓(xùn)練1

若直線 y₁ 與 x 軸 ??y 軸于點 A，B ，則 ΔPAB 面

積的最小值

方法總結(jié)此題要求面積的最小值，可以發(fā)現(xiàn)AB 是定長線段，所以只要使 _AB 邊上的高最小即可，即垂線段 PH 的最小值，而 PH 是斜線段，所以我們還是轉(zhuǎn)化為豎直線段 PQ 來求解，最終體現(xiàn)我們本節(jié)課的重點思想化斜為直.

變式訓(xùn)練2

已知直線 與拋物線 2x 的圖象，點 P 是 y₂ 上的一個動點，則點 P 到直線y₁ 的最短距離是

方法總結(jié)此題與引例相似，只是此時直線與x 軸的夾角非特殊角，但要求的 PH 仍為斜線段，根據(jù)化斜為直思想，我們可以把 PH 轉(zhuǎn)化為 PQ ，再利用相似或三角函數(shù)找到 PH 與 PQ 之間的數(shù)量關(guān)系，這樣就變成了求 PQ 的最小值，利用轉(zhuǎn)化達(dá)到了化繁為簡的效果.

變式訓(xùn)練3

已知直線 y₁=x+3 與拋物線 的圖象，如圖1點 P 是 y₂ 上的一個動點，拋物線與橫軸交點為 C ，連結(jié) CP 并延長交直線 y₁ 于 D ，連結(jié)OD，OP ，記 ΔODP 面積為 S₁ ΔODC 面積為 S₂ 則 的最小值是

方法總結(jié)此題要求面積比的最小值，可以發(fā)現(xiàn)兩個三角形的高相同，所以可以轉(zhuǎn)化為底的比即可，發(fā)現(xiàn)底 DP 和 DC 都是斜線段，所以我們還是轉(zhuǎn)化為豎直線段 PQ 來求解，最終體現(xiàn)我們本節(jié)課的

重點思想化斜為直.

鏈接中考

如圖2，拋物線 y=x²+bx+c 與 x 軸交于點A，B 兩點， B 點坐標(biāo)為（4，0），與 y 軸交于點C（0，4） ：

（1）求拋物線的解析式；

（2）點 P 在 x 軸下方的拋物線上，過點 P 的直線 ，與直線 BC 交于點 E ，與 y 軸交于點 F ，求 PE+PF 的最大值.

3結(jié)語

“化斜為直”思想的滲透不僅能幫助學(xué)生掌握線段最值、面積最值等具體問題的解決方法，還能強化轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).通過多題一解的變式訓(xùn)練，學(xué)生能夠靈活運用“設(shè)點坐標(biāo)一表示線段長一構(gòu)建二次函數(shù)一求最值”的解題流程，實現(xiàn)從機械解題到策略應(yīng)用的思維跨越.例如，在解決點到直線的最短距離問題時，學(xué)生能主動將斜線段轉(zhuǎn)化為豎直線段，結(jié)合相似三角形或三角函數(shù)建立數(shù)量關(guān)系，最終通過二次函數(shù)求最值的方法得出結(jié)論.這種方法的遷移應(yīng)用，不僅提升了學(xué)生的解題效率，更深化了對函數(shù)本質(zhì)的理解.

【本文系鯉城區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度課題（第二批），課題名稱《課程思政視域下數(shù)學(xué)文化教學(xué)研究》，課題編號：（LCJG1452－140）研究成果】

參考文獻(xiàn)：

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[2]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[3]張奠宙.數(shù)學(xué)方法論稿[M.上海：上海教育出版社，2010.