初中數(shù)學動點圓最值問題的常見模型及解題方法研究

動點圓最值問題是中考數(shù)學中的常見壓軸題型，通常涉及一個或多個動點在圓上或圓內(nèi)運動，要求找出某個量（距離、角度等）的最大值或最小值.解題過程中，學生須具備扎實的幾何基礎，還須具備較強的邏輯思維能力和空間想象能力，靈活運用隱圓最值模型、時鐘模型等常見模型找準思路[1].以下就具體的初中數(shù)學動點圓最值問題展開詳細敘述，

1 隱圓最值模型

例1如圖1，在邊長為 的等邊 ΔABC 上，點 D，E 分別是 BC，AC 上兩個動點，且 AE=CD 連接 BE，AD 相交于點 P ，求線段 CP 的最小值.

解析 因為 ΔABC 是等邊三角形，

所以 AB=BC=AC ，

∠ABD=∠BAC=∠BCE=60^°. （204號

因為 AE=CD ，

所以 BD=CE

所以 ΔABD?ΔBCE（SAS）

所以 ∠BAD=∠CBE 因為 ∠APE=∠BAD+∠ABE .所以 ∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC 所以 ∠APE=60^° ·所以點 P 的運動軌跡是以 O 為圓心， OA 為半

徑的圓弧，如圖2.連接 OC 交圓 O 于 N ，則 OC⊥AB 于點 F ，根

據(jù)圓周角定理可得 ∠AOB=120^° ∠OAF=30^° 所以 從而可知 OC=2OA=4 當點 P 與 N 重合時， CP 的值最小，最小值

解題點撥 隱圓最值模型是解決復雜的動點圓最值問題的有效方式，需要依據(jù)題目調(diào)整構造出一個圓，再利用圓的性質(zhì)進行求解.定長對定角模型特征為兩條固定長度的線段、兩條線段之間的夾角固定，動點的運動軌跡是一個圓，其圓心位于定長線段的中垂線上，半徑由定長線段的一半和定角共同決定[2].解題思路是識別條件—構造輔助圓—利用圓的性質(zhì)一求解答案.

2 時鐘模型

例2在給定的圖形中，線段AB是圓 O 的直徑， AB=4 ，點 C 位于 AB 的延長線上，且 BC=2 點P 是圓 O 上的一個動點，連接 PC ，并圍繞點 P 構造一個直角 ΔPCD ∠DCP=60^° ，連接 OD ，如圖3.求 OD 長度的最大值和最小值.

解析將 OC 繞點 c 順時針旋轉 60^° 得 CE ，且 ，連接 OE，ED ，可以證明 ΔOCE^′O ΔPCD ，如圖4.

由題及上述條件，可知 ΔPDC ΔOEC 為直角三角形.所以 ∠OEC=∠PDC=90^° 因為 ∠OCP=∠OCE-∠PCE 所以 ∠ECD=∠PCD-∠PCE 又因為 ∠OCE=∠PCD=60^° 所以 ∠OCP=∠ECD 因為 所以

所以

因為在 RtΔOEC 中， ：

在 ΔEOD 中， OE-ED

所以 OD 最大值為 ，最小值為

解題點撥 時鐘模型是常見的動點圓最值問題模型，涉及一個圓以及圓上的三個點，即定點 A 、定點 B 以及動點 P ，這三個點通過圓上的弧和弦相互連接，形成一個類似于時鐘表面的幾何圖形，解題的核心在于找到動點 P 在圓上運動時，到定點 A 和定點 B 距離之和／差的最小值或最大值.具體的解題步驟是分析題目條件一構造輔助線一利用圓的性質(zhì)一應用三角函數(shù)一驗證答案.

3結語

初中數(shù)學中動點圓最值問題是一類既富有挑戰(zhàn)性又充滿趣味性的題型，主要考查的是學生問題轉化能力、數(shù)形結合思維與邏輯思考能力.從模型構建角度出發(fā)，依據(jù)題干信息和問題求解要求，選用合適的模型，包括隱圓最值模型、時鐘模型等，明確不同題目的內(nèi)在邏輯，可幫助學生找到解決問題的整體思路，幫助學生更好地解決動點圓最值問題，也能進一步培養(yǎng)學生的問題意識和創(chuàng)新思維.在日常學習過程中，適時歸納總結模型與方法、積極練習與總結反思，將進一步完善知識體系，提升解題水平.

參考文獻：

[1]刁琴，石勇國.中考熱點題型“動點最值問題”的反思[J].數(shù)學通訊，2023（01）：50-51.

[2」袁勁松.善于挖掘“隱圓”，巧解最值問題J」.數(shù)理天地（初中版），2024（17）：38-39.