二元表達式最值與范圍的深度剖析

1引言

二元表達式的最值與范圍問題是高考的必考和熱點問題.解決二元表達式的最值與范圍問題主要有二元化一元的化歸思想和數(shù)形結(jié)合的方法.通過研究此類問題，學(xué)生能夠更好地理解如何將多變量條件化為單變量問題，從而利用函數(shù)性質(zhì)和幾何圖形尋找解題思路.

2 二元化一元的化歸思想

一元函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要函數(shù)類型，對于一元函數(shù)的最值和范圍問題，解決方法多種多樣.因此，若能將二元問題化為一元問題，即可將其轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ膯栴}類型，從而輕松解決.

例1已知 xgt;0，ygt;0，x+3y+xy=9 ，則x+3y 的最小值為

解析如果所給的約束條件比較容易表示出其中的一個變量，這樣就可以利用二元化一元的方法來解決問題.

由 x+3y+xy=9 得 ，所以x+3y

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 y=1，x=3 時取等號，

所以 x+3y 的最小值為6.

化歸思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，通過將多元化為一元，達到化繁為簡的目的，從而解決問題.

3 數(shù)形結(jié)合思想

二元表達式從形式上看有兩個變量，這種結(jié)構(gòu)與平面內(nèi)點的坐標(biāo)相對應(yīng)，因此只要二元表達式具有某種幾何意義，就可以利用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題.

3.1 線性表達式最值問題

當(dāng)約束條件和目標(biāo)函數(shù)是二元一次表達式時，這種在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題稱為線性規(guī)劃問題.在解決線性規(guī)劃問題時，通常需要將變量的約束條件在平面上表示為一個區(qū)域，然后通過頂點法或直線移動法來尋找目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值.

例2 已知變量 Ψ_x 和 y 滿足以下約束條件： 目標(biāo)函數(shù) z=3x-y 的取值范圍是，（ ）

（A） （C）[-1，6].

解析解這種類型的不等式時，首先要找出變量 x 和 的約束條件在平面上形成的可行區(qū)域.根據(jù)題目中的不等式可以將這些不等式在平面上表示出來，形成一個區(qū)域（圖1），代表滿足條件的所有可能的 x 和 y 的值.

為了便于分析，將 z=3x-y 轉(zhuǎn)化為直線方程的形式： _y=3x-z .在這個方程中，直線的斜率是3，而 z 的變化會影響這條直線在平面上的位置.當(dāng) z 增大時，直線整體向下平移；當(dāng) z 減小時，直線整體向上平移.在確定 z 的取值范圍時，需要找到這條直線與可行區(qū)域的邊界交點.當(dāng) z 取最大值時，直線 y =3x-z 會經(jīng)過可行區(qū)域的一個頂點 A（2，0） ，此時z=3×2-0=6. 當(dāng) z 取最小值時，直線 _y=3x-z 會經(jīng)過另一個頂點 ，此時 因此，目標(biāo)函數(shù) z=3x-y 的取值范圍為 .故（A）正確.

3.2 非線性表達式最值問題

當(dāng)約束條件或目標(biāo)函數(shù)不是二元一次表達式時，通常要考查約束條件和目標(biāo)函數(shù)具有什么樣的幾何意義，然后通過數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題

例3已知二元二次表達式 f（x，y）=x²+ y²-2x-4y ，設(shè) x 和 y 滿足約束條件 x+y?4 且 x，y?0 ，求 f（x，y） 的最小值.

解析將 f（x，y）=x²+y²-2x-4y 進行配方，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準形式 f（x，y）=（x-1）²+（y-2）²-5. 由此可以看出，表達式的幾何意義是平面內(nèi)的點到點（1，2）的距離的平方減去常數(shù)5.

由于不等式 x+y?4 表示的是直線 x+y=4 右上方第一象限的部分（包含第一象限內(nèi)線段上的點），由圖2可知，可行域內(nèi)的點到點（1，2）的最短距離為直線 x+y=4 上最近的點到（1，2）的距離.

點（1，2）到直線的距離可以由點到直線的距離公式求得，具體為d =

故 f（x，y） 的最小值為 d²-5=-4.5

4多元表達式最值問題

二元表達式的最值問題的解決方法可以遷移至多元（至少三個變量）表達式的最值問題.比如，先將多元表達式化為一元表達式，再進行求解.或者利用表達式的空間幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合的方法求解（不再舉例）.

例4已知 x，y，z 為非負數(shù)，且滿足 ，求 的最值.，

解析解這種多元函數(shù)的條件最值問題時，通常是利用已知條件消去變量，將多元函數(shù)轉(zhuǎn)換為單一變量的函數(shù)求解.

根據(jù)已知條件，可以將方程組整理后消去 y 和z ，從而得到 和 z=2x-1. 代人目標(biāo)函數(shù)后，得到 由于 x，y，z 非負數(shù)，因此x 的取值范圍為 0.5?x?1. 接著，分析一次函數(shù)_w=9x-6 的單調(diào)性，根據(jù) x 在閉區(qū)間[0.5，1]上的變化，可以得出：當(dāng) x=0.5 時， w 取得最小值 w_min ；當(dāng) x=1 時， 取得最大值 w_max=3 .因此，目標(biāo)函數(shù) w 的最小值為 ，最大值為3.

5 結(jié)語

本文通過分析多種典型的二元表達式最值和范圍問題，總結(jié)了相關(guān)解題思路和方法.化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題的兩種基本思想.化歸思想是化多元為一元、化復(fù)雜為簡單的一種重要的數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合思想則反映了數(shù)學(xué)的兩面性，即數(shù)和形兩個方面，在解決數(shù)學(xué)問題時，一定要養(yǎng)成時刻貫徹數(shù)形結(jié)合的思想方法.希望學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)中能夠靈活運用這些方法，進一步提高對數(shù)學(xué)問題的綜合解決能力.

參考文獻：

[1]呂相紅.高中函數(shù)“最值”問題的求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（9）：90.

[2]施蕙莉.求解二元函數(shù)最值問題的辦法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2020（8）：41.

[3]王法巖.二元函數(shù)最值問題的解法探究[J].數(shù)理天地（高中版），2018（2）：12—13.