初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題的解題思路分析

在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中，幾何最值問(wèn)題囊括了眾多核心知識(shí)點(diǎn)，包括兩點(diǎn)間線段距離最短的基本定理、三角形任意兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊的原則，以及圓、直線、角度等幾何要素的綜合應(yīng)用與分析.因幾何教學(xué)內(nèi)容較為抽象，學(xué)生在解題過(guò)程中經(jīng)常因抽象問(wèn)題受到瓶頸桎梏，不利于提高學(xué)生解題能力[1].對(duì)此，本文提出初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題的解題思路研究，旨在為有關(guān)學(xué)者提供幫助及建議.

1利用軸對(duì)稱(chēng)與平移等量轉(zhuǎn)化線段

例1在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC定點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn) ^A，C 分別在 x 軸， y 軸上， B，D 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 （-4，6），D（0，4） ，線段 EF 在邊 OA 上移動(dòng)，保持 EF=3 ，如四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ：

解析將線段 BF 向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度至B^′E ，作點(diǎn) D 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D^′ ，連接 ED^′ ，由平移性質(zhì)知 B^′E=BF ，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知 D^′E=DE ，四邊形BDEF的周長(zhǎng)為 =EF+FB+BD+DE=B^′E ，如 B^′，E，D^′ 共線時(shí)，四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小為 ，由 B（-1，6） ， D^′（0 -4）得，直線 B^′D^′ 的解析式為 y=-10x-4 ，與 x 軸交于點(diǎn)

從上述分析可以看出，通過(guò)作圖找到點(diǎn) E 位置，可進(jìn)行定量運(yùn)算求出點(diǎn) E 坐標(biāo).此外，除運(yùn)用解析法求得直線 B^′D^′ 的解析式外，還可由 ΔD^′OE^° ΔD^′CB^′ 得 ，求得 ，繼而求得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ：

2利用旋轉(zhuǎn)等量轉(zhuǎn)化線段

例2對(duì)于三角形而言，存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，這個(gè)點(diǎn)被稱(chēng)為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).當(dāng)三角形為銳角三角形或直角三角形時(shí)，其費(fèi)馬點(diǎn) P 位于三角形的內(nèi)部.例如ΔABC 為銳角（直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn) P 是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足 ∠APB=∠BPC=∠CPA= 120^° ；等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)則是其三條高的交點(diǎn).若 . . P 為 ΔABC 的費(fèi)馬點(diǎn)，則 PA+PB+PC=

解析“根據(jù) 得出AB=AC2+AC²gt;BC² ，故 ΔABC 為銳角三角形，結(jié)合題意， ΔABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P 滿(mǎn)足∠APB=∠CPA=120^° ，而鈍角 ΔAPB 、鈍角ΔAPC 有 AB=AC，AP=AP ，對(duì)此可通過(guò)添加垂線說(shuō)明兩個(gè)鈍角三角形全等，因此得出點(diǎn) P 應(yīng)在∠BAC 的角平分線上，過(guò)點(diǎn) A 作等腰 ΔABC 的角平分線 AD ，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可以得出， AD 垂直平分 BC ，以此確定 P 的位置，并得出 BD=DC= BC=√3，AD=√AB2-BD2=2，又PD=tan30°·

，且 AP=AD-PD Φ=1 故 PA+PB+PC=5. （2

3利用三角比縮放線段

例3在 ΔABC 中 ?AB=5，AC=4，sinA= 于點(diǎn) D ，點(diǎn) P 作為線段 BD 上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為

解析 過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥AB 于點(diǎn) E ，過(guò)點(diǎn) C 作CE^′⊥AB 于點(diǎn) E^′ ∵，RtΔADB 中 ，在 RtΔPEB 中 ，進(jìn)而得出 （204號(hào) ，如當(dāng) Ψ_C，P，E 三點(diǎn)共線， E 與 E^′ 重疊，取等號(hào)， RtΔCE^′A 中 CE^′= 因此得出 的最小值為

4利用反演變換縮放線段

例4在扇形 OAB 中， OA=4 ∠AOB=120^° .C 為 OA 中點(diǎn)，點(diǎn) D 在 OB 上，且 OD=3，P 為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與 A，B 重合），求 3CP+2DP 的最小值[2].

解析 由于 PC 與 PD 均在扇形 OAB 內(nèi)，如作

反演變換 ，則

；如作反演變換 D

，則 0

，為將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為成線段和最小的問(wèn)題，需要進(jìn)行同時(shí)變換， 3CP+ 2DP= （PC'+PD'），又 PC' +PD^′?C^′D^′ ，如僅當(dāng) C^′，P，D^′ 共線即點(diǎn) P 在 C^′D^′ 上時(shí)取等號(hào)，在△C'OD'中，OC'=8，OD'=16，∠C^′OD^′=120^° ，過(guò)點(diǎn) C^′ 作 C^′G⊥D^′O 于 G ，RtΔC^′GO 中， cos60^°?C^′O=4，RtΔC^′GD^′= 中， GD=OG+OD^′ ，故 3CP+2DP的最小值為4√19[3].

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，與幾何圖形有關(guān)的最值問(wèn)題，既能考查學(xué)生對(duì)幾何圖形的掌握情況，也能探查學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力，具有十分重要的意義.誠(chéng)然，幾何知識(shí)點(diǎn)較為抽象，在解題過(guò)程中需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力.誠(chéng)然，初中階段多數(shù)學(xué)生的這些能力尚未完全成熟，導(dǎo)致在理解和解決幾何最值問(wèn)題時(shí)將面臨較大的困難.本文分析了初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題的解題思路，教師應(yīng)積極革新自身教育理念及方法，運(yùn)用科學(xué)、合理的解題思路展開(kāi)教學(xué)，以此提高學(xué)生解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]胥鳳霞.例談初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題的兩種解題思路[J].數(shù)理天地（初中版），2024（5）：24-25.

[2]劉桂景.初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題的解題思路分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（1）：49—50.

[3]田海霞.初中數(shù)學(xué)幾何圖形中有關(guān)最值問(wèn)題的解題思路分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（25）：155-157.