巧用均值不等式處理高中物理最值問題

在高中物理的學習中，最值問題頻繁出現，這些問題往往具有一定的復雜性和難度.而數學工具在解決物理最值問題時發(fā)揮著重要作用，其中均值不等式作為一種常見且有力的數學方法，為處理這類問題提供了簡潔而有效的途徑.

1求汽車的最小耗油量

例1耗油量是衡量汽車性價比的重要指標之一.若某汽車在某段公路上做加速運動試驗，它的耗油量與其加速度 a 之間的數量關系為 V=（Aa+ B）_t（A，B 均為常數）.若某汽車由靜止在平直公路上做勻加速直線運動時發(fā)生的位移為 s ，求此段運動中汽車的最小耗油量.

解析 根據公式 ，可得行駛位移 s 的運

動時間為 則消耗的油量 V=（Aa+B）t ，化簡

可得

根據均值不等式知識可得，當 時，消耗的油量

最小，即 ，最小油量 ，

評析本題考查了勻變速直線運動規(guī)律的應用.根據勻變速直線運動的位移時間公式求出時間，然后代人公式 V=（Aa+B）t ，再用均值不等式求其最值.

2求平拋運動的最大水平距離

例2有一不可伸長的輕繩的一端系有質量為m的小球，某同學站在水平地面上用手握住輕繩的另一端并甩動手腕，使得小球在豎直面內做圓周運動.當球運動到最低點時輕繩突然斷掉，小球飛出后落在地面上的位置離最低點的水平距離為 d ，如圖1所示.已知小球與手之間的距離為 ，手離地面的高度為 d ，不計空氣阻力和手的運動，已知重力加速度為 g ：

（1）求繩斷時球的速度大小 v₁ ：（2）求繩能承受的最大拉力 F ;（3）繩能承受的最大拉力不變的情況下，改變

繩長，使球重復上述運動.若小球運動到最低點時繩

仍斷掉，求小球拋出后的最大水平距離和此時繩長.

解析 （1）繩斷后，豎直方向：

水平方向： d=v₁t ，

則繩斷時小球速度大小

（2）繩斷前，對小球： 1

解得 1

（3）設繩斷時球的速度為 v₂ ，繩長為 ξ_l ，

繩斷后，設球的水平位移為 x ，豎直位移為 d 一l.豎直方向 ，水平方向 x=v₂t^′ 聯立解得 當且僅當 ，即 時，x 有最大值

評析 本題第（3）問中，求出水平位移 x= ，可通過均值不等式求出其最大值.

3求平拋運動中速度的最小值

例3如圖2所示，固定在豎直平面內的直軌道 AB 與光滑圓弧軌道 BC 相切，圓弧軌道的圓心角為 θ=37^° ，半徑為 r=1m，C 端水平， AB 段的動摩擦因數為0.5.豎直墻壁 CD 高 H=0.1m ，緊靠墻壁在地面上固定一個和 CD 等高、底邊長 L=0，2m 的斜面.一個質量 m=0，2kg 的小物塊（視為質點）在傾斜軌道上從距離 B 點 s=1m 處由靜止釋放，從 C 點水平拋出.已知 B，C 兩點速度大小滿足關系 v_C= ，重力加速度 g=10m/s² ，sin37^°=0.6，cos37^°=0.8. 求：

（1）小物塊從 C 點拋出到擊中斜面的時間；（2）改變小物體從軌道上釋放的初位置，求小物體擊中斜面時速度大小的最小值.

解析（1）小物塊從 A 到 C 的過程，由動能定理得 ：mgssin37^°+mg（r-rcos37^°）-μmgscos37^°=

代人數據解得

如圖3所示，設物體落到斜面上時水平位移為x ，豎直位移為 ，由幾何關系有 代人得x=0.2-2y ，由平拋運動的規(guī)律得 x=v₀t，y= gt2，代人數據解得t

（2）由上知x=0.2-2y=vt，ut2=v2.2y（0.2-2y）2，可得v2= ，由動能定理得 ，小物體擊中斜面時動能為 0.2mg ，當 時，最小速度

評析本例第（2）問中，解出小物體擊中斜面時動能的表達式，根據均值不等式即可求出最小速度.

4結語

均值不等式作為一種有效的數學工具，在處理高中物理最值問題時展現出了獨特的優(yōu)勢.通過巧妙地運用均值不等式，學生能夠更加簡潔、準確地解決力學等領域中的復雜最值問題.這不僅有助于提高學生的解題能力和數學應用水平，還能促進他們對物理知識的深入理解和綜合運用.在教學中，教師應引導學生熟練掌握這一方法，并培養(yǎng)他們靈活運用數學工具解決物理問題的思維習慣，為學生的物理學習和未來的科學研究奠定堅實的基礎，

參考文獻：

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