求解變力做功大小問題的幾種方法

方法1 微元法

在對(duì)問題的分析過程中，將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程細(xì)分為許多微小的階段，把每個(gè)階段內(nèi)的力近似地看成恒力，然后利用恒力做功公式 W=Fscosθ 計(jì)算每個(gè)微元的功，最后通過求和，即可求出總功.

例1如圖1所示，在水平面上，有一根長(zhǎng)度為6m 的輕繩，其一端固定在 O 點(diǎn)，另一端連接著一個(gè)質(zhì)量為 m=2.0kg 的小球.現(xiàn)對(duì)該小球施加一個(gè)沿水平面大小不變的力 F 使其沿著圓弧MN運(yùn)動(dòng)，力F 方向始終與小球運(yùn)動(dòng)方向成 37^° 角，大小始終為10N.已知小球與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ= 0.2，空氣阻力忽略不計(jì)，重力加速度取值為 g= 10m/s² ，sin37^°=0.6，cos37^°=0.8 ，則（ ）

（A）力 F 對(duì)小球做功為 16πJ （B）力 F 對(duì)小球做功為 8πJ （C）小球克服摩擦力做功為 16πJ （D）小球克服摩擦力做功為 4πJ ·

解設(shè)每小段上做的功為 W₁，W₂，…，W_n ，因?yàn)槔?F 大小不變，方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37^° 角，

所以 W₁=Fl₁cos37^°，W₂=Fl₂cos37^°，…，W_n= Fl_ncos37^°

故 W_F=W₁+W₂+…+W_n=Fcos37^°（l₁+ =16π] ，（A）正確，（B）錯(cuò)誤.

同理可得小球克服摩擦力做的功 W_f=μmg · ，（C）（D）錯(cuò)誤.

評(píng)析合理選取微元是運(yùn)用微元法的關(guān)鍵，要確保所取的微元足夠小，確保微元內(nèi)變力可視為恒力，同時(shí)要準(zhǔn)確確定每個(gè)微元中力和位移的關(guān)系，以及計(jì)算總功時(shí)的邊界點(diǎn).

方法2 圖像法

建立 F-x 圖像，根據(jù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積來求解變力做功.若圖像所圍成的是規(guī)則圖形，可以直接利用幾何公式求面積；若圖像所圍成的圖形不規(guī)則，則可以采用分割、近似的方法估算面積.

例2水平面上有一物體在力 F 的作用下沿著固定方向運(yùn)動(dòng)，力 F 與位移 x 之間的關(guān)系圖像如圖2所示，則力 F 對(duì)物體做功為（ ）

（A）3J. （B）6J. （C）7J. （D）8J.

解利用 F-x 圖像中面積的幾何意義可知，力 F 對(duì)物體做功等于圖線與 x 軸所包圍面積的代數(shù)和.物體運(yùn)動(dòng)到 4m 時(shí)所做的功為： ×2J=7J ，物體在 4～5m 位移內(nèi)所做的功為：

全過程中 W=W₁+W₂=7J-1J=6J ，（B）正確.

評(píng)析若題中已給出 F-x 圖像，則只需計(jì)算圖形所圍成的面積大小即可.同時(shí)要注意區(qū)分圖像在坐標(biāo)軸上方和下方所代表的意義，上方表示力做正功，下方表示力做負(fù)功，總功是各部分面積的代數(shù)和.

方法3 轉(zhuǎn)化法

利用功能定理、功能關(guān)系或能量守恒定律等將變力做功問題轉(zhuǎn)化為其他易于求解的問題.例如，通過動(dòng)能定理 W_a=ΔE_k ，可將求變力做功轉(zhuǎn)化為求物體動(dòng)能的變化量；或者利用能量守恒定律，將變力做功與其他形式能量的變化聯(lián)系起來.

例3如圖3所示，在粗糙水平地面上，有一物體通過繞過光滑定滑輪的輕繩相連，在輕繩的另一端施加大小恒定的拉力 F ，使得物體從 A 點(diǎn)開始由靜止開始運(yùn)動(dòng).在物體運(yùn)動(dòng)過程中， AB，BC 段拉力F 做功分別為 W₁，W₂ ，已知 AB=BC ，物體與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)不變，則（ ）

（A）摩擦力增大， W₁gt;W₂ ：（B）摩擦力減小， W₁2 ·（C）摩擦力增大， W₁2 （D）摩擦力減小， W₁gt;W₂

解物體受力分析如圖4所示，由平衡條件得： F_?N+Fsinθ=mg ，

滑動(dòng)摩擦力 F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ） ，物體從 A 向 C 運(yùn)動(dòng)的過程中，輕繩與水平方向的夾角 θ 增大，所以物體所受滑動(dòng)摩擦力減小，由于物體被繞過光滑定滑輪的輕繩系著，拉力大小不變，所以拉力做的功等于輕繩對(duì)物體所做的功，力 F 做功 W= FΔl，Δl 表示輕繩的長(zhǎng)度變化，物體從 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)時(shí)，繩長(zhǎng)的變化為 Δl₁ ，從 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C 點(diǎn)時(shí)繩長(zhǎng)的變化為 Δl₂

已知 AB=BC ，由幾何關(guān)系可知 Δl₁gt;Δl₂ ，因此 W₁gt;W₂ ，（D）正確.

評(píng)析轉(zhuǎn)化法需要準(zhǔn)確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)過程，確定哪些力做功，以及物體的能量如何轉(zhuǎn)化.同時(shí)，要正確選擇合適的定理或定律進(jìn)行轉(zhuǎn)化，避免出現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化關(guān)系分析錯(cuò)誤或定理應(yīng)用條件不滿足的情況.

4結(jié)語

本文聚焦于求解變力做功的問題，系統(tǒng)闡述了三種有效的方法.微元法通過將變力做功過程分割為眾多微小過程，化變力為恒力來求解；圖像法借助力一位移圖像 b 所圍成的面積來直觀呈現(xiàn)變力做功的數(shù)值；轉(zhuǎn)化法巧妙地將變力做功問題轉(zhuǎn)化為已知規(guī)律的恒力做功或其他可求解的形式.

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