例析實(shí)際生活中拋物線型的數(shù)學(xué)問題

例1跳板蹬人是一項(xiàng)難度極高的雜技表演，其中有一個(gè)動(dòng)作是雜技演員從曉蹺板右端點(diǎn) O 處被彈起，然后在半空中翻轉(zhuǎn)恰好落在其他演員們舉起的椅子點(diǎn) A 處，其身體（視作一點(diǎn)）移動(dòng)的路線可以看作是拋物線的一部分，如圖1所示.假設(shè)雜技演員距離地面的高度是 y（m） ，身體距離點(diǎn) O 的水平距離是 x（m） ，得到了如下的數(shù)據(jù)：

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，試求出該拋物線的表達(dá)式和雜技演員距離地面的最大高度；

（2）在已做好防護(hù)措施的一次試演過程中，工作人員將蹺曉板向右移動(dòng) 0.5m ，此時(shí)椅子距離點(diǎn) O 處的水平距離是 3.5m ，椅子的高度是 2m ，那么此次表演能否成功呢？請(qǐng)說明理由.

解題思路 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的應(yīng)用.

（1）假設(shè)該拋物線的表達(dá)式是 y=ax²+bx ，從上述表格中任選兩組數(shù)據(jù)并代人，即可確定二次函數(shù)的表達(dá)式；然后利用拋物線的對(duì)稱軸公式 x= ，便可求出最大高度.

（2）根據(jù)已知條件，將新的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)代人拋物線的表達(dá)式中，即可計(jì)算出高度，并將其與椅子的實(shí)際高度進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出雜技演員能否成功落在椅子上.

解析 （1）假設(shè)該拋物線的表達(dá)式是 y=ax²+

bx ，將（0.2，1.12），（1，4）代入其中， 0可得 ，進(jìn)而可解得所以該拋物線的表達(dá)式是 y=-2x²+6x ·由此可知，該拋物線的對(duì)稱軸是直線

將 代人 y=-2x²+6x 中，可解得 y=

（204號(hào)所以，雜技演員距離地面的最大高度是 （2）此次表演不能成功，理由如下：由（1）可知，y=-2x2+6x=-2（x-））所以，將蹺曉板向右移動(dòng) 0.5m 后，該拋物線的 當(dāng)x=3.5時(shí)，y=-2×（3.5-2）2+9由于 0≠2 ，所以此次表演不能成功.

例2露營(yíng)是一種休閑活動(dòng)，各式帳篷已成為該戶外活動(dòng)的必備裝備.如圖2所示的帳篷支架可近似視作拋物線.已知一款帳篷張開時(shí)的寬度和頂部高度會(huì)影響其內(nèi)容納的椅子數(shù)量.如圖3所示，此為一頂帳篷搭建完成示意圖，其張開的寬度 AB= 3m ，頂部高度 h=1.8m ，以 AB 的中點(diǎn) O 作為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB 所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）試求該帳篷支架對(duì)應(yīng)的拋物線的表達(dá)式；

（2）圖3為一把椅子擺入該帳篷后的簡(jiǎn)易視圖，椅子高度 EC=1m ，寬度 CD=0.6m ，倘若在帳篷內(nèi)沿 AB 方向擺放一排此類椅子，求最多能擺放的椅子數(shù)量；

（3）為了提高帳篷的舒適度和性價(jià)比，小亮重新設(shè)計(jì)了帳篷，其表達(dá)式是 y=ax²+2.5 ，要使帳篷一排恰好能容納5把高、寬分別為 1m 和 0.6m 的椅子，求 a 的值.

解題思路 本文主要考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的應(yīng)用.

（1）利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出拋物線的系數(shù)，進(jìn)而得出該帳篷支架對(duì)應(yīng)的拋物線的表達(dá)式.（2）首先將椅子的高度代入拋物線的表達(dá)式中，即可計(jì)算出椅子擺放的范圍，然后再算出可以擺放的椅子數(shù)量.（3）利用拋物線的方程和已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可計(jì)算出拋物線系數(shù) α_a 的值.

解析（1）由于帳篷搭建時(shí)張開的寬度是 AB= 3m ，頂部高度是 h=1.8m ，可得知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為

假設(shè)拋物線的表達(dá)式是：

因?yàn)樵搾佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（0，1.8），

所以

可解得 所以，該帳篷支架對(duì)應(yīng)的拋物線的表達(dá)式是：

（2）由于椅子的高度是 EC=1m ，寬度是 CD=

0.6m ，然后將 y=1 代人 中，可解得 x₁=1，x₂=-1 ，則 x₁，x₂ 的距離是2，所以 因?yàn)橐巫拥臄?shù)量為正整數(shù)，所以最多能擺放的

椅子數(shù)量是3把.（3）如圖4所示，一排能容納5把高、寬分別為

1m 和 0.6m 的椅子，即剛好經(jīng)過點(diǎn) D 處，所以 y_D=

，由此可得知拋物線 y=ax²+

2.5經(jīng)過點(diǎn) 所以 ，可解得 ·

結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)兩道例題的深人探究，不僅幫助學(xué)生加深了對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的理解，還讓學(xué)生學(xué)會(huì)了如何將數(shù)學(xué)的理論知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問題中，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生的審題分析能力和綜合實(shí)踐能力.在解決實(shí)際生活中拋物線型問題的過程中，除了要對(duì)書本上的知識(shí)進(jìn)行熟練掌握，還可通過建立數(shù)學(xué)模型、求算拋物線的解析式、計(jì)算拋物線的參數(shù)等步驟，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)問題，這樣就能更快地尋找到對(duì)應(yīng)的解決方法.