一道直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的多解探究

1 例題呈現(xiàn)

已知橢圓 上有一點(diǎn) A（0，1） ，設(shè)點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l：y=kx+t（t≠±1） 與橢圓 C 交于兩個(gè)不同點(diǎn) P，Q ，直線 AP 與 x 軸交于點(diǎn) M ，直線 AQ 與 x 軸交于點(diǎn) N ，若 ∣OM∣?∣ON∣=2 ，求證：直線 ξ_l 恒過(guò)定點(diǎn).

2 方法展示

2. 1 利用斜率乘積為定值

直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，一般需要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)設(shè)而不求的方式得到參數(shù)之間的關(guān)系，最后得到直線恒過(guò)定點(diǎn).在此過(guò)程中要注重直線的幾何位置，利用一些橢圓的二級(jí)結(jié)論，如經(jīng)過(guò)橢圓兩頂點(diǎn)并交于一點(diǎn)的直線斜率乘積為定值進(jìn)行列式求解.

證明 若 k=0 則 ∣OM∣?∣ON∣≠2. 當(dāng) k≠0 時(shí)，設(shè) P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m 0）， N（n，0） ，則 又因?yàn)?∣OM∣?∣ON∣=2

所以 mn=±2 .

聯(lián)立

得 （1+2k²）y²-2ty+t²-2k²=0

代人

得

若

故 2t-2=2t+2 ，矛盾，舍去；

若 ，則 t=0

于是直線 l：y=kx ，即恒過(guò)定點(diǎn) （0，0）

評(píng)析掌握一些圓錐曲線中的常用結(jié)論，并補(bǔ)充相應(yīng)的結(jié)論證明，就可以列出相關(guān)等式進(jìn)行求解.

2.2 利用坐標(biāo)變換

坐標(biāo)變換是一種簡(jiǎn)化問(wèn)題的處理方法，通過(guò)對(duì)橢圓圖形進(jìn)行改變，使得其幾何位置更加特殊，從而簡(jiǎn)化對(duì)直線定點(diǎn)的求解.例如可以通過(guò)坐標(biāo)變換的方式將定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為新坐標(biāo)系中的原點(diǎn)，再進(jìn)行反推，證明 設(shè) 則橢圓方程變換為

艮 （20

設(shè)直線 l：mx^′+ny^′=1 （假設(shè)直線 ξ_l 在新坐標(biāo)下不過(guò)原點(diǎn)）.

聯(lián)立

（20

得

山

換元得

即 （2+4n）s²+4ms+1=0

由韋達(dá)定理得s1S2=2+4n

結(jié)合已知條件得 n=0 或 n=-1

當(dāng) n=0 時(shí)， 即 ，此時(shí)直線 ξ_l 的斜不存在，舍去；

當(dāng) n=-1 時(shí)，直線 ξ_l 的方程為 mx^′2-y^′2=1 ，可知直線 ξ_l 過(guò)定點(diǎn) （0，-1） ，即在原坐標(biāo)系中的定點(diǎn)為（0，0）.

若直線 ξ_l 在新坐標(biāo)系下過(guò)原點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系中過(guò)點(diǎn)（0，1），與題意矛盾.

評(píng)析此方法難度較大，需要學(xué)生理清兩個(gè)坐標(biāo)系之間的聯(lián)系，同時(shí)保證運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

2.3 利用坐標(biāo)表示

對(duì)于題目中的已知條件，利用解析幾何的基本思想，將幾何條件代數(shù)化，從而綜合求解.為此，就需要在坐標(biāo)系中利用坐標(biāo)表示將相應(yīng)的幾何量的大小表示出來(lái)，從而得到關(guān)于坐標(biāo)的等式進(jìn)行求解.

證明 設(shè) P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）， 聯(lián)立方程

即 （2k²+1）x²+4ktx+2t²-2=0， 得 Δgt;0 而直線 令 y=0 ，得 1所以 同理 又因?yàn)?（y₁-1）（y₂-1）=[kx₁+（t-1）][kx₂+ （204號(hào)則 故 ∣t²-1∣=（t-1）² 當(dāng) t²-1gt;0 時(shí)， t²-1=t²-2t+1 ，所以 t= 1，矛盾，舍去；當(dāng) t²-1lt;0 時(shí)， 1-t²=t²-2t+1 ，即 t（t- 1）=0 ，而 t≠1 ，故 t=0

綜上所述： l：y=kx 恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）.

評(píng)析合理利用坐標(biāo)表示的前提是建立合適的平面直角坐標(biāo)系，同時(shí)還要靈活運(yùn)用直線、點(diǎn)之間的關(guān)系，對(duì)相應(yīng)的幾何量進(jìn)行求解.之后，將幾何條件代數(shù)化，如線段長(zhǎng)度可以利用兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)公式得出，直線的斜率大小可以由傾斜角的正切值表示，由此即可代入運(yùn)算.

3結(jié)語(yǔ)

上述三種方法是解答直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的常用方法.其中方法1和方法3較為常用，教師要保證學(xué)生牢牢掌握，并且要在平時(shí)的解題訓(xùn)練中不斷總結(jié)歸納常用的二級(jí)結(jié)論，便于開展解答.而方法2難度較大，有時(shí)能有意想不到的效果，可適當(dāng)選用.