淺談直線與圓教學中學生易走入的“雷區(qū)”

直線和圓作為基礎(chǔ)曲線，對研究復(fù)雜的圓錐曲線問題具有基礎(chǔ)性作用，但在實際教學中，學生常走入一些不易發(fā)現(xiàn)的“雷區(qū)”，以下為學生在日常學習中經(jīng)常走人的“雷區(qū)”：

誤區(qū)1 基本知識混淆不清落入“雷區(qū)”.

示例1已知 是直線 Σ_m 的一個方向向量，則直線 Σ_m 的傾斜角為

學生誤區(qū)1 傾斜角取值范圍模糊不清，錯答為 -60^° 或 300^°

學生誤區(qū)2 傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系錯誤，錯答為 150^° ：

正解 由于方向向量為 ），所以斜率為 ，則直線的傾斜角為 120^°

知識點撥 所有的直線都有傾斜角，傾斜角的范圍是 [0，π） ，但不是所有的直線都有斜率，注意斜率 k 與傾斜角 α 的關(guān)系，可借助正切函數(shù)圖象分析解決.

示例2 直線 ax-y+1=0 與 2x-（a+1）y+ 2=0 平行，求 a 的值.

學生誤區(qū) 在考慮平行的限制條件時，忽略檢驗重合的情況，錯解為1或—2.

正解因為兩直線平行，所以 a（a+1）=2 a=1 或-2.當 a=1 時，兩直線重合，舍去，因此答案為—2.

知識點撥 在解決利用兩直線位置關(guān)系求參數(shù)的問題時，一定要全面考慮限制條件，尤其要注意平行與重合在平面幾何中屬于兩種不同的情況.

示例3 已知坐標原點（0，0）不在圓 x²+y²+ ay+a-1=0 的內(nèi)部，則實數(shù) a 的取值范圍 是

學生誤區(qū) 學生只考慮了點與圓位置關(guān)系的限制條件，忽略了二元二次方程表示圓的條件，錯解為 a?1 ：

正解由于點不在圓內(nèi)，所以 a-1?0 ，又因為方程表示圓，因此 a²-4（a-1）gt;0 ，解得 a≠2 ，所以 Ψ_a 的取值范圍是 a?1 且 a≠2

知識點撥 在處理與圓有關(guān)的問題時，若所給的圓的一般式方程含有參數(shù)，一定要考慮二元二次方程表示圓時的條件.

示例4求過點 P（4，3） 且與圓 C：x²+y²- 4x-2y+1=0 相切的切線方程.

學生誤區(qū) 學生用點斜式方程設(shè)過點 P（4，3） 的直線時，忽略了斜率不存在的情況，錯解為 y=3

正解當斜率存在時，設(shè)直線方程為 y-3= k（x-4） ，再利用圓心到直線的距離等于半徑解得k=0 ，直線為 y=3 .特別注意當直線斜率不存在時，直線方程為 x=4 .因此直線方程為 x=4 或 y=3

知識點撥 在解決過一點且與圓相切的切線方程時，須先考慮點與圓的位置關(guān)系.點在圓外時，有兩條切線方程.若選擇用點斜式方程設(shè)過點的直線時，要考慮斜率不存在的情況.

示例5若圓 C：x²+y²=4 與圓 D：x²+y²- 6x-8y-m=0 相切，則 Ψ_m 的值為

學生誤區(qū) 學生在考慮圓與圓相切的條件時，與直線與圓的位置關(guān)系混淆，只考慮了兩圓外切或

內(nèi)切一種情況，導(dǎo)致漏解.

正解 當兩圓外切時，解得 m=-16 ；當兩圓內(nèi)切時，解得 m=24 ，因此 m=-16 或24.

知識點撥 在對圓與圓的位置關(guān)系進行分類時，可以按照初中所學分為相切、相交和相離三類，也可按照高中所學細分為外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含五種情形.但要注意的是，相切包含外切和內(nèi)切，相離包括外離和內(nèi)含.

誤區(qū)2 基本方法、技巧選擇不當走入計算“雷區(qū)”

示例1 已知點 A（x，y） 在函數(shù) 2x+y-8= 0的圖象上，當∈[2，5]時，y+1 的取值范圍是

學生誤區(qū) 在解決這個問題時，學生沒有考慮 的幾何意義，而是利用代數(shù)法借助函數(shù)思想解決，導(dǎo)致計算量變大，花費時間過長，時間成本太高.

優(yōu)解 的幾何意義為 A（x，y） 與 （-1 —1）兩點間的斜率，利用數(shù)形結(jié)合思想作出圖示即 可輕松解決.

知識點撥 在解析幾何中，形如b 型式子的幾何意義為 （x，y） 與 （a，b） 兩點間的斜率；形如ax+by 型式子可利用截距的幾何意義解決；形如 型式子可利用點 （xy） 到點（a，b） 間的距離來解決.

示例2（1）求圓心在直線 y=-x 上，且過圓x²+y²-2x+10y-24=0 與圓 （x+1）²+ （y+1）²=10 交點的圓的方程.

（2）已知直線 l：y=-3x-b 與圓 C：x²+y²- 4x+4y-8=0 相交于 M，N 兩點， O 為坐標原點，若 M，N，C，O 四點共圓，求 b 的取值范圍.

學生誤區(qū) （1）直接聯(lián)立兩圓方程求交點，因涉及二元二次方程，求解較為困難，計算量大.（2）學生通過聯(lián)立直線與圓的方程求出兩交點坐標，再借助待定系數(shù)法設(shè)圓的一般方程代入求解.計算量大，容易出錯.

優(yōu)解（1）經(jīng)過兩圓 x²+y²-2x+10y-24= 0與 （x+1）÷（y+1）÷10 交點的圓系方程可設(shè)為 （x²+y²-2x+10y-24）+λ（x²+y²+2x+ 2y-8）=0（λ≠-1） ，再利用圓心在直線上解出 λ 即可.

（2）經(jīng)過直線 3x+y+b=0 與圓 x²+y²- 4x+4y-8=0 交點的圓系方程可設(shè)為 （x²+y²- 4x+4y-8）+λ（3x+y+b）=0 ，再利用 ^{（O，C} 在圓上解出 λ，b 即可.

知識點撥 經(jīng)過兩圓 x²+y²+Ax+By+ C=0 與 x²+y²+Dx+Ey+F=0 交點的圓系方 程可設(shè)為 Dx+Ey+F）=0（λ≠-1），

經(jīng)過直線與圓交點的圓系方程同理可得.

示例3已知圓心在直線 2x-7y+8=0 上，且 M（6，0），N（1，5） 都是圓上的點，求圓的標準方程.

學生誤區(qū) 利用待定系數(shù)法設(shè)圓的標準方程或圓的一般式方程，通過代人點的坐標解二元二次方程組或三元一次方程組，計算量大.

優(yōu)解利用圓心在線段MN的中垂線 x-y- 1=0 上，聯(lián)立兩直線即可解出圓心坐標 C（3，2） ，再利用 或 ∣NC∣ 的長等于半徑即可求出標準方程為 （x-3）²+（y-2）²=13

結(jié)語

在解析幾何中，直線與圓這一內(nèi)容雖然基礎(chǔ)，但由于其靈活性和多樣性，學生在學習時極易出現(xiàn)知識和思維的偏差.通過明確易錯點，深化對幾何概念、方法的理解，采取行之有效的學習策略，可以幫助學生建立起更為扎實的幾何基礎(chǔ)，提前預(yù)防錯誤，為后續(xù)的數(shù)學學習奠定良好的基礎(chǔ).