探究圓錐曲線最值問題的解題方法

圓錐曲線最值問題綜合性較強(qiáng)，要想解決它，不僅要掌握圓錐曲線的定義，還要善于把握圓錐曲線與方程、函數(shù)、三角等相關(guān)知識，綜合應(yīng)用.

1定義法

例1如圖1所示，雙曲線的方程x2-2 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ！ B 是圓 1上的點(diǎn)，點(diǎn) C 為其圓心，點(diǎn) M 在雙曲線的右支上，則 ∣MA∣+∣MB∣ 的最小值為

思路分析本例題考查雙曲線的相關(guān)性質(zhì).首先，可根據(jù)雙曲線的方程確定雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，一點(diǎn)為點(diǎn) A ，另一點(diǎn)設(shè)為點(diǎn) D ，再連接 MD，BD ，結(jié)合雙曲線的定義求解.

解析 由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以點(diǎn) A 為雙曲線的左焦點(diǎn).如圖2所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 D ，連接 MD BD ，由雙曲線的定義可知， ，則∣MA∣+∣MB∣=2a+∣MD∣+∣MB∣ .易知，當(dāng) M .B，D 三點(diǎn)共線時(shí)， ∣MD∣+∣MB∣ 最小，即 ∣MA∣+ ∣MB∣=2+∣MD∣+∣MB∣?2+∣BD∣ ；因?yàn)?B 是圓 上的點(diǎn)，點(diǎn) C 為其圓心，所以 ，即 （204當(dāng)點(diǎn) M，B 在線段 CD 上時(shí)，不等式取等號，即∣MA∣+∣MB∣ 的最小值為

2 切線法

例2求橢圓 上的點(diǎn)到直線 y=x+ 的距離的最大值和最小值，以及取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).

思路分析先求出與直線 平行的橢圓的切線，再求切線與直線 的距離，即為所求的最值，且切點(diǎn)就是取最值時(shí)橢圓上的點(diǎn).

解析 設(shè)與直線 平行，與橢圓 y²=1 相切的 l:y=x+b ，聯(lián)立切線方程與橢圓方程，可列出 ，消 y 得， 3x²+4bx+2b²-2= 0，所以 Δ=(4b)²-4×3×(2b²-2)=0 ，解得 b=± ：

當(dāng) 時(shí)，代入 ① ，解得 即切點(diǎn)

頭 時(shí)，有最小值 23T3當(dāng) 時(shí)，代人 ① ，解得 即切

點(diǎn)為 時(shí)，有最大值

3代數(shù)法

例3如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圓 O （20號交 x 軸于點(diǎn) F₁，F(xiàn)₂ ，交 y 軸于點(diǎn) B₁，B₂ ，以 B₁，B₂ 為頂點(diǎn)， F₁，F(xiàn)₂ 分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓 E ，恰好經(jīng)過

（1）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn) (-2，0) 的直線 ξ_l 與橢圓 E 交于M，N 兩點(diǎn)，求 ΔF₂MN 面積的最大值.

思路分析 第一問，由題意，可設(shè)橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，易知 b=c ，再將 代入橢圓方程，求出 Π_a，b 的值，即可得到橢圓 E 的方程.（2）設(shè)出直線解析式 l:y= k(x+2) ，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到 (1+2k²)x²+ 8k²x+8k²-2=0 ，再利用韋達(dá)定理，用含有 k 的關(guān)系式表示出 ΔF₂MN 的面積，由函數(shù)的性質(zhì)分析得到答案.

解析 （1）由題意設(shè)橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，焦距為 2c ，則 b=c ，所以 a²= （20

b²+c²=2b² ，即橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(a>b>0 ），將點(diǎn) 代入橢圓方程，解得 b²= 1，所以橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）如圖3所示，設(shè)直線 l:y=k(x+2)

M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂) ，由 消去 y （204

得， (1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0. 因?yàn)?Δ>0 ，

得 ，且

（204 （204 所以

（204號 又因?yàn)辄c(diǎn) F₂(1，0) 到直線 ξ_l 的距離 所以 此時(shí)，令 1+2k²=t ，那么 t∈(1，2) ，所以 不難發(fā)現(xiàn)， ，即 時(shí)， S_ΔF2MN 有最

大值，為 ，此時(shí) 綜上， ΔF₂MN 面積的

最大值為 4結(jié)語

總而言之，遇到圓錐曲線最值問題時(shí)，可以從上述三種方法的角度分析解決問題，以準(zhǔn)確把握解題思路，提高解題效率.