幾道以雙曲函數(shù)為背景的數(shù)學(xué)創(chuàng)新題探究

1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程 y= ，其中 c 為參數(shù).當(dāng) c=1 時，就是雙曲余弦函數(shù) ，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù) 它們與正，余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).雙曲函數(shù)是一類在數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域中具有重要應(yīng)用的函數(shù)，其定義和性質(zhì)與三角函數(shù)有類似之處，但也存在明顯的差異．雙曲函數(shù)最初源于懸鏈線問題的研究，后來逐漸發(fā)展成為高等數(shù)學(xué)中的基本函數(shù)類別之一．盡管在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中沒有對雙曲函數(shù)進行系統(tǒng)學(xué)習(xí)，但隨著課程改革的深入，雙曲函數(shù)越來越成為高中生研究性學(xué)習(xí)的重要對象，在很多高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)材料中也都能找到它的身影．例如人教版必修1第一冊第四章第160頁出現(xiàn)了以雙曲函數(shù)為背景的習(xí)題：

（2）雙曲正切函數(shù)有兩條漸近線，分別為 y=1 和 y=-1 ;

（3）雙曲正弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)均是嚴(yán)格單調(diào)遞增曲線；其中，雙曲正切函數(shù)的圖像被限制在兩水平漸近線 y=1 和 y=-1 之間.

（4）平方公式：

和差角公式： sinhxcoshy+ coshxsinhy; 二倍角公式： sinh2x= 2 sinhxcoshx ; cosh2x= 2

題目 設(shè) 求證：（1） [g（x）]²-[f（x）]²=1 ；（2） f（2x）= 2f（x）g（x） （20

該題目直接利用函數(shù)的定義即可證明．實際上 I（x） 為雙曲正弦函數(shù)，我們將其記作 sinh（x）= 為雙曲余弦函數(shù);記作 cosh（x）= 此外還有雙曲正切函數(shù)，將其記作 tanh（x） 進一步，根據(jù)上述雙曲函數(shù)的相關(guān)定義，我們將其性質(zhì)整理如下：

（1）雙曲正弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)均是以原點為中心的對稱曲線.雙曲余弦函數(shù)是關(guān)于 y 軸對稱的對稱曲線;

輔助角公式：Acoshx + Bsinhx Σ=Σ （204號

雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的聯(lián)系公式：coshix Σ=Σ Ψ=Ψcosx. （20

導(dǎo)數(shù)公式： [sinh（x）]^′=cosh（x） ，[cosh（x）]^′=sinh（x）.

此外，類比正弦函數(shù)的二倍角公式，可得： =2sinh（x）cosh（x）.

為了進一步掌握雙曲函數(shù)的性質(zhì)，并發(fā)掘其應(yīng)用背景，我們從以下例題展開說明

例1 根據(jù)雙曲函數(shù)的定義，以下結(jié)論正確的是.

A.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B．雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D. tanh（x + y） = 1+tanhxtanhy

解析 令 則 f^′（x）= 恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故 A 正確；

令 則 e，由A知g'（x）為增函數(shù)，又g′（0）=?e。ε=ε₀ ，故當(dāng) x∈（-∞，0） 時， g^′（x）lt;0 ，當(dāng) x∈ （0，+∞） 時， g^′（x）gt;0 ，故 在 （-∞，0） 上單調(diào)遞減，在 （0，σ） 上單調(diào)遞增，故 B 錯誤;

由y=e^2x+1 在 R 上單調(diào)遞增，且 y=e^2x+1gt;1 ，故 是增函數(shù)，故 c 正確;

由 C 知 則 tanh（x+y）= 另外計算可得 . 故 tanhx + tanhy，D 正確.

例2 ?x∈[-1，1] ，不等式 cos2x +mcosh（x）?0 恒成立，求 m 的取值范圍.

解 由函數(shù) u=e^x 在[-1，1]上單調(diào)遞增，（204 ，則令 ，顯然函數(shù) 在 [e^-1 ，1]上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增， t∈[2，e^-1+e] ，又 e^2x+e^-2x=（e^x+e^-x）²-2= （2t²-2 ，于是對 ?x∈[-1，1] ，有 cosh2x+mcoshx= （20 ，因此 χ_t ，顯然函數(shù) 在 ^{[2，e-1+e]} 上單調(diào)遞減，當(dāng)t=2 時， y_max=-1 ，從而 m?-1 ，所以實數(shù) m 的取值范圍是 m?-1

例3若 試比較 與sinh（cosx） 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解由 知，當(dāng) 時， ，則 sinx-cosx= 即 sinx?cosx ，于是 e^sinx-e^cosx? 0，e^-sinx+e^-cosxgt;0. （20號當(dāng) 時， cosx?0 ，則 -cosx?cosx ， ，即 e^cosx-e^-cosx?0 ，而 e^sinx+e^-sinxgt;0 ，因此 cos（sinx）-sinh（cosx）gt;0 ，所以，有 ?x∈

最后，以下題目供讀者作為練習(xí).

題1達·芬奇的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠鏈與主人相互映襯，顯現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達·芬奇提出固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂項鏈所形成的曲線稱為懸鏈線．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，得到懸鏈線的函數(shù)解析式為 f（x） （20 = ，其中 是雙曲余弦函數(shù)，則以下不正確的是.

A.f（x） 是奇函數(shù)

B. f（x） 在 （-∞，0） 上單調(diào)遞減C. ?x∈R，f（x）≥a

D. ?a∈（0，+∞），f（x）?x²

題2 若直線 與雙曲余弦函數(shù) C₁ ：

與雙曲正弦函數(shù) C₂ ：sinhx = 的圖象分別相交于點 ^A，B ，曲線 C₁ 在點 A 處的切線 l₁ 與曲線 C₂ 在點 B 處的切線 l₂ 相交于點P ，則下列結(jié)論不正確的為.

A.cosh（x-y）= coshxcoshy - sinhxsinhyB_???y= sinhxcoshx是偶函數(shù)C. （coshx）^′= sinhxD.若 ΔPAB 是以 A 為直角頂點的直角三角，則實數(shù) m=0

題3若直線 x=m 與雙曲余弦函數(shù) C₁ 和雙曲正弦函數(shù) C₂ 分別相交于點 ^A，B ，曲線 C₁ 在點 A 處的切線與曲線 C₂ 在點 B 處的切線相交于點 P ，則.

A. y= sinhxcoshx是偶函數(shù)

B. cosh（x+y^）= coshxcoshy - sinhxsinhy

C. |BP| 隨 m 的增大而減小

D. ΔPAB 的面積隨 m 的增大而減小

題4 （多選）關(guān)于雙曲正弦函數(shù) sinh（x）= 和雙曲余弦函數(shù) ，下列

結(jié)論正確的是.

A B. [cosh（x）]^′=-sinh（x） 0 Σ.cosh（-1）2-[cosh（x）]²=1

題5（多選）雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)等.雙曲函數(shù)在物理及生活中有著某些重要的應(yīng)用，譬如達·芬奇苦苦思索的懸鏈線（例如固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線即為懸鏈線）問題，可以用雙曲余弦型函數(shù)來刻畫：則下列結(jié)論正確的是

A B. y= coshx為偶函數(shù)，且存在最小值 D. ，且

提示：以上題1一題5的答案分別為 A;B;D;A 、C;B，C，D.