適應(yīng)新工科建設(shè)的線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)研究

中圖分類號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.16.004

Research on Linear Algebra and Analytic Geometry Teaching Adapting to the Construction of New Engineering Projects

CHEN Yingshan

（SchoolofMathematics，South China UniversityofTechnology，Guangzhou，Guangdong 510640）

AbstractTheMinistryofEducation，GuangdongProvince，GuangzhouCityandSouthChinaUniversityofTechnology jointlyestablishedtheSouth China Universityof Technology Guangzhou IntermationalCampus，focusingoncuting-edge disciplinesandaimingtocultivate leading talents innew engineeringdisciplines.Inorder toadapttotheconstructionofnew engineerngdisciplines，GuangzhouIntermationalCampushascariedoutcurrculumreforms inlinearalgebraandanalytic geometry.On the basis ofanalyzing the teaching content andcurrent situation of thiscourse，aswellas the important applicationof inear transformations inthefieldofnewenginering，thearticle proposes thatthe teachingoflinearalgebra andanalyticgeometryshouldattchimportancetolineartransformations.Finalythroughteachingdemonstrations，itis shown that teaching thiscourse with linear transformations as the mainline is not only necessrybut also feasible. Kevwords new engineering： linear algebra： linear transformation： teaching

2017年，教育部、廣東省、廣州市、華南理工大學(xué)四方簽約共建華南理工大學(xué)廣州國(guó)際校區(qū)，重點(diǎn)布局引領(lǐng)世界科技前沿的新工科交叉學(xué)科，培養(yǎng)面向未來(lái)的新工科領(lǐng)軍人才[。廣州國(guó)際校區(qū)于2019年開(kāi)始招收本科生，專業(yè)包括人工智能、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)、機(jī)器人工程、智能制造工程等，是全國(guó)唯一全部布局新工科專業(yè)的校區(qū)。不同于傳統(tǒng)工科專業(yè)，新工科專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法提出了新的要求?；诖?，廣州國(guó)際校區(qū)提倡數(shù)學(xué)課程應(yīng)著力提高課堂教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)教學(xué)的相關(guān)性，應(yīng)根據(jù)新工科專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的需求進(jìn)行針對(duì)性設(shè)計(jì)。本文根據(jù)筆者五年來(lái)在廣州國(guó)際校區(qū)講授線性代數(shù)與解析幾何課程的經(jīng)驗(yàn)，在分析本課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)現(xiàn)狀，以及線性變換在新工科建設(shè)中的應(yīng)用的基礎(chǔ)上，提出線性代數(shù)與解析幾何課程應(yīng)強(qiáng)化對(duì)新工科專業(yè)具有強(qiáng)支撐作用的線性變換教學(xué)，并給出教學(xué)示范，說(shuō)明以線性變換為主線講授本課程，不僅拓寬了學(xué)生利用線性變換解決專業(yè)問(wèn)題的思路，而且加深了學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容與方法的理解。

1課程教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)現(xiàn)狀分析

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究線性方程組、向量空間、矩陣、行列式、線性變換等概念和性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系和應(yīng)用。線性代數(shù)歷史悠久，我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》中就有關(guān)于線性方程組的記載。17世紀(jì)，萊布尼茲發(fā)明了行列式，并用它來(lái)研究線性方程組；19世紀(jì)，凱萊引進(jìn)矩陣的概念和運(yùn)算，并用它們簡(jiǎn)化線性方程組和實(shí)現(xiàn)線性變換的復(fù)合；20世紀(jì)，隨著現(xiàn)代線性代數(shù)逐漸成形，人們發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)可以廣泛地應(yīng)用于物理、工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。例如，量子力學(xué)中的力學(xué)變量可以用矩陣表示；計(jì)算機(jī)程序中因?yàn)槭褂昧司仃嚭拖蛄康母拍睿饌€(gè)計(jì)算被轉(zhuǎn)變成批量處理。今天，線性代數(shù)已是科學(xué)和工程不可或缺的基礎(chǔ)，它為描述和處理許多復(fù)雜問(wèn)題提供了有效的工具。

我國(guó)面向理工科一年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)線性代數(shù)課程可以追溯到1977年恢復(fù)高考以后。2000年以前，國(guó)內(nèi)的線性代數(shù)教材在內(nèi)容的選取和編排上大部分參考了蘇聯(lián)模式，講究知識(shí)體系的完整性，其中最具代表性的教材是同濟(jì)大學(xué)的《工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)》[2]。該教材第一章介紹行列式，第二章介紹矩陣及其運(yùn)算，第三章是關(guān)于矩陣的初等變換與線性方程組，第四章介紹向量組的線性相關(guān)性，第五章介紹相似矩陣及二次型，最后一章才是關(guān)于線性空間和線性變換，而且最后一章標(biāo)上了星號(hào)作為部分有需求專業(yè)的選學(xué)內(nèi)容。這一本教材結(jié)構(gòu)完整、邏輯性強(qiáng)，多年來(lái)被許多高校作為線性代數(shù)的首選教材。2000年左右，為了優(yōu)化大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和教學(xué)內(nèi)容，許多高校開(kāi)始將線性代數(shù)與空間解析幾何的內(nèi)容融合成一本教材，并開(kāi)設(shè)線性代數(shù)與解析幾何課程。例如，華南理工大學(xué)周勝林教授與劉西民教授在2012年出版了《線性代數(shù)與解析幾何》[3，并面向全校所有理工科一年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)線性代數(shù)與解析幾何課程。通過(guò)學(xué)習(xí)代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生更好地理解了線性代數(shù)，但包括學(xué)校自編教材在內(nèi)的許多新教材，在線性代數(shù)內(nèi)容的編排上與同濟(jì)版教材基本相同。例如，它們同樣認(rèn)為線性變換具有比較濃厚的理科色彩，因此只是在最后一章對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的飛速發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用擴(kuò)大到越來(lái)越多的新工科領(lǐng)域，工科專業(yè)對(duì)本課程知識(shí)和方法的需求也在悄然發(fā)生變化。特別是新工科專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)線性代數(shù)與解析幾何的重要目標(biāo)已經(jīng)不再是能夠熟練地求解線性方程組、計(jì)算行列式、求逆矩陣一一這些在實(shí)際工作中都可以由MATLAB等數(shù)學(xué)軟件代勞，如今的關(guān)鍵是要了解本課程在專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用，掌握那些對(duì)后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)具有強(qiáng)支撐作用的理論和方法。通過(guò)與廣州國(guó)際校區(qū)各個(gè)新工科領(lǐng)域?qū)I(yè)課教師的交流，我們發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)期得不到傳統(tǒng)課程充分重視的線性變換正在新工科領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用[4]。因此，為了更好地適應(yīng)新工科建設(shè)，在線性代數(shù)與解析幾何的教學(xué)中必須充分重視線性變換。

2線性變換在新工科專業(yè)中的應(yīng)用

線性變換是線性代數(shù)的核心[5，它是兩個(gè)向量空間之間保持加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的一種特殊的映射。因?yàn)榫哂袕?qiáng)大的表示能力和靈活的運(yùn)算特性，線性變換在新工科領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用。下面通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明線性變換在新工科專業(yè)中的重要應(yīng)用。

① 在圖像處理中，計(jì)算機(jī)通過(guò)線性變換實(shí)現(xiàn)二維和三

維圖形的旋轉(zhuǎn)、伸縮和翻轉(zhuǎn)。例如，要將平面上一個(gè)二維圖形基于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度 θ ，只需將圖形表示成一系列點(diǎn)的坐標(biāo)，再取旋轉(zhuǎn)矩陣A ，將線性變換 Y=AX 作用在圖形的每一個(gè)點(diǎn) X. 上就可把整個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ。這就是計(jì)算機(jī)處理二維和三維圖形的基本原理。

② 在機(jī)器學(xué)習(xí)中，利用線性變換可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維。假設(shè)原始數(shù)據(jù)向量集為 {X_i=[x_1i，x_2i，…，x_mi]^T，i=1 2…，K ，其中 n 是一個(gè)很大的正整數(shù)。由于數(shù)據(jù)向量的相關(guān)性，每一個(gè)數(shù)據(jù)向量的 n 個(gè)分量存在冗余，為了更好地理解數(shù)據(jù)并減少計(jì)算的復(fù)雜度，可以抽取每一個(gè)數(shù)據(jù)向量的m個(gè)特征（m遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 ?_n） ，構(gòu)造m維數(shù)據(jù)向量集{Y_i=[y_1i，y_2i，…，y_mi]^T，i-1，2…，K.}° 為此，只需要引入一個(gè) m×n 特征抽取矩陣 當(dāng)mi=TX_i （204號(hào)就可將高維向量 X_i 轉(zhuǎn)換成低維向量 Y_i ，從而達(dá)到數(shù)據(jù)降維的目的。當(dāng)然，數(shù)據(jù)降維的同時(shí)難免會(huì)丟失部分信息。于是，如何選取特征抽取矩陣以保證最小的信息損失成為最關(guān)鍵的問(wèn)題。線性代數(shù)中與線性變換密切相關(guān)的特征值與奇異值分解理論正是解決這一問(wèn)題的重要工具。更詳細(xì)的討論請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)。

除了圖像處理和數(shù)據(jù)降維，線性變換還在信號(hào)處理和優(yōu)化、數(shù)據(jù)壓縮和加密等新工科領(lǐng)域中扮演著重要角色。因此，教師在線性代數(shù)與解析幾何課程中詳細(xì)介紹線性變換的相關(guān)概念及其應(yīng)用是很有必要的。

3以線性變換為主線的教學(xué)示范

在線性代數(shù)與解析幾何的教學(xué)中重視對(duì)新工科專業(yè)具有強(qiáng)支撐作用的線性變換，并不意味著在介紹完傳統(tǒng)課程中那些基礎(chǔ)而重要的知識(shí)點(diǎn)（包括行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、特征值與特征向量）之后，再仔細(xì)介紹線性變換的相關(guān)概念和應(yīng)用。傳統(tǒng)的教材因?yàn)閷⒕€性變換安排在最后一章，因此在介紹其他知識(shí)點(diǎn)時(shí)幾乎完全不涉及線性變換這一概念。然而，線性變換并不是一個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，它與矩陣運(yùn)算、行列式、特征值與特征向量、相似矩陣等知識(shí)點(diǎn)均有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。因此，教師可以從課程一開(kāi)始就引入線性變換這一概念，并在介紹其他知識(shí)點(diǎn)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從線性變換的角度去分析和理解，這不僅有助于學(xué)生更好地掌握線性變換這一重要的數(shù)學(xué)工具，還有利于學(xué)生更加深刻地理解本課程中那些既抽象又重要的知識(shí)點(diǎn)。下面結(jié)合筆者在廣州國(guó)際校區(qū)的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，給出以線性變換為主線的教學(xué)示范。

① 概念的引入。教師在課程一開(kāi)始介紹線性方程組

科教導(dǎo)刊

AX=b 的時(shí)候就可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度去理解它，進(jìn)而引入線性變換這一概念。如果將向量X看作是輸入，將向量b看作是輸出， m×n 矩陣A實(shí)際上定義了從 R^′ 到 的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且對(duì)于 R^′ 中每一個(gè)輸入 X， 在" 中只有唯一一個(gè)輸出 b 與之對(duì)應(yīng)，因此這個(gè)從 R^′ 到 R^m 的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為映射。類似于中學(xué)中定義函數(shù)，我們定義映射 ΠΠΠΠΠΠΠΠ 對(duì)于R^′ 中任意向量 X₁，X₂ 與任意數(shù) k ，它滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：

T（X₁+X₂）=T（X₁）+T（X₂），

T（kX₁）=kT（X₁）

滿足上述兩個(gè)性質(zhì)的映射稱為從 R^′ 到 |R^m 的一個(gè)線性變換。因此，每一個(gè)矩陣實(shí)際上都對(duì)應(yīng)著一個(gè)線性變換。這樣一來(lái)就在矩陣與線性變換之間架起了一座橋梁，后續(xù)學(xué)生就可以從線性變換的角度去理解矩陣相關(guān)的定義和性質(zhì)。

② 從線性變換的角度講授矩陣的乘法。傳統(tǒng)的教材一般通過(guò)行列計(jì)算法則給出矩陣的乘法定義，這種定義方式如果不結(jié)合線性變換，學(xué)生將很難理解其背后的數(shù)學(xué)邏輯。從線性變換的角度來(lái)看，通過(guò)行列計(jì)算法則定義出來(lái)的矩陣和的乘積實(shí)際上代表了相應(yīng)兩個(gè)線性變換的復(fù)合，即對(duì)任意維數(shù)等于B的列數(shù)的向量 X

（XB）X=A（B（X））

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生更易理解矩陣乘法不同于數(shù)的乘法的一些性質(zhì)。例如，矩陣的乘法不具有交換率，即使兩個(gè)同階方陣A和 B，AB 也不一定等于BA。這是因?yàn)椋ˋB）X=A（B（X）） 代表的是對(duì)向量X先做 B 變換再做A變換，而（BA）X=B（A（X）） 代表的是對(duì)向量X先做A變換再做B變換，顯然，兩個(gè)線性變換作用的順序不同，復(fù)合的效果通常也是完全不同的。例如，將平面上的點(diǎn) （R² 中的向量）先基于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再關(guān)于y軸反射，與先將它基于y軸反射，再基于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，最后得到的點(diǎn) （R² 中的向量）是完全不同的。當(dāng)學(xué)生將矩陣的乘法與線性變換的復(fù)合聯(lián)系起來(lái)，抽象的代數(shù)概念便有了幾何具象，有助于學(xué)生更加深刻地理解矩陣乘法。

③ 從線性變換的角度理解行列式的幾何意義。傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材一般在課程一開(kāi)始就引入了行列式的定義，接著介紹行列式的各種性質(zhì)和計(jì)算技巧，導(dǎo)致許多學(xué)生剛開(kāi)始接觸線性代數(shù)對(duì)抽象的符號(hào)和復(fù)雜的計(jì)算提不起學(xué)習(xí)的興趣。事實(shí)上，行列式有著非常直觀的幾何意義，它代表著線性變換對(duì)體積的縮放比例。隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的飛速發(fā)展，復(fù)雜的計(jì)算都可以交給計(jì)算機(jī)去完成，與讓學(xué)生掌握行列式的計(jì)算技巧相比，更重要的是讓學(xué)生了解行列式的幾何意義，這樣做一方面可以擴(kuò)寬學(xué)生借助行列式分析線性變換的思路，另一方面可以幫助學(xué)生深刻理解行列式的性質(zhì)。例如，對(duì)于 λ_n×n 矩陣，行列式 det（A）=0 意味著線性變換 Y=AX 將 R^′ 壓縮到一個(gè)更低維的子空間中，因此這種壓縮會(huì)導(dǎo)致信息的丟失，當(dāng)然也導(dǎo)致了變換不可逆。從矩陣的結(jié)構(gòu)看，由于A的列向量是線性變換 Y=AX 下的像，det（A）=0 意味著的列向量全部落在的某個(gè)真子空間中，因此行列式為零意味著矩陣的列向量線性相關(guān)。

④ 從線性變換的角度講授特征值與特征向量。這是線性代數(shù)中與線性變換密切相關(guān)的兩個(gè)核心概念，它們無(wú)論在物理和材料等傳統(tǒng)理工科專業(yè)，還是在人工智能和機(jī)器人工程等新工科專業(yè)中均有非常廣泛的應(yīng)用，因此幾乎所有的線性代數(shù)教材都會(huì)濃墨重彩地介紹它們。然而，許多傳統(tǒng)教材在介紹特征值與特征向量之前并未引入線性變換這一概念，導(dǎo)致教師只能利用數(shù)學(xué)公式給出定義，而不能從線性變換的角度進(jìn)行實(shí)例化的講解，這顯然不利于學(xué)生真正理解特征值與特征向量的內(nèi)涵。例如，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)公式的定義很難理解為什么某些實(shí)矩陣不具有實(shí)特征值。但如果結(jié)合線性變換，這個(gè)問(wèn)題馬上變得直觀明了。假設(shè) 矩陣A和n維向量X，A乘X以結(jié)果是將X變成一個(gè)新的n維向量 Y=AX ，新向量Y往往與原向量X不共線。A具有實(shí)特征值意味著存在非零向量在經(jīng)過(guò)A變換之后，新向量與原非零向量共線，實(shí)特征值反映的正是非零向量在變換前后的伸縮比例。因此，實(shí)矩陣乘以向量如果是將向量旋轉(zhuǎn)了一定的角度（非360度），那么該實(shí)矩陣一定不具有實(shí)特征值。例如，矩陣 乘以任意二維向量效果上相當(dāng)于把這個(gè)二維向量基于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，顯然，沒(méi)有任何非零向量經(jīng)過(guò)這種特定變換之后依然與原向量共線，因此這個(gè)矩陣沒(méi)有實(shí)特征值。

⑤ 從線性變換的角度講授相似矩陣。相似矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是歷年考研數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考點(diǎn)。傳統(tǒng)教材通過(guò)數(shù)學(xué)公式給出定義：對(duì)于矩陣A和B，如果存在可逆矩陣P使得 A=P^-1BP ，那么A和B相似。從數(shù)學(xué)定義看，相似是矩陣之間的一種特殊的關(guān)系，但相似矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系是什么？具有哪些不變量？為什么引入相似矩陣的定義？?jī)H僅通過(guò)數(shù)學(xué)公式，學(xué)生很難回答這些問(wèn)題。但從線性變換的角度看，相似矩陣無(wú)非是同一個(gè)線性變換在不同基下的代數(shù)表達(dá)。通過(guò)使用相似矩陣，人們可以將一個(gè)復(fù)雜的線性變換化簡(jiǎn)，這在信號(hào)降噪與特征提取、圖像壓縮與識(shí)別等領(lǐng)域均有重要的應(yīng)用。正因?yàn)橄嗨凭仃噷?duì)應(yīng)著同一個(gè)線性變換，因此它們共享所有由線性變換本身決定的屬性，例如，行列式（代表變換的體積縮放比例）、特征值（代表變換在某些方向的伸縮比例）、跡（特征值之和）等等。且兩個(gè)相似矩陣相同特征值對(duì)應(yīng)的特征子空間的維數(shù)必須相等，這是因?yàn)椋艟仃嘇存在特征值，其對(duì)應(yīng)的特征子空間的維數(shù)等于k，則A對(duì)應(yīng)的線性變換將某個(gè) k 維子空間中所有的向量拉伸為原來(lái)的倍，故該變換在任意基底下的矩陣（即與A相似的矩陣）均具有特征值λ，且對(duì)應(yīng)的特征子空間的維數(shù)必等于k。這一直觀認(rèn)識(shí)可幫助學(xué)生迅速解決部分難題。例如，2018年全國(guó)碩士研究生招生考試（數(shù)學(xué)一、二、三）中的試題：

解析：本題需從定義出發(fā)，需找到矩陣才能說(shuō)明兩個(gè)矩陣相似，但這通常比較困難。因此，為了判斷兩個(gè)矩陣是否相似，通常需比較它們的行列式、跡、特征值等，而在這一考研原題中，每一選項(xiàng)中的矩陣都具有行列式1，跡3，且都只有一個(gè)重?cái)?shù)為3的特征值1，因此，四個(gè)選項(xiàng)中的矩陣都可能與題目中的矩陣相似，但正確答案只有一個(gè)，其關(guān)鍵在于求出各個(gè)矩陣屬于特征值1的特征子空間。事實(shí)上，四個(gè)選項(xiàng)中只有（A）選項(xiàng)的矩陣和題目中的矩陣一樣，屬于特征值1的特征子空間的維數(shù)等于1，這意味著與矩陣相似的矩陣只能是（A）。若學(xué)生不從線性變換的角度去理解相似矩陣，單憑借定義將難以真正理解并熟記相似矩陣的不變量，最終導(dǎo)致在后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)中需用到相似矩陣與線性變換來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)受到掣肘。

綜上，在線性代數(shù)課程一開(kāi)始就引入線性變換的概念，并從線性變換的角度講解各個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，不僅有利于學(xué)生更加深刻地理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還為學(xué)生在后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)中更好地使用線性變換這一工具拓寬了思路。

4結(jié)語(yǔ)

華南理工大學(xué)廣州國(guó)際校區(qū)是全國(guó)唯一一個(gè)由教育部、廣東省、廣州市、華南理工大學(xué)四方共建且全部布局新工科專業(yè)的校區(qū)。為了適應(yīng)新工科建設(shè)，在線性代數(shù)與解析幾何課程中開(kāi)展教學(xué)改革，有利于強(qiáng)化對(duì)新工科專業(yè)具有強(qiáng)支撐作用的知識(shí)點(diǎn)。線性變換在新工科領(lǐng)域發(fā)揮著不可或缺的作用。因此，本文提出適應(yīng)新工科建設(shè)的線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)應(yīng)充分重視線性變換，并且通過(guò)教學(xué)示范說(shuō)明了以線性變換為主線講授線性代數(shù)與解析幾何不僅必要而且切實(shí)可行。

★基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（12371470）；廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（202201010702）。

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