向量在高中幾何解題中的應(yīng)用探討

向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，也是高考的必考內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的解題工具，在高中數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域都可以使用向量進(jìn)行解答，如三角函數(shù)中的和差角公式推導(dǎo)，立體幾何中的系列問(wèn)題.本文將探討向量在幾何中的應(yīng)用，具體將從兩個(gè)方面展開(kāi)，一是利用向量證明幾何問(wèn)題，二是利用向量求值.下面一一展開(kāi)討論.

1 利用向量進(jìn)行幾何證明

這方面的應(yīng)用主要是借助向量知識(shí)，證明幾何中的位置關(guān)系，如線線垂直，只要證明線的方向向量數(shù)量積等于0，則兩線垂直；再如線線平行，只要證明兩條線的方向向量成倍數(shù)關(guān)系，說(shuō)明方向向量共線，則兩直線平行.

例1如圖1所示，若 D 是 ΔABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且 AB²-AC²=BD²-DC² 求證： AD⊥BC ：

證明 設(shè) ， ，則 a=e+c，b=e+d ，所以 a²-b²=（e+c）²-（e+d）²=c²+2ec- 2ed-d² 因?yàn)?AB²-AC²=BD²-DC² 所以 a²-b²=c²-d²

則 c²+2ec-2ed-d²=c²-d²

即 e（c-d）=0

因?yàn)? ，

所以 ：

所以

即 AD⊥BC ：

評(píng)注該題是證明兩條直線垂直，此處借助向量進(jìn)行證明，過(guò)程非常明確：第一步是確定題目中哪些是已知向量，哪些是未知向量；第二步是通過(guò)向量的加減運(yùn)算，把未知向量用已知向量表示出來(lái)；第三步是直接將要證明垂直的兩條線段對(duì)應(yīng)向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)果等于0，則得到垂直關(guān)系.在解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，若能建立直角坐標(biāo)系，則建立直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，會(huì)更加直觀簡(jiǎn)單

2 利用向量求值

利用向量求值包括兩個(gè)方面，一是求線段長(zhǎng)度；二是求角度大小，下面具體分別進(jìn)行探究.

2.1 利用向量求線段長(zhǎng)度

例2在 ΔABC 中， a，b，c 分別是內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，且 b²+c²=5. 若 為 BC 的中點(diǎn)，求 AD 的長(zhǎng).

解因?yàn)?b+c=3，b²+c²=5

所以 （b+c）²=b²+c²+2bc=9 ，

則 5+2bc=9 .

所以 bc=2

因?yàn)?D 為 BC 的中點(diǎn)，

所以AD= ，

則 ，

即 （20

則 故 AD 的長(zhǎng)為1.

評(píng)注該題是在解三角形的問(wèn)題情境中，在ΔABC 中， D 為 BC 的中點(diǎn)前提下，要求 AD 的長(zhǎng).不選擇利用正余弦定理去解答，而是選擇利用向量知識(shí)，相比而言，要簡(jiǎn)單得多.其主要是根據(jù)向量的加減運(yùn)算，有 ，且向量 和AC的模的數(shù)量關(guān)系已知，則通過(guò)對(duì) 兩邊平方即可順利求出向量 的模，即線段 AD 長(zhǎng)度.

2.2 利用向量求角度

例3如圖2，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，P，Q 分別為邊 BC，CD 上的點(diǎn)，且 1 .求∠PAQ 的大小.

解設(shè) ∠DAQ=α ∠BAP=β ，

則

由已知

所以 ： ·DQ+AD . 且 ： ，

則 ：

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，

所以 DQ=tanα BP=tanβ

在 RtΔCQP 中， CQ=1-tanα ，

CP=1-tanβ ，

由 ，

則（1-ta nα）²+（1-tanβ）²=（tanα+tanβ）² 所以 1-tanαtanβ=tanα+tanβ ，

則

因?yàn)? 所以 中

評(píng)注該題是利用向量求角的題型，從題目已知，正方形的邊所對(duì)應(yīng)向量屬于已知向量，其次 · ，求 ∠PAQ ，則是求向量 與AQ的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，則需要已知向量 與 的模和數(shù)量積，數(shù)量積是通過(guò)向量加減運(yùn)算將未知向量用已知向量表示， 最終根據(jù) 即可求出 ∠PAQ 業(yè)

3結(jié)語(yǔ)

向量在幾何中的應(yīng)用非常廣泛，可以利用它來(lái)證明兩條線段的位置關(guān)系，如平行和垂直，也可以用來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度，計(jì)算角度大小等問(wèn)題.本文針對(duì)向量在幾何中的應(yīng)用從兩個(gè)方面進(jìn)行探討，一是證明角度，通過(guò)例題討論了向量證明兩條線段垂直的問(wèn)題；二是計(jì)算，涉及計(jì)算線段長(zhǎng)度和角度大小兩個(gè)方面的內(nèi)容.根據(jù)向量知識(shí)的特征，一般在利用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)，首先考慮能不能建立直角坐標(biāo)系，能的話就建系，將向量用坐標(biāo)進(jìn)行表示，這樣處理問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，若不能建立直角坐標(biāo)系，則采用線性運(yùn)算的方式進(jìn)行，一般原則是利用向量加減運(yùn)算的三角形法則或者平行四邊形法則，將要用到的未知向量用已知向量表示，然后代人進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算.

參考文獻(xiàn)：

[1]王會(huì)敏.淺析平面向量[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），

2011（07）：7.

[2]徐章韜.從平面向量到點(diǎn)幾何[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，

2023（04）：10—13.[3」奚婧.平面向量在幾何中的應(yīng)用[J」中學(xué)數(shù)學(xué)，

2022（09）：76—77+80

[4]楊德祿.平面向量在幾何中的作用[J]中外交流，

2017（05）：183.[5」樓可飛.平面向量在幾何中的若干應(yīng)用J」.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（SC）：94-95.