逆向思維解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題

逆向思維，也稱為反向思維，是一種與常規(guī)思維方向相反的思考方式1.教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，學(xué)生最常用的思維是正向思維，即從所給的條件出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理得出結(jié)果.但是當(dāng)運(yùn)用正向思維無(wú)法找到切人點(diǎn)，或者難度較大、過(guò)程較為繁瑣時(shí)，可以擺脫思維定式，嘗試著運(yùn)用逆向思維分析，使得問(wèn)題得以創(chuàng)造性地解決.

1逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的體現(xiàn)

逆向思維較抽象，常在不同習(xí)題的解題過(guò)程中得以體現(xiàn).其中的習(xí)題包括不等式習(xí)題、根式方程問(wèn)題、一元二次方程以及二次函數(shù)問(wèn)題等.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，因具有一定的技巧性，對(duì)學(xué)生的分析、推理能力要求較高2.教學(xué)過(guò)程中，教師既要通過(guò)逆向思維知識(shí)的講解，提高學(xué)生對(duì)逆向思維的認(rèn)識(shí)，又要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，展示如何運(yùn)用逆向思維解題，使學(xué)生體會(huì)逆向思維在解題中的作用，并給學(xué)生帶來(lái)一定的啟發(fā)，使學(xué)生把握運(yùn)用逆向思維解題的思路，注意應(yīng)用細(xì)節(jié).

2逆向思維解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題例析

2.1運(yùn)用逆向思維解答不等式問(wèn)題

不等式問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題.一般從題干入手進(jìn)行分析，運(yùn)用不等式的性質(zhì)計(jì)算出結(jié)果.但是對(duì)于測(cè)試及中考等對(duì)解題效率要求比較高的情境，采用常規(guī)做法往往會(huì)耗費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間，可以結(jié)合題干創(chuàng)設(shè)的情境采用逆向思維求解，提高解題效率.

分析：該題為含有絕對(duì)值的不等式.采取常規(guī)思路，需要通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)，計(jì)算較為繁瑣，而采用逆向思維可以減少計(jì)算量，迅速找到正確選項(xiàng).解答時(shí)針對(duì)所給的四個(gè)選項(xiàng)，選取特殊值代入原不等式進(jìn)行驗(yàn)證.

解析：對(duì)于選項(xiàng)C，D，取 x=4 ，代入到原不等式計(jì)算得到 4gt;4 ，不成立，排除.對(duì)于選項(xiàng)A，B，取 x=2 代入到原不等式計(jì)算得到 2gt;8 ，不成立，故排除選項(xiàng)A，選擇選項(xiàng)B.

2.2運(yùn)用逆向思維解答根式方程問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)涉及的方程類型較多，習(xí)題情境靈活多變.對(duì)于含有多個(gè)參數(shù)的方程，常規(guī)的解題思維是通過(guò)加減運(yùn)算消元，減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).然而針對(duì)根式方程采用消元處理往往難以有效突破.針對(duì)這一情況，可以考慮采用逆向思維，通過(guò)引入新的參數(shù)，通過(guò)運(yùn)算巧妙去掉根式，將根式方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一般的方程問(wèn)題.

例2解方程：

分析：題中所給方程較為特殊，含有三次根式且只有一個(gè)未知數(shù)，無(wú)法繼續(xù)消元，并且采用兩邊立方的思路，計(jì)算繁瑣，難以求出最終結(jié)果.事實(shí)上，通過(guò)逆向思維巧妙換元，引入新的參數(shù)，對(duì)根式方程進(jìn)行恒等變形，挖掘參數(shù)間的內(nèi)部邏輯關(guān)系，化陌生為熟悉，可以迅速找到有效突破口.

解析：分別令 ，則原方程變?yōu)?a+b=3 ，且 a³+b³=9

例1 已知不等式 ，則其解集為（ ）.

A.xgt;4 或 xlt;3 B. xlt;0 或 σ_xgt;4 C.xgt;3 或 xlt;0 D.xgt;0 或 xlt;-4

于是，可得 a²-ab+b²=3 ，變形得到 （a+b）²-

3ab=3 ，可得 9-3ab=3 ，則 ab=2 ，即 a（3-a）=2 ，則

（204號(hào) a²-3a+2=0 ，解得 a₁=1，a₂=2 ，則 或，?_a=2 .當(dāng) a=1 時(shí)， x=-4 ；當(dāng) a=2，x=3 b=1

綜上，原方程的解為 x=-4 或 x=3

2.3運(yùn)用逆向思維解答二次方程問(wèn)題

一元二次方程問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn).一般給出具體的二次方程，要求運(yùn)用求根公式、因式分解、配方法等求出方程的根或求解其他問(wèn)題[3.但是對(duì)于在已知條件中沒(méi)有明確給出一元二次方程的情況，需要改變策略，采用逆向思維，從一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系入手，構(gòu)造新的一元二次方程，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，運(yùn)用一元二次方程知識(shí)順利解題.

例3已知 Φ_a，b 滿足 2a⁴-7a²+1=0，2b⁴-7b²+ 1=0 ，且 a≠b ，求 a⁴+b⁴ 的值.

分析：考慮到兩個(gè)方程形式相同，可以通過(guò)逆向思維構(gòu)造方程求解.當(dāng)然，由于不清楚 Ψ_a 和 -b 的關(guān)系，解答時(shí)需要分類討論，充分考慮符合題意的各種可能.

解析： ① 當(dāng) a=-b 時(shí)， a²=b² ，此時(shí)解關(guān)于 a² 的方程2a2-7a2+1=0，得到a2=？ ，則可得 a⁴+ 該種情境不難被想到，相對(duì)來(lái)說(shuō)難度不大.② 當(dāng) a≠-b 時(shí)， a²≠b² .由已知條件容易得到 a² b² 是方程 2x²-7x+1=0 的兩個(gè)不等實(shí)根，則 a²+ ，則a2+b2=（a2+b2）2-2a262=

1 綜上可得， a⁴+b⁴ 的值為 或業(yè)

2.4運(yùn)用逆向思維解答二次函數(shù)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)問(wèn)題情境通常較為復(fù)雜，尤其是一些綜合類問(wèn)題，難度大，常作為壓軸題出現(xiàn)在各類測(cè)試或中考中[4].其中有一些習(xí)題要求結(jié)合二次函數(shù)的圖象探究是否存在某一點(diǎn)或滿足某一情境、某一數(shù)量關(guān)系.解答該類問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用逆向思維，通過(guò)假設(shè)，將要探究的問(wèn)題作為條件進(jìn)行逆向推理，看能否求出某一點(diǎn)、推理出某一情境或某一數(shù)量關(guān)系.

例4已知拋物線 y=ax²+bx+c 和 x 軸交于A（-1，0），B（3，0） 兩點(diǎn)，和 軸交于點(diǎn) C（0，3） ，點(diǎn) P 沿著拋物線運(yùn)動(dòng).

（1）求拋物線的解析式.

（2）是否存在一點(diǎn) P ，使得 ∠CAP=45^°？ 若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：?jiǎn)栴}（1）難度不大，采用待定系數(shù)法求解.問(wèn)題（2）由于點(diǎn) P 究竟是否存在及具體坐標(biāo)不知道，因此，采用常規(guī)的解題思路，難以有效切入，而采用逆向思維，假設(shè)存在這樣的一個(gè)點(diǎn)，將 ∠CAP=45^° 作為一個(gè)條件運(yùn)用，進(jìn)行逆推，看能否求出點(diǎn) P ，可以迅速做出正確的判斷.

解析：（1）容易求得拋物線的解析式為 y=-x²+ 2x+3.（ 過(guò)程略.）

（2）根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，如圖1，連接 AC ，過(guò)點(diǎn) A 作直線 |AP| ，使得 ∠CAP=45^° ，過(guò)點(diǎn) c 作 CD⊥AP 于點(diǎn) D ，過(guò)點(diǎn) D 作垂直于 x 軸的直線 ? ，與 x 軸交于點(diǎn)E ，過(guò)點(diǎn) c 作 CF⊥l 于點(diǎn) F

若 ∠CAP=45^° ，則 ΔACD 為等腰直角三角形，其中 AD=CD .由 ∠CDF+∠ADE= 90^° ∠DAE+∠ADE=90^° ，得 ∠CDF=∠DAE. 又∠CFD=∠DEA=90^° ，則 ΔAED?ΔDFC（AAS） ，則AE=DF ED=FC .設(shè)點(diǎn) D（m，n） ，易得 m+1=3- n，m=n ，解得 m=n=1 ，則點(diǎn) D（1，1） ，又點(diǎn) A（-1，0） ，得直線 AP 的解析式為 .又 y=-x²+ 2x+3 ，則 （舍去），或 所以存在一點(diǎn) 使得 ∠CAP=45^°

3總結(jié)

逆向思維可以使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)單、高效，但是針對(duì)不同的習(xí)題，有不同的處理方法，這對(duì)學(xué)生而言是不小的挑戰(zhàn).教學(xué)中，教師既要注重為學(xué)生展示逆向思維解題的整個(gè)過(guò)程，并通過(guò)互動(dòng)幫助學(xué)生理解，又要通過(guò)布置作業(yè)習(xí)題、開(kāi)展專題訓(xùn)練等活動(dòng)，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解題的能力，使學(xué)生親歷解題過(guò)程，從中獲得更深刻的感悟、更豐富的逆向思維解題經(jīng)驗(yàn)，提高逆向思維解題的靈活性，實(shí)現(xiàn)解題能力的穩(wěn)步、有效提升.

參考文獻(xiàn)：

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[3]楊正祥.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)路徑[J].亞太教育，2024（14）：23-25.

[4]施瑞.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用思考[J].試題與研究，2024（15）：55-57.