逆向思維在初中數(shù)學解題中的應用

解題能力是衡量初中學生知識掌握程度的一項重要標準.傳統(tǒng)的解題訓練以學生分析題目給定信息、逐步解決為主.雖然這種方法較為穩(wěn)妥，但無法幫助學生應對復雜多變的問題，長此以往還會讓學生形成思維定式，降低學生的解題準確率與效率.所以，探尋一種全新的解題方式成了擺在初中數(shù)學教師面前的重要問題.逆向思維作為一種有別于常規(guī)思維的方式，通過指導學生從反向進行推導，為學生提供了解題的新思路.

1分析逆向思維要點，強化學生的逆向思維意識

新時期下的數(shù)學教師，不僅要扮演好知識傳輸者的角色，更要承擔好自身思維引領者的責任.為了強化學生的逆向思維意識，教師必須把握逆向思維的特點，即根據(jù)結(jié)果反向推導已知條件的一種思維方式.基于具體的案例開展教學，能夠讓學生在觀察與分析中，把握逆向思維的精髓，

例如 在滬教版“數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值”一課的教學中，教師便根據(jù)本課的知識要點，即“給出一個數(shù)，能求出它的絕對值”，為學生布置了如下的例題.

例1已知 ∣x-1∣+∣x-3∣ 的最小值為 α_a 求 α_a 的值，并求出取最小值時 x 的取值范圍.

題目分析 關于這道題目，一般學生會根據(jù)不同的 x 取值計算兩個絕對值相加的結(jié)果.而逆向思維要求學生從結(jié)果這一視角開展分析.根據(jù)絕對值的定義、結(jié)合本道題目給定的信息，能夠分析出 ∣x —1|表示數(shù)軸上 x 所對應的點到1這個點的距離，∣x-3∣ 丨表示數(shù)軸上 x 所對應的點到3這個點的距離.

解答過程 假設點 x 在數(shù)軸上的位置不確定，具體分析 x 在不同位置時 ∣x-1∣+∣x-3∣ 的值.

當 xlt;1 時，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，

∣x-1∣=1-x，∣x-3∣=3-x，

則 ∣x-1∣+∣x-3∣=（1-x）+（3-x） x）=4-2x ：

因為 xlt;1 ，那么 -2xgt;-2 .

所以 4-2xgt;4-2=2

當 x?1?3 時，

∣x-1∣=x-1，∣x-3∣=3-x.

則 ∣x-1∣+∣x-3∣=（x-1）+（3-x）=2. （2

當 xgt;3 時，

所以 ∣x-1∣=x-1，∣x-3∣=x-3

則 ∣x-1∣+∣x-3∣=（x-1）+（x-3） =2x-4

因為 xgt;3 ，那么 2xgt;6 .

所以 2x-4gt;6-4=2

最后得出結(jié)論，當 x?1?3 時，取得最小值， a=2

2傳授學生多元解題方法，幫助學生樹立起解題的信心

逆向思維是學生解決問題的一個有效方法.學生通過逆向思考能夠很好地找到問題的突破口，提升解題的效率.因此，在具體的教學中，教師要教給學生多元的解題方法，讓學生能夠真正把握逆向思維的核心并能游刃有余地解題，最終增強學生的自信心[2].

2.1 逆向證明

例2已知關于 x 的方程 （x-m）²=n ，當 n 滿足什么條件的情況下，方程有實數(shù)根？并求出此時x 的取值.

題目分析從正向思維來看，學生需要針對題目中給定的 x，m，n 等判斷等式是否成立.逆向思維則要求學生直接判定方程有實數(shù)根，即關于 x 的等式是成立的，自此分析 n 的取值范圍.

解題過程 因為任何數(shù)的平方都大于等于0，所以要使得方程 （x-m）²=n 存在實數(shù)根，就有 n?0

當 n?0 時， ，

即當 n?0 時，方程存在實數(shù)根， x 的取值為 m 或 ：

2.2 逆向推導

例3 已知 ，求 a^m+n 的取值.

題目分析 根據(jù)兩個同底數(shù)冪的值，求指數(shù)相加后的冪的值.可以根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則 a^m× ，再將 a^m+n 逆向轉(zhuǎn)化為 a^m×aⁿ

解答過程 因為 a^?m+n=a^?m×a^?n （2

已知 ，

所以 a^m+n=5×3=15

3開展拓展教學，總結(jié)逆向思維解題規(guī)律

拓展教學不僅是激發(fā)學生學習興趣的有效手段，其在解題教學中的應用，還能幫助學生把握逆向思維的解題規(guī)律.因此，教師在開展教學的過程中，要為學生布置具有挑戰(zhàn)性的任務，讓學生跳出原有框架，運用逆向思維完成創(chuàng)造性的分析與思考.

例4關于 x 的不等式 （2k-1）x+3lt;3x- 5的解集是正數(shù)，求 k 的取值范圍.

例題分析從逆向視角來看，教師要先指導學生從解集的性質(zhì)入手，化簡不等式，基于 x 系數(shù)和不等號方向來確定 k 的取值范圍.

在學生探究的過程中，教師要為學生留出自主思考的時間與空間，鼓勵他們從多個角度探尋問題的解決方法.之后，教師鼓勵學生在小組內(nèi)分享自己的探究思路.在結(jié)束之后，各小組總結(jié)用逆向思維解決一元一次不等式問題的規(guī)律，例如：先明確解集的情況，解集是大于或小于某個值，或是一個取值的范圍；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，分析系數(shù)與解集之間的關系.在把握規(guī)律的基礎上，學生再次對例題展開計算，這不僅可以培養(yǎng)學生的逆向思維應用能力，還增強了學生的合作精神.

解題過程 將 （2k-1）x+3lt;3x-5 化簡，可以得到 （2k-4）xlt;-8

因為解集為正數(shù)，所以 xgt;0 ，而化簡得到的不等式 （2k-4）xlt;-8 ，要使得不等號方向改變，可以得到 xgt;0 一

可以根據(jù)不等式兩邊同時除以一個負數(shù)，不等號方向改變的性質(zhì)進行計算.

當 2k-4lt;0 時，不等式 （2k-4）xlt;-8 兩邊同時除以 2k-4 ，

可以得到 所以 必須大于等于0.

由 2k-4lt;0

移項可以得到 2klt;4 ，兩邊同時除以2，

解得 klt;2

對于 ，因為分子一 8lt;0 ，要使分數(shù)小于等于0，則分母 2k-4?0 .

但 2k-4=0 時，分式無意義，所以 k 的取值范圍是 klt;2

所以關于 x 的不等式 （2k-1）x+3lt;3x-5 的解集是正數(shù)時， klt;2

4結(jié)語

初中階段是學生思維形成的關鍵期.逆向思維作為一種獨特的數(shù)學思維方式，其在數(shù)學解題教學中的應用，改變了學生固化的思路，為學生提供了全新的視角，有助于學生解題能力的提升.

參考文獻：

[1]佘望朝.逆向思維在初中數(shù)學解題中的應用探究[J].數(shù)學學習與研究（教研版），2024（25）：60-62.

[2」施瑞.逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的應用思考[J」試題與研究，2024（15）：55-57.