逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

新課標(biāo)中指出，當(dāng)下數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維觀察世界，并用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)現(xiàn)實世界.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中按照思維來劃分，可分為正向思維和逆向思維，這是數(shù)學(xué)思維中的重要組成部分，也是學(xué)生核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，因此，要求教師在教學(xué)活動中不僅要進(jìn)行正向思維的教學(xué)，還要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，以提升學(xué)生的解題能力和思維品質(zhì).

1 逆向思維的概述

正向思維是關(guān)注因，然后推導(dǎo)出果，而逆向思維是關(guān)注果，然后推導(dǎo)出因，這是方向相反的兩種思維模式.人們習(xí)慣于從事物發(fā)展的正向順序去推導(dǎo)出結(jié)果，這為正向思維；而部分問題，需要從結(jié)果往回推導(dǎo)，才可以我到合適的解題方法，進(jìn)而使得問題簡單化，這為逆向思維.

2逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的意義

2.1 提升學(xué)生的思維品質(zhì)

逆向思維中的主要模式有兩個，一是將解題過程反過來思考，二是將已知的結(jié)論反過來思考，兩種模式都打破了常規(guī)的思維模式，從反方向來思考問

題，解決問題，這使得考慮問題的思維變得不再單一，拓展了思維空間.另外，逆向思維具有普遍性、批判性、新穎性，可以提高學(xué)生的整體思維品質(zhì).

2.2 提高學(xué)生的解題效率

在數(shù)學(xué)題型中，用到的解題方法可能不是唯一的，但是不同的思維模式下得到的解題方法完全不同1.如部分?jǐn)?shù)學(xué)題采用正向的思維是無法進(jìn)行推導(dǎo)的，很難得出正確的答案，只有借助逆向的數(shù)學(xué)思維才可以推導(dǎo)出答案.逆向思維為學(xué)生在解題的過程中提供了新的解題方向，可以靈活地選用合適的解題方法，進(jìn)而節(jié)省思考問題的時間，提高做題的效率.

2.3培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容會有一定的難度，相比較于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，知識的運用會更加地抽象化，需要學(xué)生具備較高的思維品質(zhì)，才可以更全面地理解知識點.且在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不僅需要培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)的知識與解題技能，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其可以將數(shù)學(xué)思維運用到其他領(lǐng)域中.逆向思維屬于數(shù)學(xué)思維中的重要內(nèi)容，重視逆向思維的培養(yǎng)可以提高學(xué)生的整體核心素養(yǎng).

3逆向思維的特點

3.1 普遍性

逆向思維不僅僅運用在數(shù)學(xué)學(xué)科中，在學(xué)習(xí)其他學(xué)科時依舊可以進(jìn)行應(yīng)用，甚至包括日常的各個生活領(lǐng)域中.這主要與某些規(guī)律有關(guān)，即掌握事物的對立面，如事物的性質(zhì)：大與小，窄與寬，又或許是事物形態(tài)的變化，如固態(tài)到液態(tài)的變化等.即在一切事物中，把握它的一個點，進(jìn)而聯(lián)想到它的對立面，這就是逆向思維.

3.2 批判性

人們在思考問題時，習(xí)慣性地運用正向思維，而當(dāng)人們采用逆向思維來考慮問題時，對于同樣的問題會出現(xiàn)不同的思路[2]，這與常規(guī)的解題方法相比即為反證法，學(xué)生通過正向思維與逆向思維的對比，可以起到訓(xùn)練思維的批判性的作用，

3.3 新穎性

當(dāng)下的人才競爭機(jī)制中，創(chuàng)新力尤為重要，當(dāng)一個人具有良好的創(chuàng)新力時，便擁有了一定的競爭力.在生活中，人們習(xí)慣性地運用正向思維來解決問題，所獲得的結(jié)果具有普遍性，而當(dāng)采用逆向思維時，會有新的發(fā)現(xiàn)，獲得的結(jié)果會有新穎性，進(jìn)而獲得優(yōu)勢.

4逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

4.1 逆向思維在數(shù)學(xué)公式中的運用

數(shù)學(xué)公式是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時需要掌握的最基礎(chǔ)的內(nèi)容，熟練地掌握各種數(shù)學(xué)公式可以提高計算速度和計算結(jié)果的正確率.但是對于部分?jǐn)?shù)學(xué)公式，學(xué)生由于受思維的限制，很難理解其變化過程，因此，在應(yīng)用公式的過程中，學(xué)生雖然可以將其進(jìn)行代人計算，但要是公式的處于存疑的狀態(tài)，會鉆牛角尖，這不利于學(xué)生建立良好的學(xué)習(xí)心態(tài).對此，教師應(yīng)該站在學(xué)生的立場上，理解學(xué)生的心理路程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式的推導(dǎo)，了解公式的發(fā)展過程.

4.2逆向思維在數(shù)學(xué)概念中的運用

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，部分教師采用的教學(xué)方法依舊是讓學(xué)生通過死記硬背，在運用時，將概念一一進(jìn)行代人.如果學(xué)生不熟悉數(shù)學(xué)概念，在解題過程中將很難將其與給出的題干進(jìn)行結(jié)合，這樣取得的教學(xué)效果達(dá)不到預(yù)期，也不利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.且過度地關(guān)注正向思維的教學(xué)，將不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和做題效率.因此，在教學(xué)過程中，盡管在正向思維的教學(xué)下，有解題方法，但是，教師也要從逆向思維來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，嘗試從不同的角度去思考問題，解決問題，看是否可以找到更加高效的解題方法.

例如在教學(xué)“相交線與平行線”時，主要的教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生掌握線段平行和垂直的概念，以及能夠在相關(guān)的題型中運用數(shù)學(xué)概念來進(jìn)行證明.常規(guī)的習(xí)題中，教師的教學(xué)方式是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題干中給出的已知條件來判斷線段之間的位置關(guān)系，這種思考模式雖然可以得出正確答案，但是效率會比較低.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用逆向思維去思考，如讓學(xué)生將直線垂直和平行的概念進(jìn)行梳理，然后根據(jù)概念去思考解題的思路.比如，題干中要求證明線條之間是平行關(guān)系，那么學(xué)生可以嘗試?yán)么怪钡母拍钊ミM(jìn)行反向證明，當(dāng)兩條線段不符合垂直的概念時，就可以判斷線段之間是平行的關(guān)系.同理，如果題干中要證明線條之間是垂直的關(guān)系，那么可以利用平行的概念去進(jìn)行反向證明.

逆向思維在數(shù)學(xué)題型中的應(yīng)用還有很多，學(xué)生需要在學(xué)習(xí)的過程中不斷地進(jìn)行積累，當(dāng)累積到一定數(shù)量時，學(xué)生就可以靈活地進(jìn)行運用.

5培養(yǎng)逆向思維的策略

5. 1 掌握扎實的基礎(chǔ)知識

掌握扎實的基礎(chǔ)知識是學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵.在任何知識的教學(xué)中，都是以基礎(chǔ)的理論知識和公式作為最基礎(chǔ)的教學(xué)內(nèi)容，只有掌握扎實的基礎(chǔ)知識，學(xué)生才可以靈活地進(jìn)行思考，才可以理解題目中所表達(dá)的含義，才可以全面地分析問題.因此，無論培養(yǎng)學(xué)生怎樣的數(shù)學(xué)思維，或者是教授什么樣的解題方法，都需要先讓學(xué)生掌握扎實的基礎(chǔ)知識.然后再逐步地增加習(xí)題的難度，慢慢地提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例如在\"平行線的性質(zhì)”的教學(xué)中要利用反證法證明定理“兩直線平行，同位角相等”時，學(xué)生不僅要掌握“平行線的性質(zhì)”有哪些，還要掌握什么是同位角，以及同位角具有什么樣的特點.只有掌握這些基礎(chǔ)的知識內(nèi)容，才可以找到解題思路.如果學(xué)生不具備扎實的基礎(chǔ)知識，連簡單的習(xí)題可能也解決不了，更不用說要從逆向思維去解決數(shù)學(xué)問題，

例題已知 m，n 是兩個不相等的正數(shù)，求證m³+n³gt;m²n+mn² .運用正向思維來解決該問題，學(xué)生會無從下手，過程會十分復(fù)雜，而運用逆向思維則會使得推導(dǎo)的過程簡單化.而要順利地運用逆向思維來進(jìn)行推導(dǎo)，需要學(xué)生熟悉公式 x³+y³= （x+y）（x²-xy+y²） ，且在計算不等式時，需要掌握計算規(guī)則，留意移項之后的變化等.不然，就算學(xué)生找到了解題思路，也很難將結(jié)果正確地推導(dǎo)出來.可見，光有逆向思維不足以支撐學(xué)生提高解題能力，學(xué)習(xí)好基礎(chǔ)知識才是根本.

5.2 樹立逆向思維意識

在日常的教學(xué)活動中，學(xué)生學(xué)習(xí)知識和解決問題的思維大多為正向思維，可以解決大部分的學(xué)習(xí)問題.但是部分?jǐn)?shù)學(xué)問題需要借助逆向思維才得以解決，且在數(shù)學(xué)考核中占有很大的比重，是一個分水嶺.如果學(xué)生具備良好的逆向思維，在解決這部分問題時就會比較簡單，可以獲得優(yōu)勢.但是逆向思維不是一朝一夕就可以培養(yǎng)起來的，需要滲透在日常的教學(xué)活動中進(jìn)行逆向思維的教學(xué)和培訓(xùn)，只有在日常的學(xué)習(xí)活動中具備這樣的意識，在正式的考核中，學(xué)生才會有利用逆向思維來解決問題的意識，

例如在教學(xué)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念或者是解題訓(xùn)練中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運用逆向思維，逐漸地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，能夠運用逆向思維去思考和解決數(shù)學(xué)問題，加固使用逆向思維的意識.

上文提到的數(shù)學(xué)公式 a²-b²=（a+b）（a-b） （2的教學(xué)，學(xué)生不僅需要從 a²-b² 中推導(dǎo)出 a²-b²= （a+b）（a-b） ，還要從 （a+b）（a-b） 中推導(dǎo)出（ a +b）（a-b）=a²-b².

5.3 進(jìn)行逆向思維專項訓(xùn)練

逆向思維能力的提升不僅需要學(xué)生具備逆向思維的意識，還要學(xué)生具備運用逆向思維來解決問題的能力.因此，在日常的教學(xué)活動中，不僅要向?qū)W生灌輸逆向思維的意識，教師還要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容來設(shè)計相關(guān)的運用逆向思維來解答的數(shù)學(xué)習(xí)題.只有在日常的生活中有足夠的練習(xí)，見識了不同的逆向思維的例題，學(xué)生的知識庫才會充實，學(xué)生的逆向思維才會得到鞏固，進(jìn)而找到一定的解題規(guī)律和解題思路，可以在繁雜的數(shù)學(xué)題型中快速地找到解題方法.

對此，在課堂上，教師在教學(xué)基礎(chǔ)的知識內(nèi)容時，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的思考；在設(shè)計習(xí)題時，要遵循階梯式的教學(xué)原則，設(shè)計包含基礎(chǔ)的知識內(nèi)容和不同難度的習(xí)題.同時，要重視運用逆向思維的數(shù)學(xué)題的設(shè)計.另外，在學(xué)生練習(xí)相關(guān)的習(xí)題時，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生嘗試探索更多的解題方法，而不是找到其中的一種就放棄繼續(xù)思考.當(dāng)學(xué)生探索到不同于他人的解題方法時，教師要進(jìn)行表揚，以此激勵學(xué)生.

例如在簡便計算 551²-549² 時，按照常規(guī)的正向思維來進(jìn)行計算，計算量會很大，且會存在計算失誤的可能，即學(xué)生花費大量的時間來計算之后，為了確保計算結(jié)果的正確，還要多次進(jìn)行核算，時間的花費再次增加.如果學(xué)生運用逆向思維，觀察該式子的特點，與所學(xué)習(xí)過的知識進(jìn)行聯(lián)系，那么可以找到更便捷的計算方法.

對式子 551²-549² 可以聯(lián)想到 a²-b²=（a+ b）（a-b） 這個平方差公式.因此，則可以利用逆向思維，以 （a+b）（a-b） 來計算 551²-549² 的值.由此，可以推導(dǎo)出 551²-549²=（551+549）（551- 549）=1100×2=2200. 可見，通過逆向思維，計算數(shù)值變小，計算量減少，準(zhǔn)確率提高，也節(jié)省了大量的計算時間.

像這樣運用逆向思維的習(xí)題很多，教師需要抓住不同類型的習(xí)題特點，總結(jié)其解題方式，將其設(shè)置在課后作業(yè)或者是隨堂練習(xí)中，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，以此訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維和解題能力.

6 結(jié)語

綜上所述，逆向思維在數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用十分廣泛，涉及很多題型，具備逆向思維可以提升學(xué)生的做題效率和正確率，節(jié)省更多的時間，在考核中脫穎而出.另外，具備逆向思維是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，因此，教師需要更新自己的教學(xué)理念，提升自己的專業(yè)素養(yǎng)和職業(yè)素養(yǎng)，將培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維納人教學(xué)范疇，幫助學(xué)生樹立使用逆向思維的意識，提高運用逆向思維來解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭秀萍，王繼花.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（22）：37—38.

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