突破常規(guī)：巧用逆向思維速解初中代數(shù)難題

結(jié)合當前的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐，學(xué)生對于代數(shù)題目的解題存在一定困難，在考試及課堂測驗中發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生代數(shù)題目的解題準確率和速度都不理想，并且很容易對解題喪失興趣，難以提升數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量.為此，教師可引導(dǎo)學(xué)生合理運用逆向思維進行解題.逆向思維是一種倒推資源配置的方法，從目標出發(fā)逆向而行，根據(jù)已知條件逐步推進的數(shù)學(xué)思維模式，對于代數(shù)等題目的解題具有一定的推動作用.為此本文通過例析逆向思維在初中代數(shù)難題中的應(yīng)用，闡述在解題實踐中的具體做法.

1用逆向思維推導(dǎo)題目

平方差公式在初中代數(shù)教學(xué)中是一項難點和重點內(nèi)容，在解題時多數(shù)學(xué)生側(cè)重利用正向思維，即通過多項式乘法進行計算，但這樣計算效率相對較低下.為此可利用逆向思維進行推導(dǎo)，能夠?qū)崿F(xiàn)速解題目[1].

例1請簡便計算 551²-449² 的數(shù)值.

用逆向思維推導(dǎo)的解題思路：當閱讀題目后，能夠發(fā)現(xiàn)其屬于平方差公式計算類型題目，由此可借助所學(xué)公式 （a+b）（a-b）=a²-b² ，然后利用逆向思維進行推導(dǎo)，如將平方差公式進行倒置，則是 a² -b²=（a+b）（a-b） ，基于此，在數(shù)學(xué)邏輯上，則是可以將計算兩項數(shù)值的平方差看作計算兩個數(shù)的差與和的乘積，將數(shù)值代入公式中，可得 551²-449² ，經(jīng)計算答案為102000.通過運用逆向思維能夠逆向推導(dǎo)平方差公式，通過“兩個數(shù)的平方差等于兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差之間的乘積”規(guī)律實現(xiàn)簡便速解.

2用逆向思維計算題目

初中代數(shù)知識中涉及大量的計算類解題，其中包含一些特殊數(shù)值的計算，如根號下計算、開平方等，其是教材知識中的一個較難理解的重點.在掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識后，學(xué)生通常按照常規(guī)的正向思維進行計算解題，雖然能夠得到準確的計算結(jié)果，但做題效率較低.為此教師可指導(dǎo)學(xué)生充分利用逆向思維，合理地運用公式法則尋找簡潔、便捷的解題方法.

例2 請運用所學(xué)知識計算 的值.

用逆向思維計算的解題思路：學(xué)生在閱讀題目后，往往是先計算 的值，然后再計算 與 的值，這是一種正向思維解題法，但由于3并非整數(shù)，難以計算出準確的值，所以采用直接計算法難度較大.為此，應(yīng)利用題目的可逆性，轉(zhuǎn)換解題思路，逆用 公式，首先根據(jù)題目判斷 ，由此可將其看作未知數(shù) α_a ，表示為 ．由此可得出答案為

3用逆向思維分析題目

在初中代數(shù)教學(xué)中，方程知識對于學(xué)生而言是較為常見的難題類型之一，特別是不等式方程，學(xué)生大多從已知條件入手進行思考，但能得到多個結(jié)論，無法確定正確的答案.如果利用逆向思維模式則能夠基于題目的結(jié)論出發(fā)，通過逆推以此得到準確答案[2].

例3已知 xgt;0，ygt;0 ，且 x≠y ，求證 x³+ y³gt;x²y+xy².

用逆向思維分析的解題思路：通過了解題目的已知條件， x 與 為不相等的正數(shù)，如對不等式從左向右推導(dǎo)則解題過程較為煩瑣、復(fù)雜.而通過運用逆向思維則能夠較為快速地明確解題思路，如將題目進行逆向分析，利用公式 x³+y³=（x+y）（x²- xy+y²） 進行推理，則能夠得到 x²y+xy²=xy（x +y） ，然后再根據(jù)結(jié)論，只需證明 （x+y）（x²-xy +y²）gt;xy（x+y） 即可，但因為將不等式進行轉(zhuǎn)變后，其左右兩側(cè)均有 （x+y） ，且已知兩個未知數(shù)均為正數(shù)，其相加之和大于0，因此只需證明 x²- xy+y²gt;xy ，將不等式的右側(cè)移動到左側(cè)后，可得到 x²-2xy+y²gt;0 ，所以 （x-y）²gt;0 ，又由于 x eqy ，分析結(jié)論成立.這一解題思路是遵循“順推不行則逆推”的方法，通過逆向分析尋找正確的解題途徑.

4用逆向思維證明題目

證明類題型在初中代數(shù)知識體系中占有一定的比重，其能夠培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的邏輯思維和推理能力，但部分學(xué)生對于證明的題目缺乏有效的解題思路，其往往需要設(shè)定相關(guān)的假設(shè)，然后再逐步推導(dǎo)和證明結(jié)論，這一過程中有的假設(shè)是錯誤的，有的假設(shè)是正確的，學(xué)生難以辨別，從而陷入“迷?！倍ㄟ^運用逆向思維，則能夠有效證明題目，得到正確的答案.

例4請證明2是一個無理數(shù).

用逆向思維證明的解題思路：無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，是相對于有理數(shù)分數(shù)形式的數(shù)而言的，很多學(xué)生僅是將“√2是無理數(shù)的”這一知識進行記憶，但通過正向思維會證明其是無理數(shù)存在較大的困難.為此可利用逆向思維進行證明，即假設(shè) 是一個有理數(shù)，按照定義，有理數(shù)能夠通過分數(shù)表示，且每個分式能夠利用分母、分子互為質(zhì)數(shù)的方式表示，基于此，只需證明 無法滿足有理數(shù)的條件，則可證明其是一個無理數(shù).在解題時，假設(shè) 為有理數(shù)，則可將 可表示為 ，當 a 和 b 互為質(zhì)數(shù)時，可進行平方轉(zhuǎn)換，得到 ，經(jīng)去分母，則可得a2=2b² ，由此可得 a² 必然是一個偶數(shù)值，由此 α_a 為偶數(shù)，得 α=2c，c 為自然數(shù)再將其帶入到 a²=2b² 中，得 2c²=b² ，由此可知 b² 為偶數(shù)，所以其不滿足 a 和b 互為質(zhì)數(shù)的條件，也就證明 為有理數(shù)的假設(shè)不成立， 應(yīng)當是無理數(shù).

5結(jié)語

綜上所述，當初中代數(shù)難題無法利用正向思維進行解答時，利用逆向思維能夠有效尋找解題的思路，通過利用逆向思維、倒推題目，可逐步推進解題.在當前中考制度改革的背景下，對學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯和思維創(chuàng)新能力的考查越來越重視，由此利用逆向思維引導(dǎo)學(xué)生掌握題目速解方法，可有效實現(xiàn)教學(xué)教育目標，并提升學(xué)生的解題和學(xué)習能力.

參考文獻：

[1」林雨菲.逆向思維：開辟初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的另類思維[J」數(shù)理化解題研究，2024（14）：18—20.

[2]施瑞.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用思考[J]試題與研究，2024（15）：55-57.