平面四邊形中幾何最值與面積問題的多解探究

平面四邊形相關(guān)問題常融合多個(gè)知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，在各類考試中頻繁出現(xiàn)，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的重要題型.“隱圓”作為平面幾何中一種隱藏但極具價(jià)值的條件，在解題過程中若能被準(zhǔn)確識別和有效運(yùn)用，往往能為解決復(fù)雜問題提供關(guān)鍵思路.本文以泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（二）第14題為例，通過對多種解法，幫助學(xué)生對“隱圓”知識進(jìn)行總結(jié)和梳理，分析建立系統(tǒng)的知識體系，提高學(xué)生對幾何問題的敏感度和洞察力

1 題目分析

題目在平面四邊形 ABCD 中， AB=4 ， BC= 2 ， AC=AD ， ，則 AC= ；若點(diǎn) E 是 cD 的中點(diǎn)，則當(dāng) BE 取得最大值時(shí)，四邊形 ABCD 的面積為

本題以平面四邊形為依托，巧妙地將“隱圓”這一關(guān)鍵幾何要素隱匿其中.學(xué)生要突破這一難題，就必須具備從錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形關(guān)系中精準(zhǔn)識別“隱圓”條件的敏銳洞察力，進(jìn)而靈活運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)來解決問題.從代數(shù)角度來看，坐標(biāo)法、三角換元法、向量法、三角函數(shù)法等都是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.在轉(zhuǎn)化過程中，學(xué)生需要依據(jù)題目條件建立方程或函數(shù)模型，以此來求解幾何量的最值與面積.這不僅考查了學(xué)生對余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識的熟練運(yùn)用，更突出了對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模能力的嚴(yán)格考查.在建立函數(shù)模型時(shí)，函數(shù)與方程思想貫穿始終，學(xué)生要學(xué)會(huì)將幾何中的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，通過研究函數(shù)的性質(zhì)來解決幾何問題

其中，余弦定理、三角形面積公式等內(nèi)容成為解題的基礎(chǔ)運(yùn)算工具，它們是學(xué)生進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和建立數(shù)學(xué)模型的重要依據(jù)；圓的定義、性質(zhì)以及軌跡問題，則構(gòu)成了“隱圓”這一隱含條件的知識內(nèi)核，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)“隱圓”運(yùn)用圓的性質(zhì)解題的關(guān)鍵所在.

2 解法探究

在 ΔABC 中，由余弦定理知 AC²=AB²+AC² -2AB?AC?cos∠BAC=100 ，整理得 AC=10

解法一（坐標(biāo)法）以 A 為原點(diǎn)， AB 所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 C（8，6） ．設(shè)D（m，n） ，因?yàn)?AC=AD ，且 AC=10 ，所以 m²+n²= 100① 又因?yàn)辄c(diǎn) E 是 cD 的中點(diǎn)，所以 E 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，當(dāng) n 取最大值10時(shí)，D（0，10），BE² 取最大值64，此時(shí) BE 取得最大值8，所以四邊形 ABCD 的面積為S= S△ABc + S△ACD = （2

評注坐標(biāo)法通過建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何元素（點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.它利用代數(shù)方法求解幾何問題，解題過程規(guī)范、有序，在本題中，通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到 E 點(diǎn)坐標(biāo)，再通過兩點(diǎn)距離公式建立與所求量相關(guān)的代數(shù)表達(dá)式，最終求解出最大值和四邊形面積.

解法二 （三角換元）設(shè) D（10cosθ，10sinθ） ，其中 ，同解法一可得 BE²=34+30sinθ? 64，當(dāng) sinθ 取最大值1時(shí)， D（0，10） ，下同解法一得四邊形 ABCD 的面積52.

評注 三角換元法巧妙地引入三角函數(shù)進(jìn)行變量代換，將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.它利用三角函數(shù)的有界性來求解最值，為解決幾何最值問題提供了獨(dú)特視角.

解法三 （向量法）設(shè) ∠BAC=α，∠CAD=β 因?yàn)?AC=AD ，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 ，因?yàn)? 所以 （20 4cos（α+β）=34+24sinβ+18cosβ=34+30sin（β +φ） ，其中 5，cosφ ，所以當(dāng) 時(shí)， BE 取到最大值8．此時(shí) sinβ= （20號 ，所以以 （202

評注 向量法是將幾何中的長度、角度等問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模長等運(yùn)算，充分體現(xiàn)了向量的工具性.它能夠通過向量關(guān)系簡潔地表示復(fù)雜的幾何關(guān)系，對于處理涉及多個(gè)向量關(guān)系、角度和長度綜合的問題具有獨(dú)特優(yōu)勢.

解法四 （三角函數(shù)法）連結(jié) AE ，設(shè) ∠CAE= 0.因?yàn)?AC=AD ，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 AE⊥CD ！所以 AE=10cosθ. 在 ΔABE 中，由余弦定理得 AE² （204號=AB²+AE²-2AB?AE?cos∠BAE ，即 AE²=16+ 30sin（2θ+φ）+34 ，其中 所以當(dāng) 時(shí)，BE取到最大值8.此時(shí) 所以

評注三角函數(shù)法通過建立三角函數(shù)關(guān)系來求解幾何問題，對于一些難以從幾何圖形直接找到關(guān)系的問題，構(gòu)建三角函數(shù)模型能有效地將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題進(jìn)行解決.這種方法充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和代數(shù)運(yùn)算能力.

解法五 （幾何法）因?yàn)?AC=AD ，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 AE⊥CD ，所以點(diǎn) E 落在以 AC 為直徑的半圓上，記圓心為 o 當(dāng) BE 過點(diǎn) o 時(shí)， BE 取到最大值.

在 ΔABO 中，由余弦定理得 BO²=AB²+AO²- 所以 BO= 3 .又因?yàn)? ，所以 SΔACE=12×=20 所以S四邊形ABCD

評注幾何法的突出優(yōu)勢是直觀性強(qiáng)，借助圖形的幾何性質(zhì)，尤其是“隱圓”的性質(zhì)，能快速找到關(guān)鍵解題點(diǎn).這種解法利用幾何圖形的直觀特征，避免了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.在本題中，通過挖掘“隱圓”這一隱含條件，結(jié)合圓的性質(zhì)和余弦定理等知識，快速求解.

3 幾何法中“隱圓”常見表現(xiàn)形式

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，并非所有題目都會(huì)直白地給出圓的信息.有些題目里，圓的條件是隱含著的，需要我們對題目展開細(xì)致分析，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化方法，才能找到圓（或圓的方程），進(jìn)而運(yùn)用圓相關(guān)的知識解答題目.解答這類問題的核心，在于如何挖掘出隱藏的圓（或圓的方程），常見的解題策略有：

3.1 運(yùn)用圓的定義和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)圓

（1）利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡）確定隱形圓；（2）動(dòng)點(diǎn) P 對兩定點(diǎn) ^A，B 張角為 90^°（k_PA?k_PB =-1? ）確定隱形圓；（3）A，B 是兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 滿足 PA²+PB² 是定值確定隱圓；（4）A，B 是兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 滿足 確定隱圓.

3.2 根據(jù)“阿氏圓”發(fā)現(xiàn)圓

一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)λ（λ≠1） 的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”不妨設(shè) A（ε_-，ε_a，0） ， ，設(shè) P（x，y） ，則有 ，化簡得 ，軌跡為圓心 半徑為 的圓.

3.3 向量關(guān)系中的“隱圓”

（1）向量極化恒等式推出的隱圓：乘積型 · （20

結(jié)論1 平面內(nèi)，若A，B為定點(diǎn)，且PA·PB= λ ，則 P 的軌跡是以 M 為圓心， AB2為半徑 的圓.

證明 由 ，根據(jù)極化恒等式可知 1AB2=λ，所以PM = AB2+λ，P的軌 跡是以 M 為圓心， 為半徑的圓.

（2）向量極化恒等式推出的隱圓：極化恒等式和型 PA²+PB²=λ

結(jié)論2 若 ^A，B 為定點(diǎn)， P 滿足 PA²+PB²=λ ， 則 P 的軌跡是以 AB 中點(diǎn) M 為圓心 為 半徑的圓.

證明 所以 ，即 P 的軌跡是以 AB 中點(diǎn)M 為圓心 為半徑的圓.

（3）定冪方和型

結(jié)論3若 ^A，B 為定點(diǎn)， mPA²+PB²=n 或 PA² 或 mPA²+nPB²=λ ，則 P 的軌跡為圓.

證明 以直線 AB 為 x 軸，以 AB 中垂線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系，由 mPA²+PB²=n 可化為 即 1） （x²+y²）+2c（m-1）x+（m+1）c²-n=0 整理得

綜上可見，每種解法各有優(yōu)劣，從不同角度展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的相互聯(lián)系與靈活運(yùn)用.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握多種解法，對比分析其特點(diǎn)，根據(jù)題目條件選擇最優(yōu)解法，以此提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)思維.同時(shí)，強(qiáng)化“隱圓”等重要幾何概念的教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，提高學(xué)生對幾何問題的敏感度和洞察力.