例談構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中化繁為簡(jiǎn)的實(shí)踐

構(gòu)造法是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)非常適用的方法，也是應(yīng)用非常廣泛的一種數(shù)學(xué)方法.可以在代數(shù)中應(yīng)用，如完全平方公式的應(yīng)用，也可以在幾何問(wèn)題中應(yīng)用，如構(gòu)造三角形，利用三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.本文就七年級(jí)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法進(jìn)行探究，具體以例題的形式進(jìn)行討論，將從構(gòu)造平方差、完全平方公式，構(gòu)造三角形求角，構(gòu)造中位線(xiàn)等三個(gè)方面展開(kāi)例談.

1構(gòu)造平方差、完全平方公式

這種題型主要是考查學(xué)生對(duì)平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用.為了能簡(jiǎn)單地解決問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造的方法創(chuàng)造平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用條件，然后利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行解答.

例1 已知 a-b=-4，ab=2 （1）求 a²+b² 的值；

（2）求 （a+b）² 的值.

解（1）已知 a²+b²=a²-2ab+b²+2ab= （a-b）²+2ab ，

因?yàn)?a-b=-4，ab=2 ，

所以 a²+b²=（a-b）²+2ab=（-4）²+2× 2=16+4=20

（2）因?yàn)?（a+b）²=a²+2ab+b²

=a²-2ab+b²+4ab

=（a-b）²+4ab.

因?yàn)? ，

所以 （a+b）²=（a-b）²+4ab=（-4）²+ 4×2=16+8=24. （20

評(píng)注該題是平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，已知 a-b=-4，ab=2 ，要求 a²+b² 和（a+b）² 的值.根據(jù)題目類(lèi)型，要能快速地解決問(wèn)題，需要將 a²+b² 和 （a+b）² 的形式構(gòu)造成已知a-b=-4，ab=2 的形式，代入就可以解答.其中a²+b² 是通過(guò)減 2ab 的形式構(gòu)造成了 （a-b）²+ 2ab;（a+b）² 是通過(guò)加 2ab ，構(gòu)造成了 （a-b）²+ 4ab 的形式，然后代入求解即可.

2 構(gòu)造三角形求角

有的幾何問(wèn)題要求多邊形的角，可以根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，構(gòu)造出三角形，從而求出需要求的角的角度大小.

例2如圖1，已知ABCDE是正五邊形（5條邊相等的五邊形），求 ∠ABC 的度數(shù).

解如圖2所示，將正五邊形構(gòu)造成5個(gè)全等三角形，

則有 ∠AFB=∠BFC=∠CFD=∠DFE=

又因?yàn)?AF=BF=CF=DF=EF ，

所以 ∠ABF=∠CBF=∠BCF=∠DCF= ∠CDF=∠EDF=∠DEF=∠AEF=∠EAF =∠BAF ，

則 所以 ∠ABC=∠ABF+∠CBF=2×54^°=108^°.

評(píng)注該題是利用三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)，但是題目所給的不是三角形，而是正五邊形，在解決問(wèn)題時(shí)，需要在正五邊形里面構(gòu)造出三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.具體做法是如圖2所示，在正五邊形ABCDE內(nèi)構(gòu)造出5個(gè)全等三角形，根據(jù)周角可得到 ∠AFB 的大小，然后根據(jù)等腰三角形ABF，可以求出 ∠ABF 的度數(shù)，進(jìn)一步可得 ∠ABC 的度數(shù).

3構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)

中位線(xiàn)是三角形中重要的輔助線(xiàn)，在解三角形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要構(gòu)造中位線(xiàn)進(jìn)行處理，這是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的情形之一.

例3如圖3，矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn) $^ { ＼var O ， E }$ 是BC上一點(diǎn)， F 是DE的中點(diǎn)，若ΔBED 的周長(zhǎng)為10，求 ΔOCF 的周長(zhǎng).

解如圖3，連接 OF，CF

因?yàn)榫匦?ABCD ，

所以 AC=BD

∠BCD=90^°

所以

又因?yàn)?F 是 DE 的中點(diǎn)，

所以 OF 為 ΔBDE 的中位線(xiàn)，

所以 0

所以 因?yàn)?ΔBED 的周長(zhǎng)為10，所以

所以 ΔOCF 的周長(zhǎng)為5.

評(píng)注該題是矩形中，已知 ΔBED 的周長(zhǎng)為10，求 ΔOCF 的周長(zhǎng).已知條件中沒(méi)有體現(xiàn) ΔBDE 的中位線(xiàn)，需要用輔助線(xiàn)作出，再進(jìn)行求解.已知 F 是 DE 的中點(diǎn)，連接 OF，CF ，則 OF 為 ΔBDE 的中位線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)進(jìn)行線(xiàn)段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)移即可求出ΔOCF 的周長(zhǎng).在三角形中，主要利用三角形的中位線(xiàn)等于底邊的一半，在很多時(shí)候需要用其進(jìn)行長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化，包括梯形和平行四邊形的中位線(xiàn)，都是經(jīng)常應(yīng)用的東西，所以在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行中位線(xiàn)構(gòu)造.

4結(jié)語(yǔ)

本文是以北師大版初中七年級(jí)數(shù)學(xué)為研究背景，探究構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用效果和長(zhǎng)期作用.構(gòu)造法適用的題型很多，可以是代數(shù)問(wèn)題，也可以是幾何問(wèn)題.本文從能利用構(gòu)造法的題型中篩選出三個(gè)典型的方面，一是平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用方面，二是構(gòu)造三角形利用三角形內(nèi)角和定理求角度問(wèn)題，三是解決三角形問(wèn)題時(shí)構(gòu)造中位線(xiàn).本文以具體例題進(jìn)行討論，探究了構(gòu)造法的具體適用方法，以及構(gòu)造法的應(yīng)用技巧，以點(diǎn)帶面，以供大家參考.

參考文獻(xiàn)：

[1]李琴霞.幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的妙用[J]中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（20）：67-68.

[2」俞秋明.構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用LJ」.中學(xué)教學(xué)參考，2016（35）：48.

[3]李斐.淺議構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的有效運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究，2019（5）：33-34.