解析幾何教學(xué)中提高學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力的案例分析

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）18 -0044 -03

解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要板塊，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、空間想象力及數(shù)學(xué)建模能力的重要任務(wù).在此過程中，代數(shù)運(yùn)算能力的培養(yǎng)至關(guān)重要，直接關(guān)系到學(xué)生對幾何問題的理解與解決成效.從教學(xué)實(shí)際情況來看，學(xué)生在處理解析幾何問題時，常因代數(shù)基礎(chǔ)薄弱而陷入困境.因此，探索在解析幾何教學(xué)中有效提升學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力的方法，不僅有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，還能切實(shí)增強(qiáng)他們解決實(shí)際問題的能力.

1 解析幾何與代數(shù)運(yùn)算能力的內(nèi)在聯(lián)系

解析幾何是一門將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的數(shù)學(xué)分支，通過建立坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方程和函數(shù)關(guān)系研究幾何對象的性質(zhì)及其相互關(guān)系.例如，在研究直線與圓的位置關(guān)系時，可借助坐標(biāo)方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，利用線性方程組或多項(xiàng)式方程的求解進(jìn)行分析.學(xué)習(xí)解析幾何要求學(xué)生熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)表示、直線方程的構(gòu)建以及方程組的求解方法，并深刻理解斜率、截距等函數(shù)概念，進(jìn)而準(zhǔn)確描述和分析幾何對象.代數(shù)運(yùn)算能力是解析幾何學(xué)習(xí)的核心支撐，直接影響問題解決的效率與準(zhǔn)確性[1].強(qiáng)大的代數(shù)運(yùn)算能力不僅有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)幾何直觀與代數(shù)表達(dá)的有機(jī)結(jié)合，還能提升其構(gòu)建抽象數(shù)學(xué)模型和邏輯推理的能力.在處理實(shí)際問題時，學(xué)生可通過代數(shù)運(yùn)算快速構(gòu)建并求解方程，逐層剖析復(fù)雜幾何問題，探尋解決方案，進(jìn)而展現(xiàn)出更強(qiáng)的應(yīng)變能力與創(chuàng)新思維.

2解析幾何教學(xué)中提升代數(shù)運(yùn)算能力的策略

2.1 注重概念教學(xué)與運(yùn)算技能的結(jié)合

解析幾何的教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建代數(shù)與幾何之間的緊密聯(lián)系，通過深入理解代數(shù)表達(dá)式與幾何圖形的相互轉(zhuǎn)化，掌握圖形背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律.學(xué)生不僅需要熟練掌握直線、橢圓、雙曲線等幾何對象的方程表示，還應(yīng)靈活運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題.例如，探究幾何圖形的對稱性與其代數(shù)性質(zhì)間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠助力學(xué)生洞悉幾何概念背后的深層數(shù)學(xué)邏輯

為提升學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力，教師應(yīng)在概念講解時融人運(yùn)算技能培養(yǎng).例如，學(xué)習(xí)橢圓方程時，學(xué)生不僅要理解標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，明晰半軸長度、焦點(diǎn)、離心率等參數(shù)的幾何意義，還要通過運(yùn)算實(shí)踐，掌握由已知條件推導(dǎo)橢圓方程的方法，進(jìn)而運(yùn)用知識解決實(shí)際問題[2].以下選取一道典型例題，通過分析與解答，具體展現(xiàn)概念教學(xué)與運(yùn)算技能相結(jié)合的教學(xué)過程.

例1 橢圓 的左焦點(diǎn)為F₁ ，頂點(diǎn) A 為橢圓的左頂點(diǎn)， B 為橢圓的下頂點(diǎn)，橢圓的離心率為 ?e. 已知 ΔAFB 的面積為 s ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在具體教學(xué)中，教師需要將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際運(yùn)算緊密結(jié)合，幫助學(xué)生理解橢圓的核心定義和基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成方程的推導(dǎo).

教師首先通過圖形展示橢圓的幾何意義，強(qiáng)調(diào)橢圓是平面上所有點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和是一個定值.同時，通過具體圖形引導(dǎo)學(xué)生理解焦點(diǎn) F_?1（-c，0），F(xiàn)_?2（c，0） 的位置關(guān)系以及橢圓長軸、短軸的幾何意義，分別定義其長度為 2a 和 2b. 接著，教師講解橢圓的離心率 ，并解釋離心率如何反映橢圓的“扁平程度”.此時，學(xué)生需明確 c²=a² -b² 的推導(dǎo)過程，這是進(jìn)一步運(yùn)算的關(guān)鍵.

在指導(dǎo)運(yùn)算過程中，教師以已知條件為出發(fā)點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生逐步完成運(yùn)算.

已知條件：橢圓的左頂點(diǎn)為 A（a，0） ，下頂點(diǎn)為B（0，b） ，說明長軸和短軸分別與坐標(biāo)軸重合.三角形的面積公式為S△AFB = ，離心率公式 滿足 c²=a²-b²

在運(yùn)算過程中，教師需帶領(lǐng)學(xué)生分析條件 c² =a²-b² 并結(jié)合焦點(diǎn)位置的定義，說明橢圓中 agt;b gt;0 是其成立的基本前提.此時，學(xué)生通過運(yùn)算理解如何利用 c 的表達(dá)式計(jì)算 a 和 b 的值.

隨后，教師指導(dǎo)學(xué)生將焦點(diǎn)位置以及長軸、短軸 ^°=1 ，并通過示范，帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)并理解標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)邏輯及其幾何意義.

教師最后需講解橢圓的圖形屬性，如對稱性、長短軸關(guān)系等，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解方程中 a² 和 b² 對圖形形狀的影響，并通過互動提問：如果增加 Ω_a ，圖形會發(fā)生什么變化？激發(fā)學(xué)生的直觀理解[3].

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生需要熟練運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算，對復(fù)雜方程進(jìn)行精確推導(dǎo)，確保每一步計(jì)算都符合邏輯并正確反映幾何問題的本質(zhì).通過這一過程，學(xué)生不僅能夠在代數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和熟練度方面得到顯著提升，還能夠在解決問題時形成清晰的思維路徑.

2.2 設(shè)計(jì)層次化的運(yùn)算任務(wù)

層次化的運(yùn)算任務(wù)設(shè)計(jì)是解析幾何教學(xué)中提升學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力的重要方法.通過由易到難的任務(wù)安排，學(xué)生能逐步熟悉基本公式與方法，在理解問題的過程中積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，掌握復(fù)雜問題的解決技巧.這種任務(wù)設(shè)計(jì)不僅有助于鞏固學(xué)生對解析幾何基本概念的理解，還能有效鍛煉其邏輯推理與綜合運(yùn)算能力.

層次化任務(wù)的設(shè)計(jì)應(yīng)注重三個方面：首先是任務(wù)的基礎(chǔ)性，通過簡單的代數(shù)運(yùn)算讓學(xué)生熟悉解析幾何中的基本公式，如點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式等；其次是任務(wù)的遞進(jìn)性，逐步增加運(yùn)算的難度，使學(xué)生學(xué)會應(yīng)用基本公式解決復(fù)雜的幾何問題;最后是任務(wù)的綜合性，通過結(jié)合多個知識點(diǎn)的綜合題目培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思考能力.

例2 在平面直角坐標(biāo)系 _xOy 中，已知 ，記M 的軌跡為 c

（1）求 C 的方程；

（2）設(shè)點(diǎn) T 在直線 上，過 T 的兩條直線分別交 c 于 ^A，B 兩點(diǎn)和 P，Q 兩點(diǎn)，且 TA?TB=TP ·TQ，求直線 AB 的斜率與直線 PQ 的斜率.

分析 （1）求 C 的方程

教師在講解前，首先通過繪圖展示雙曲線的定義及其幾何特性，雙曲線是平面上一種特殊的幾何圖形，滿足“到兩個焦點(diǎn)的距離差為定值”的性質(zhì).通過實(shí)例和焦點(diǎn)的直觀位置幫助學(xué)生理解雙曲線方程與圓錐曲線其他形式（如橢圓、拋物線）的區(qū)別在于，其涉及“差”而非“和”定義中涉及的關(guān)鍵元素，如焦點(diǎn)位置、焦距、差的固定值，與圖形的長軸、短軸存在特定關(guān)系.

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：給出已知條件 ，0）， ，并通過畫圖指出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)位置.結(jié)合雙曲線定義，將數(shù)學(xué)表達(dá)式 ∣MF₁-MF₂∣ =2 通過代數(shù)運(yùn)算與幾何性質(zhì)相互結(jié)合，揭示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程源于雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離關(guān)系.

學(xué)生參與運(yùn)算：設(shè)點(diǎn) M（x，y） 到兩個焦點(diǎn)的距離分別為 d_?1 和 ， d₂ ，代入雙曲線的定義： ∣d₁-d₂∣ =2. 然后化簡方程，運(yùn)用代數(shù)技巧將公式平方展開，逐步化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式：

在此過程中教師補(bǔ)充講解，強(qiáng)調(diào)平方展開過程中的運(yùn)算細(xì)節(jié)，例如，如何避免遺漏常數(shù)項(xiàng)，如何對稱性檢查結(jié)果.對于最終的標(biāo)準(zhǔn)方程x ，幫助學(xué)生明確 a²=1，b²=16 ，并通過 檢查結(jié)果的正確性.

（2）求直線 AB 和直線 PQ 的斜率

教學(xué)重點(diǎn)是分步指導(dǎo)與重點(diǎn)突破，在求解斜率時，教師結(jié)合例題指導(dǎo)學(xué)生逐步從條件出發(fā)，建立點(diǎn)與直線的關(guān)系，并掌握復(fù)雜方程的推導(dǎo)方法

教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件：點(diǎn) 在直線 上，說明點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定，而縱坐標(biāo) χ_t 可變；直線交雙曲線 C 于點(diǎn) ^A，B 和點(diǎn) P，Q ，其滿足關(guān)系TA?TB=TP?TQ. 教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生理解這一條件是對點(diǎn)到直線距離的限制，體現(xiàn)了雙曲線與幾何約束條件的結(jié)合.

建立直線方程：設(shè)點(diǎn) T 經(jīng)過的直線斜率為 k ，則直線方程為 ，即 教師帶領(lǐng)學(xué)生將其代入雙曲線方程，得到關(guān)于 x 的二次方程： （2

求解交點(diǎn)坐標(biāo)：教師分步驟講解如何解二次方程，求得直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) A（x₁，y₁），B（x₂， （204y₂ ）及 P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄） .學(xué)生練習(xí)代人公式并核對計(jì)算結(jié)果.

計(jì)算斜率：教師帶領(lǐng)學(xué)生寫出直線 AB 的斜率公式 并類比計(jì)算 PQ 的斜率公式

重點(diǎn)講解環(huán)節(jié)：教師指出在代數(shù)運(yùn)算過程中，檢查 TA?TB=TP?TQ 的約束條件如何影響解的唯一性，通過實(shí)際計(jì)算驗(yàn)證斜率結(jié)果的合理性，并分析其幾何意義.

通過本例題的教學(xué)，教師不僅幫助學(xué)生解決了具體的雙曲線問題，更重要的是培養(yǎng)了他們在復(fù)雜代數(shù)方程中的邏輯推理能力和運(yùn)算技巧.在教學(xué)過程中，教師結(jié)合圖形直觀演示和推導(dǎo)公式，將雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)表達(dá)緊密聯(lián)系起來，既讓學(xué)生理解了雙曲線方程的理論背景，又通過逐步展開的運(yùn)算環(huán)節(jié)強(qiáng)化了他們的計(jì)算能力.

3 結(jié)束語

代數(shù)運(yùn)算能力的提升不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與綜合解題能力的關(guān)鍵路徑.在解析幾何教學(xué)中，教師將幾何概念與代數(shù)方法深度融合，既能幫助學(xué)生直觀把握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，又能通過分層任務(wù)設(shè)計(jì)，強(qiáng)化其對數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)化與運(yùn)用能力.這種教學(xué)模式跳出了單純的公式記憶與機(jī)械運(yùn)算局限，使學(xué)生能在復(fù)雜情境中靈活運(yùn)用知識，充分彰顯了數(shù)學(xué)教育在綜合素質(zhì)培養(yǎng)方面的獨(dú)特價值.幾何與代數(shù)的深度結(jié)合，還能啟發(fā)學(xué)生追求數(shù)學(xué)思維的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性，為其后續(xù)高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及跨學(xué)科應(yīng)用筑牢根基.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李慧嬌]