高中數(shù)學(xué)解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想生成過程探析

解析幾何是連接代數(shù)與幾何的橋梁，強(qiáng)調(diào)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，反之亦然.數(shù)形結(jié)合思想能為抽象的代數(shù)表達(dá)賦予直觀的幾何意義，還能為復(fù)雜的幾何關(guān)系提供精確的代數(shù)工具.近年來，數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題表面上是求解曲線交點(diǎn)或最值問題，實(shí)則隱含對(duì)數(shù)形轉(zhuǎn)換能力的深度檢驗(yàn).這類題目往往需要考生在精確計(jì)算與幾何直觀之間靈活切換，既不能脫離圖形空談代數(shù)，也不能忽視代數(shù)推導(dǎo)而僅憑直觀臆斷.唯有掌握“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)與“形”的直觀，才能把握解析幾何的精髓.

1原題呈現(xiàn)

如圖1所示，已知橢圓 C ，其左焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) P 為橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn).

（1）以 FP 為邊作正方形 FPAB ，其中頂點(diǎn) F ，P，A，B 按逆時(shí)針方向排列.當(dāng)點(diǎn) P 在橢圓上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，求動(dòng)點(diǎn) B 的軌跡方程.

（2）設(shè) Q（3，2） 為橢圓外一點(diǎn)，求 |PQ|+|PF| 的 取值范圍.

解析初次接觸這道橢圓綜合題時(shí)，筆者的第一反應(yīng)是遵循典型的解析幾何解題模式：“設(shè)點(diǎn)一列方程—代數(shù)運(yùn)算”.例如，第（1）問通過坐標(biāo)變換將正方形構(gòu)造轉(zhuǎn)化為向量旋轉(zhuǎn)，再借助橢圓參數(shù)方程計(jì)算點(diǎn) B 的軌跡方程；第（2）問則需聯(lián)立距離公式，結(jié)合橢圓定義求極值.這一解題方式雖邏輯嚴(yán)密，但計(jì)算量龐大.而轉(zhuǎn)換視角，從幾何變換的角度重新審視問題，發(fā)現(xiàn)正方形構(gòu)造的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，解題路徑頓時(shí)豁然開朗.

（1）許多同學(xué)會(huì)本能地采用純代數(shù)方法，設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 （x，y） ，通過向量旋轉(zhuǎn)公式計(jì)算點(diǎn) B 的坐標(biāo)，再代入橢圓方程消參.

由于旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)表達(dá)式較為復(fù)雜，消元過程比較繁瑣，極易在運(yùn)算時(shí)迷失方向.轉(zhuǎn)而從幾何角度思考.

由于 F 是固定點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且四邊形FPAB是正方形，即點(diǎn) B 可以看作是點(diǎn) P 繞 F 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得到的點(diǎn)（如圖2）.

因此，新中心 ω^′ 的坐標(biāo)是 ：

由于旋轉(zhuǎn) 90^° 后，長(zhǎng)短軸互換，故新的橢圓方程為 ，即點(diǎn) B 的軌跡方程.整個(gè)過程充分體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的思想，

（2）設(shè)右焦點(diǎn) ，根據(jù)橢圓的定義有∣PF∣+∣PE∣=6， （2

則 ∣PQ∣+∣PF∣=∣PQ∣+6-∣PE∣

=6+（∣PQ∣-∣PE∣）.

根據(jù)三角形不等式，有 ∣PQ∣-∣PE∣?∣QE∣.

其中

當(dāng)點(diǎn) P 為 QE 的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得最大值.最小值同理可求，最終得到 |PQ|+|PF| 的取值范圍是 ，如圖3所示.

2 總結(jié)歸納

這個(gè)解題過程生動(dòng)展示了數(shù)形結(jié)合思想的生成軌跡，即先通過幾何觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵特征（旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、橢圓定義），然后運(yùn)用代數(shù)工具精確計(jì)算（距離公式、不等式），最后再回到幾何圖形驗(yàn)證結(jié)果的合理性.在這個(gè)過程中，幾何直觀提供了思考方向，代數(shù)運(yùn)算保證了結(jié)果的準(zhǔn)確性，二者相輔相成，構(gòu)成完整的解題思維.通過詳細(xì)解析本道競(jìng)賽題，可以看到數(shù)形結(jié)合不是簡(jiǎn)單的“看圖說話”，而是一個(gè)有機(jī)的思維過程：一是幾何認(rèn)知階段，借助圖形觀察建立空間直覺；二是代數(shù)表達(dá)階段，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言；三是整合驗(yàn)證階段，在數(shù)形互證中完善認(rèn)知.學(xué)生在平時(shí)練習(xí)中要勤于畫圖，借助圖形理解題意，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的幾何性質(zhì)，并在解題時(shí)主動(dòng)思考“這個(gè)問題有沒有幾何意義、能不能用圖形來簡(jiǎn)化計(jì)算”，培養(yǎng)“見數(shù)思形，見形想數(shù)”的思維習(xí)慣.

3結(jié)語(yǔ)

通過本題的詳細(xì)解析，深刻體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的重要性.幾何直觀為解題提供方向，代數(shù)運(yùn)算確保結(jié)果準(zhǔn)確，二者相輔相成.學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)注重培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，勤于畫圖，熟練掌握幾何性質(zhì)，并主動(dòng)思考幾何意義，以簡(jiǎn)化計(jì)算.這種思維習(xí)慣的養(yǎng)成，不僅能提升解題效率，更能幫助學(xué)生深入理解解析幾何的精髓，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]周明亮.高中數(shù)學(xué)解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想生成過程探析—由一道競(jìng)賽試題引發(fā)的思考J」.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，18（12）：25—27.

[2]王飛燕.發(fā)展核心素養(yǎng)植根課堂教學(xué)——以一節(jié)解析幾何習(xí)題課的教學(xué)為例[J」.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2021（28）：51—53.

[3]王秀奎.運(yùn)用“問題導(dǎo)學(xué)”提升核心素養(yǎng)——以“解析幾何斜率問題”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（27）：7—8.

[4]王飛燕.談“三新”背景下數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升以解析幾何的習(xí)題課教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（4）：44—46+50.

[5]張俊.指向關(guān)鍵能力提升講題內(nèi)涵 以一道解析幾何題求解教學(xué)為例[J]中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2024（8）：14-17.

[6]隋海波，數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用研究[J].數(shù)理天地（高中版），2025（3）：111—113.