一道2024年北京大學(xué)暑假學(xué)堂數(shù)學(xué)試題的探究

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0033-03

2024年北京大學(xué)暑假學(xué)堂數(shù)學(xué)試題的考查內(nèi)容比較豐富，涵蓋函數(shù)與方程、不等式、數(shù)論、平面幾何、排列組合等，對(duì)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力進(jìn)行了全面而深入的考查.試題的總體難度介于全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽和賽區(qū)決賽一試之間，其中第1題是一道有限制條件的三元最值問(wèn)題，該題簡(jiǎn)潔且內(nèi)涵豐富，很有新意.本文呈現(xiàn)該試題解法，并對(duì)試題進(jìn)行變式與拓展探究，供讀者參考.

1題目呈現(xiàn)與解答

題目 （2024年北京大學(xué)暑假學(xué)堂數(shù)學(xué)試題第1題）已知正實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 a+b+c=1 ，求 的最大值.

解法1 由均值不等式，得

于是

又由 可得 從而，有 （204號(hào)

當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.同理，得 （204號(hào)故

所以當(dāng) 時(shí)

的最大值為解法2 由均值不等式，得

同理

結(jié)合權(quán)方和不等式，得

所以當(dāng) 時(shí) 的最大值為

解法3 設(shè) +λ（a+b+c-1） ，則 則 于是 a=b=c ，結(jié)合 a+b+c=1 ，解得 從而有 所以當(dāng) 時(shí) 的最大值為

解法4 先證：當(dāng) x∈（0，1] 時(shí)， 因?yàn)? ，所以 當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.

由 ^{a，b，c} 是正實(shí)數(shù)，且 a+b+c=1 ，可得 a∈ （0，1] ，b∈（0，1]，c∈（0，1] 于是，可得 （204號(hào)所以 所以當(dāng) 時(shí) 的最大值為

評(píng)注解法4的解題思路是切線放縮：設(shè) f（x） 故 f（x） 在（0，1]上是上凸函數(shù)，且 從而 f（x） 雞在難 處的切線為 所以恒有 切線放縮是解答與凸函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的常用做法，解法巧妙、自然[1]

2 試題的變式

變式 已知非負(fù)實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 a+b+c=1 ， 求 的取值范圍.

解析由 ^{a，b，c} 是非負(fù)實(shí)數(shù)，且 a+b+c=1 ，可得 a∈[0，1]，b∈[0，1]，c∈[0，1]，

先證：當(dāng) x∈[0，1] 時(shí) 因?yàn)? 1，得證，當(dāng) x=0 或 x=1 時(shí)，等號(hào)成立.

從而，可得

故當(dāng) ?a，b，c 中有兩個(gè)為0，且另一個(gè)為1時(shí)， 的最小值為 結(jié)合原題，可知 的最大值為

所以 的取值范圍為

3試題的拓展

拓展1 已知正實(shí)數(shù) ?a，b，c 滿足 a+b+c=1 ， 求 的最小值.

解析先證：當(dāng) x∈（0，1] 時(shí) 因?yàn)? 所以 當(dāng)x 時(shí)，等號(hào)

成立.由 ^a，b，c 是正實(shí)數(shù)，且 a+b+c=1 ，可得 a∈

（0，1] ，b∈（0，1]，c∈（0，1]. （2所以 所以

所以當(dāng) 時(shí) 的最小值為

拓展2 已知非負(fù)實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 a+b+c μ=1Λ ，求 的取值范圍.

解析由 ^{a，b，c} 是非負(fù)實(shí)數(shù)，且 a+b+c=1 ，可得 a∈[0，1]，b∈[0，1]，c∈[0，1].

由權(quán)方和不等式，可得 先證：當(dāng) x∈[0，1] 時(shí) 因?yàn)? ，所以 ，當(dāng) x=0 或 x=1 時(shí)，等號(hào)成立.所以 當(dāng) a=1，b=c=0 時(shí)，等號(hào)成立.所以 的取值范圍為

4 結(jié)束語(yǔ)

學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題.在解題過(guò)程中，我們要聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真思考，善于轉(zhuǎn)化條件，從不同思維角度探尋多種解題方法，積極嘗試一題多解.同時(shí)，數(shù)學(xué)試題靈活多變，恰當(dāng)?shù)脑囶}變式與拓展有助于深化理解，對(duì)強(qiáng)化解題思想和方法具有積極作用.因此，我們要重視題目的變式訓(xùn)練，注重總結(jié)與反思，積累并完善解題方法.如此，便能串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)，拓寬解題思路，提升自身的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1］黃俊峰.例談切線放縮法在函數(shù)不等式證明中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（04）：45-46.