基于同構(gòu)法的導(dǎo)數(shù)不等式解題策略探究

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào):1008-0333（(2025)16-0030-03

同構(gòu)一般表示結(jié)構(gòu)或形式相同.在處理導(dǎo)數(shù)壓軸問題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一類特定題目，使用同構(gòu)法能夠高效解決.具體而言，在解答這類導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，通過變形將不等式兩邊構(gòu)造成具有相同結(jié)構(gòu)的代數(shù)式，隨后結(jié)合對(duì)應(yīng)同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性，往往可簡化不等式，進(jìn)而攻克壓軸題.這種通過構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)、利用函數(shù)性質(zhì)求解的解題思想，便是“同構(gòu)法”.

1方法模型建構(gòu)

1. 1 核心概念界定

定義1 (同構(gòu)法)將不等式 f(x)≥g(x) 通過代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為 h[u(x)]?h[v(x)] ，其中 h(t) 為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).通過比較 u(x) 與 v(x) 的大小關(guān)系求解原問題

定理1 （結(jié)構(gòu)映射定理[1]）若存在嚴(yán)格單調(diào)函數(shù) h(t) 使得 f(x)=h[u(x)]，g(x)=h[v(x)] 則原不等式等價(jià)于：當(dāng) h(t) 單調(diào)遞增時(shí)， u(x)? v(x) ；當(dāng) h(t) 單調(diào)遞減時(shí)， u(x)?v(x)

1. 2 操作流程圖解

該流程圖系統(tǒng)呈現(xiàn)了用同構(gòu)法解決一類導(dǎo)數(shù)不等式壓軸題的核心步驟(如圖1).

2 典型例題剖析

例1（指對(duì)跨階型)已知函數(shù) +1)+(x+1)²，g(x)=e^2x+ax，a∈R. 若對(duì)任意的x?0，g(x)?f(x) 恒成立，求實(shí)數(shù) Δ_a 的取值范圍.

解法1設(shè) φ(x)=g(x)-f(x)=e^2x+ax -aln(x+1)-(x+1)²，x∈[0，+∞) ，則 φ^′(x)

收稿日期：2025-03-05

作者簡介：周仕敏，碩士，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

① 當(dāng) a?0 時(shí)， φ^′′(x)?0 ，則 φ^′(x) 在 x∈[0 +∞) 上單調(diào)遞增.所以 φ^′(x)?φ^′(0)=0. 則 φ(x) 在 x∈[0，+∞) 上單調(diào)遞增.所以 φ(x)?φ(0) 所以有 g(x)?f(x)

② 當(dāng) a<0 時(shí)， φ^′′′(x)?0 ，則 φ^′′(x) 在 x∈[0 +∞) )上單調(diào)遞增.所以 φ^′′(x)?φ^′′(0)=a+2

若 a+2≥0 ，即 a?-2 則 φ^′′(x)?0. 則 φ^′(x) 在 x∈[0，+∞) 上單調(diào)遞增.所以 φ^′(x)?φ^′(0) 則 φ(x) 在 x∈[0，+∞) 上單調(diào)遞增.所以φ(x)?φ(0)=0. 所以有 g(x)?f(x)

若 a+2<0 ，即 a<-2 則 φ^′′(0)<0 中

又 ，則存在 n∈(0，+∞) ，使得 φ^′′(n) =0 ，且 φ^′(x) 在 (0，n) 上單調(diào)遞減， φ^′(x) 在( Ω_n ，+∞. )上單調(diào)遞增.又由于 φ^′(0)=0 ，所以 x∈(0， n 時(shí)， φ^′(x)<0 ，則 φ(x) 在 (0，n) 上單調(diào)遞減.所以φ(x)<φ(0)=0 ，不滿足題意，舍去.

綜上所述， a?-2

分析上述解法基于分類討論的數(shù)學(xué)思想研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)借助“端點(diǎn)效應(yīng)”的操作技巧簡化討論過程，進(jìn)而解決問題.然而，這種傳統(tǒng)解法存在以下缺陷：其一，需進(jìn)行3次求導(dǎo)以驗(yàn)證端點(diǎn)效應(yīng)；其二，存在臨界點(diǎn)失效的風(fēng)險(xiǎn);其三，分類討論需書寫冗長的邏輯鏈

解法2由不等式 （號(hào)+(x+1)² ，變形得 發(fā)現(xiàn)同構(gòu)函數(shù)為 ，原不等式等價(jià)于

又可證 ，原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為當(dāng) x≥0 時(shí)， 單調(diào)遞增，可輕松

得到 a?-2

分析解法2通過結(jié)構(gòu)觀察、指對(duì)轉(zhuǎn)換、同構(gòu)構(gòu)造、單調(diào)性判定、參數(shù)求解這五步操作解決問題.與解法1相比，存在明顯優(yōu)勢.

例2 （對(duì)稱結(jié)構(gòu)型）若 2^x-2^y<3^-x-3^-y ，則 ）.

A.

解析將不等式變形，使得兩邊各含一個(gè)變量2^x-3^-x<2^y-3^-y ，發(fā)現(xiàn)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相同，且都為“ 2^x-3^-x ”的形式，故找到這個(gè)函數(shù)的原型，即同構(gòu)函數(shù) f(x)=2^x-3^-x .判斷該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，化簡原不等式為 x

從這兩個(gè)例題不難看出其共性：先通過變形將原不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)同構(gòu)式的不等式，再將原問題轉(zhuǎn)化為研究對(duì)應(yīng)同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性，從而簡化問題這正是利用同構(gòu)法解決不等式問題的核心要點(diǎn).那么，在何種情形下適用“同構(gòu)法”？又該如何構(gòu)造“同構(gòu)”函數(shù)？接下來，筆者將以相關(guān)題目為載體，深入解析“同構(gòu)法”的原理、應(yīng)用策略及拓展方向

例3設(shè) a，b 都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若 ，則（ ）.

A.ab>eB.b>e^a+1C.aba+1

分析將不等式變形，使得兩邊各含一個(gè)變量，即 ，進(jìn)一步變形，得 不難發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)函數(shù) f(x)=x?e^x，x>0 ，原不等式等價(jià)于 .由該函數(shù)單調(diào)遞增，得到 a< （204號(hào) 即 e^a+1

例4設(shè)函數(shù) f(x)=x^a+1e^x+alnx ，若對(duì)任意的x?1，f(x)?0 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是

分析 由不等式 x^a+1e^x+alnx≥0 ，變形得到 xe^x 即 xe^x?x^-alnx^-a=lnx^-a?e^lnx- .構(gòu)造同構(gòu)函數(shù) g(x)=x?e^x(x?1) ，原不等式等價(jià)于 g(x) .由該函數(shù)單調(diào)遞增，得到 對(duì)任意的 x?1 恒成立，得到答案 [?-e，+∞)

例5已知函數(shù) f(x)=(x-1)e^x+alnx(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若 ?x∈(1，+∞)，f(x)>0 ，求實(shí)數(shù) Ψ_a 的取值范圍.

分析 （204號(hào) (x-1)e^x+alnx=xe^x-e^x+alnx>0 等價(jià)于 e^x+lnx+a(x+lnx)>e^x+ax.

發(fā)現(xiàn)同構(gòu)函數(shù)為 g(x)=e^x+ax ，上述不等式等價(jià)于 .又因?yàn)?x>1，x+lnx>x ，所以 g(x) 在 (1，+∞) 為單調(diào)遞增函數(shù)，得到實(shí)數(shù) Ω_a 的取值范圍為 [?-e，+∞)

例6 已知函數(shù) f(x)=ae^x-1-lnx+lna. 若 f(x)≥1 ，求實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍.

分析 等價(jià)于 發(fā)現(xiàn)同構(gòu)函數(shù)為 g(x)=e^x+x ，上述不等式等價(jià)于

因?yàn)?g(x) 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式又等價(jià)于 即 對(duì)任意的 x> 0恒成立.得到實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 [1，+∞)

3 方法應(yīng)用推廣

3.1 變形技巧體系

以上不等式恒成立的問題有一個(gè)共性，就是 e^x 與 成對(duì)出現(xiàn)，由指對(duì)數(shù)的互化關(guān)系，不難理解：同構(gòu)式源于指對(duì)跨階的問題，如 xe^x 與 屬于跨階函數(shù)，可通過指對(duì)跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，即

結(jié)合前面典型例題，歸納如下，見表1.

3.2 易錯(cuò)點(diǎn)預(yù)警

（1)偽同構(gòu)陷阱：變形后函數(shù) h(t) 需單調(diào)；(2)定義域偏移：特別注意對(duì)數(shù)函數(shù) —32—

限制；

(3)臨界值檢驗(yàn)：參數(shù)邊界值需單獨(dú)驗(yàn)證是否 滿足原不等式.

通過上述對(duì)“同構(gòu)法”原理、應(yīng)用及拓展的解析，其本質(zhì)已不再晦澀難懂.在上述三個(gè)探究問題的實(shí)踐中，我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，對(duì)不等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形是成功構(gòu)建同構(gòu)函數(shù)的關(guān)鍵，該方法的難點(diǎn)恰恰在于變形環(huán)節(jié)，需要學(xué)習(xí)者通過大量練習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，才能熟練掌握

4 結(jié)束語

在掌握同構(gòu)法解題的過程中，建議通過階梯式訓(xùn)練，由顯性同構(gòu)逐步過渡到隱性同構(gòu)2，搭建思維進(jìn)階的橋梁.在此基礎(chǔ)上，教師可開展典型錯(cuò)例的對(duì)比教學(xué)，重點(diǎn)剖析忽略單調(diào)性驗(yàn)證這一共性誤區(qū)，幫助學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}規(guī)范.當(dāng)學(xué)生熟練掌握同構(gòu)法的核心要義后，可引導(dǎo)其嘗試運(yùn)用同構(gòu)思想進(jìn)行自主命題.在命題實(shí)踐環(huán)節(jié)中，指導(dǎo)學(xué)生通過系數(shù)調(diào)整等方式自主構(gòu)造同構(gòu)式題目，既能深化其對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)本質(zhì)的理解，又能有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，進(jìn)一步夯實(shí)方法掌握與思維提升的雙重目標(biāo)

參考文獻(xiàn)：

[1］李尚志.導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題規(guī)律與破解策略[M].北京：高等教育出版社，2022.

[2］符曉燕.關(guān)于高中數(shù)學(xué)同構(gòu)問題的思考[J].數(shù)學(xué)之友，2021(04）:80，83.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]