巧用函數(shù)同構(gòu)，破解指對(duì)難題

一、函數(shù)同構(gòu)的背景

函數(shù)同構(gòu)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心內(nèi)容，其概念描述了兩個(gè)不同函數(shù)之間存在的一種特定的映射關(guān)系，這種關(guān)系指的是兩個(gè)函數(shù)在形狀和性質(zhì)上具有高度的一致性。這種映射關(guān)系通常是通過一種特定的線性變換一—同構(gòu)變換來實(shí)現(xiàn)的。這種變換允許我們將一個(gè)函數(shù)的形式轉(zhuǎn)換為另一個(gè)函數(shù)，同時(shí)保持其關(guān)鍵的數(shù)學(xué)特性不變。近幾年的高考題均考查到了運(yùn)用函數(shù)同構(gòu)來解決問題，所以函數(shù)同構(gòu)是高考熱點(diǎn)。

學(xué)生在解決指對(duì)問題的過程中往往會(huì)遇到以下困難：

（1）遇到指對(duì)同時(shí)存在的問題無從下手，只能分類討論利用最值分析法解決，由于存在 e^x 和 lnx 求導(dǎo)過程中可能消不掉一些項(xiàng)，所以計(jì)算量比較大，過程繁雜；

（2）能想到利用函數(shù)同構(gòu)簡(jiǎn)化運(yùn)算，但是同構(gòu)的方法不熟練，只能解決較為簡(jiǎn)單明顯的同構(gòu)問題，對(duì)于較為復(fù)雜的、隱蔽的不會(huì)或者不能準(zhǔn)確進(jìn)行同構(gòu)；

（3）具體解決問題的方向不明確，不確定是用同構(gòu)放縮還是簡(jiǎn)化運(yùn)算。

利用指對(duì)同構(gòu)解決指對(duì)函數(shù)問題，這一策略在實(shí)踐中被證明是高度有效的。其有效性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，通過同構(gòu)轉(zhuǎn)換，原本煩瑣的計(jì)算步驟變得直觀且簡(jiǎn)潔；二是降低了問題的難度，有些指對(duì)函數(shù)問題在原始形式下難以入手，經(jīng)過同構(gòu)處理后，轉(zhuǎn)化為更易于解決的形式；三是提高了解題效率，通過減少計(jì)算量和降低難度，自然能夠更快地得到問題的答案。

2023年新高考Ⅰ卷的第19題就可以運(yùn)用函數(shù)同構(gòu)的方法解決，下面以該題為例進(jìn)行分析，探尋函數(shù)同構(gòu)的一般方法。

例題已知函數(shù) f（x）=a（e^x+a）-x ，證明：當(dāng) agt;0 時(shí)， ? 。

問題分析： f（x）=a（e^x+a）-x 中 ae^x 可轉(zhuǎn)化為 e^x+lnα ，其中內(nèi)層函數(shù)為 ? ，不等式可轉(zhuǎn)化為? ，內(nèi)外層形式同構(gòu)則需要再出現(xiàn) ? 這種結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行變形，則繼續(xù)轉(zhuǎn)化為 ? ，通過觀察? 移到左邊一個(gè)1左右同構(gòu)繼續(xù)轉(zhuǎn)化為 e^x+lna-（x+ ? 因 e^x+lna-（x+lna+ 1）?0 ，則 ? ? ，得證。

二、基礎(chǔ)知識(shí)

一般較為容易的函數(shù)同構(gòu)問題可以直接觀察，指對(duì)同構(gòu)問題則需要掌握以下幾個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)：

1.對(duì)數(shù)恒等式：當(dāng) ?gt;0 且 a≠1 時(shí)， ? 和log_aa^b=b

2.結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得到下述結(jié)論（其中 xgt;0 ）? ? ?

3.（1）積型：

? 可化為 ? ，構(gòu)造函數(shù)

f（x）=xe^x ? 可化為 ? ，構(gòu)造函數(shù)

? ? 兩邊取對(duì)數(shù)可化為 ?

? ，構(gòu)造函數(shù) ?

（2）商型 ? 同積型進(jìn)行同構(gòu)（3）和差型： ? 同積型進(jìn)行同構(gòu)

4.通過四則運(yùn)算進(jìn)行添項(xiàng)、拆分和配湊變形為同構(gòu)式。

對(duì)一個(gè)高中導(dǎo)數(shù)題進(jìn)行函數(shù)同構(gòu)，關(guān)鍵在于：觀察函數(shù)的形式是否相似或可轉(zhuǎn)化，如互為反函數(shù)，存在運(yùn)算關(guān)系或者變量可替換的函數(shù)形式；分析題目目標(biāo)是否適合通過同構(gòu)簡(jiǎn)化；構(gòu)造合適的函數(shù)并驗(yàn)證其性質(zhì)。

有些題目的條件較為隱蔽，需要嘗試進(jìn)行同構(gòu)，進(jìn)而通過同構(gòu)變換，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)化為更直觀、更易于處理的形式。同構(gòu)的過程是確定內(nèi)層函數(shù)，內(nèi)層形式相近，外層同構(gòu)轉(zhuǎn)化，結(jié)合性質(zhì)簡(jiǎn)化問題，進(jìn)而解決問題。合適的同構(gòu)可大大提高解題的效率和準(zhǔn)確性。特別是在處理一些較為復(fù)雜的指對(duì)問題時(shí)，函數(shù)同構(gòu)的策略往往能夠?yàn)槲覀兇蜷_新的解題思路。下面主要針對(duì)前文例題同構(gòu)的過程進(jìn)行分析。

問題解析：當(dāng) agt;0 時(shí)，要證 ? 只需證： ? 只需證： ? 只需證： ? 令 g（x）=e^x-x-1 ，則 g^′（x）=e^x-1 g^′（x）=0，x=0 g^′（x）lt;0，xlt;0，g^′（x）gt;0，xgt;0 g（x） 在 （-∞，0） 上單調(diào)遞減，在 （0，+∞ 上單調(diào)遞增? 令 ? ，則 ?

? h^′（x）=0 ，則 _x=1 ? 在（0，1）上 h^′（x）gt;0，h（x） 單調(diào)遞增，在 （1，+∞）上 h^′（x）lt;0，h（x） 單調(diào)遞減?h（x）_max=h（1）=0，lnx?x-1 ? ，當(dāng)且僅當(dāng)a=1 時(shí)等號(hào)成立此時(shí) ?

? ? 即 ?

三、方法應(yīng)用

函數(shù)同構(gòu)在解決問題時(shí)可以展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。它能將看似復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為易于解決的形式，從而簡(jiǎn)化問題結(jié)構(gòu)，降低求解難度。這種轉(zhuǎn)化不僅保留了原問題的本質(zhì)特征，還使得我們可以利用已知的、更簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來求解。除了像2023年的高考題這樣通過放縮達(dá)到證明不等式的目的，也可以利用同構(gòu)結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例1若對(duì)任意的 ? ，恒有 a（e^ax+1）gt; ? ，則實(shí)數(shù) a 的最小值是多少？

分析：題目存在指對(duì)互為反函數(shù)的形態(tài)，嘗試運(yùn)用函數(shù)同構(gòu)解決問題，先確定內(nèi)層函數(shù)。內(nèi)層函數(shù)一般是嵌套在外層函數(shù)中，可以直接觀察，不好觀察則進(jìn)行拆分或配湊，如本題中指數(shù)部分 e^ax 中 ax 可確定為內(nèi)層函數(shù)。下一步為內(nèi)外層形式同構(gòu)，即內(nèi)層函數(shù)確定為 ax ，外層函數(shù)也要出現(xiàn) ax ，則不等式可化為 ax（e^ax+1）gt;2（x²+1）lnx ，不等式兩邊同結(jié)構(gòu)可轉(zhuǎn)化為 （e^ax+1）lnaxgt;（x²+1）lnx² 0

由對(duì)數(shù)恒等式得 （e^ax+1）lnaxgt;e^lnx2+1）lnx² ，進(jìn)而達(dá)到同構(gòu)的效果，再通過換元構(gòu)造函數(shù) F（t）= t（e^t+1） 或者 ? ，根據(jù)單調(diào)性即解決問題。

解答： Δxgt;0 ，恒有 ? 則 （e^ax+1）lnaxgt;（x²+1）lnx² 則 （e^ax+1）lnaxgt;（e^lnx2+1）lnx² （20構(gòu)造函數(shù) ? 則 f^′（t）=（t+1）^′lnt+（t+1）（lnt）^′=lnt+ ? 則 ?

當(dāng) 0′′（t）lt;0 ，即 f^′（t） 在（0，1）上單調(diào)遞減。

當(dāng) tgt;1 時(shí) f^′′（t）gt;0 ，即 f^′（t） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增。

則 f^′（t） 在 （0，+∞） 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)t=1 ，該極值點(diǎn)就是 f^′（t） 的最小值點(diǎn)。

所以 ? ，即f（t） 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增。

若使得對(duì)任意 xgt;0 ，恒有 a （e^ax+1）? ? 成立。

則需對(duì)任意 xgt;0 ，恒有 f（e^ax）?f（x²） 成立。

即對(duì)任意 xgt;0 ，恒有 e^ax?x² 成立，則 ? 在 （0，+∞） 恒成立。

? ，則 g^′（x）= ?

當(dāng) 0′（x）gt;0 ，函數(shù) g（x） 在（O，e）上單調(diào)遞增

當(dāng) xgt;e 時(shí)， g^′（x）lt;0 ，函數(shù) g（x） 在 （0，e） 上單調(diào)遞減

則 g（x） 在 （0，+∞） 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x=e ，該極值點(diǎn)就是 g（x） 的最大值點(diǎn)。

所以 ? 即 ? ，則實(shí)數(shù) Ψ_a 的最小值為 ?

本題利用函數(shù)同構(gòu)，可以將問題轉(zhuǎn)化為更易于解決的形式。這種轉(zhuǎn)化不僅降低了問題的復(fù)雜度，還為學(xué)生提供了一種全新的解題思路。2020年新高考 I 卷第21題也可以運(yùn)用函數(shù)同構(gòu)的思路來解決問題。

例2已知函數(shù) ? ，若f（x）?1 ，求 a 的取值范圍。

分析：題干中 ae^x-1 可化為 ? ，可確定 lna⁺ —1為內(nèi)層函數(shù)，則f（）≥1可轉(zhuǎn)化為elm+x-1_? ，內(nèi)外層同構(gòu)可化為 ? ? ，整體換元即可解決問題。

解答： f（x）=ae^x-1-lnx+lna=e^lna+x-1- ?

等價(jià)于 e^lna+x-1+lna+x-1?lnx+x=e^lnx+ lnx （204號(hào)

令 g（x）=e^x+x ，上述不等式等價(jià)于 g（lna⁺ ? ，顯然 g（x） 為單調(diào)遞增函數(shù)

：等價(jià)于 ? ，即 ?

令 ? ，則 ? ?

h^′（x）=0 ，則 x=1

h（x）lt;0，0

h（x）gt;0，xgt;1

在（0，1）上 h^′（x）gt;0，h（x） 單調(diào)遞增，在 （1，+∞） 上 h^′（x）lt;0，h（x） 單調(diào)遞減

通過以上案例，我們可以看到函數(shù)同構(gòu)的過程是確定內(nèi)層函數(shù)，內(nèi)層形式相近，利用拆分、配湊等手段外層同構(gòu)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解決問題。同構(gòu)可大大提高解題的效率和準(zhǔn)確性，不僅限于求解方程，還可以應(yīng)用于求解不等式、最值問題以及證明題等。通過函數(shù)同構(gòu)，我們可以更深入地理解函數(shù)之間的關(guān)系，為解決數(shù)學(xué)問題提供新的思路和方法。

四、未來展望

在未來的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，指對(duì)同構(gòu)的應(yīng)用與研究具有廣闊的空間。以下是對(duì)未來應(yīng)用與研究方向的思考：

（一）指對(duì)同構(gòu)在復(fù)雜數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

目前，我們已經(jīng)在一些基礎(chǔ)的指對(duì)函數(shù)問題中進(jìn)行了指對(duì)同構(gòu)的有效應(yīng)用。然而，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中還有許多問題更為復(fù)雜，如高階非線性方程、多元函數(shù)分析等，有必要關(guān)注指對(duì)同構(gòu)在解決這些復(fù)雜問題中的潛力和效果。

可以考慮將指對(duì)同構(gòu)的思想應(yīng)用于高階或非線性方程中，尋找簡(jiǎn)化復(fù)雜方程的新方法。例如，對(duì)于某些包含指數(shù)或?qū)?shù)項(xiàng)的高階方程，可以通過指對(duì)同構(gòu)來降低方程的階數(shù)或簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu)，從而更便于求解。

（二）指對(duì)同構(gòu)與其他數(shù)學(xué)方法的結(jié)合

數(shù)學(xué)中的許多方法都有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，將指對(duì)同構(gòu)與其他數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，可能會(huì)產(chǎn)生更強(qiáng)大的解題工具。例如，可以考慮將指對(duì)同構(gòu)與微積分、線性代數(shù)或復(fù)變函數(shù)等方法相結(jié)合，形成新的解題策略。這有助于我們發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)規(guī)律，解決更廣泛的問題。

還可以探索指對(duì)同構(gòu)在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用。對(duì)于一些計(jì)算較復(fù)雜的問題，可以通過指對(duì)同構(gòu)來簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。

（三）深人研究指對(duì)同構(gòu)的數(shù)學(xué)本質(zhì)

盡管我們已經(jīng)了解了指對(duì)同構(gòu)的基本原理和應(yīng)用方法，但對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有展開深人研究。未來，可以探討指對(duì)同構(gòu)與數(shù)學(xué)中的其他概念（如群論、拓?fù)涞龋┲g的聯(lián)系，以及它在更抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。

關(guān)于指對(duì)同構(gòu)的構(gòu)造方法和數(shù)學(xué)意義，也有待進(jìn)一步挖掘。通過深入研究這些問題，我們可以更全面地理解指對(duì)同構(gòu)的本質(zhì)，為其在更廣泛領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

（四）研究如何提升指對(duì)同構(gòu)的解題效率

在實(shí)際應(yīng)用中，我們不僅要關(guān)注方法的有效性，還要關(guān)注其效率。因此，研究如何提升指對(duì)同構(gòu)的解題效率也是一個(gè)重要方向。這包括尋找更高效的構(gòu)造方法、優(yōu)化同構(gòu)函數(shù)的選擇以及探索適用于特定問題的定制化同構(gòu)策略等。

通過這些應(yīng)用和研究的探索和實(shí)踐，我們可以進(jìn)一步拓展指對(duì)同構(gòu)的應(yīng)用范圍，提高其解題效率，為數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用做出更大的貢獻(xiàn)。

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責(zé)任編輯：丁蔚