借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)突破高中數(shù)學(xué)解題困境

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要構(gòu)成部分，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)當(dāng)作解題的常規(guī)工具之一，使其在短時(shí)間內(nèi)明確知識(shí)脈絡(luò)體系，充分借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)優(yōu)勢(shì)深入分析和研究試題，以透徹理解題意為前提找到最佳解題思路，提高他們做題的準(zhǔn)確度.

1借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)突破函數(shù)單調(diào)性試題困境

判定函數(shù)的單調(diào)性屬于高中數(shù)學(xué)中一類既基礎(chǔ)、又常見的題目，難度通常一般，不過有的函數(shù)表達(dá)式較為復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)函數(shù)套函數(shù)的情況，這時(shí)教師便可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)簡(jiǎn)化解題步驟與程序，使其借助導(dǎo)數(shù)迅速獲取新條件，精準(zhǔn)把握問題的關(guān)鍵所在，讓他們?cè)诰毩?xí)中學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判定函數(shù)的單調(diào)性，從而提高做題的效率[1].

例1 已知函數(shù) ax2+x，且a ，讓 g(x)=f(x)-ax²-ax+1 ，求函數(shù) g(x) =f(x)-ax²-ax+1 的單調(diào)區(qū)間.

解根據(jù) ，且 a∈R 能夠得到 g(x)=f(x)-ax²-ax+1 對(duì)函數(shù)g(x）進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到g'(??）=-

然后對(duì)參數(shù) a 進(jìn)行分類討論，當(dāng) a?0 時(shí)，由于 x>0 ，則 g^′(x)>0 ，也就是說函數(shù) g(x) 在區(qū)間（0，

+∞ ）內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，g'(x)=-ax2+(1-a)x+1

讓 g^′(x)=0 ，能夠得到 那么當(dāng) 時(shí)， g^′(x)>0 當(dāng) 時(shí)， g^′(x)<0 ，則函數(shù) g(x) 在 區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

在區(qū)間 單調(diào)遞減.

綜合起來，當(dāng) a?0 時(shí)，函數(shù) g(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0，+∞) ，不存在遞減區(qū)間；

當(dāng) a>0 時(shí)，函數(shù) g(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 x∈ ，單調(diào)遞減區(qū)間為

2借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)突破參數(shù)范圍類試題困境

在高中數(shù)學(xué)解題練習(xí)中，求參數(shù)范圍類試題同樣比較常見，往往伴隨著函數(shù)、方程等知識(shí)的考查，顯得較為復(fù)雜，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析題目中函數(shù)和方程之間的關(guān)系，以及方程的根受到哪些條件的影響，并讓他們結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及求極值等知識(shí)確定整體解題方案與思路，繼而讓他們順暢地完成解題2.

例2已知函數(shù) f(x)=(x²-3)e^x ，而有關(guān) x 的方程 f²(x)-mf(x)+1=0 ，剛好存在4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求正數(shù) m 的具體取值范圍.

解根據(jù) f(x)=(x²-3)e^x

能夠得到 f^′(x)=(x²+2x-3)e^x=(x+ 3)(x-1)e^x ，

讓 f^′(x)=0 求得 x=1 ，或者 x=-3 .

當(dāng) x<-3 時(shí)， f^′(x)>0 .

說明函數(shù) f(x)=(x²-3)e^x 在區(qū)間 (-∞ —3）內(nèi)單調(diào)遞增，且 f(x)>0 ，

當(dāng) -3′

(x)<0 .

說明函數(shù) f(x)=(x²-3)e^x 在區(qū)間 (-3，1) 內(nèi)

單調(diào)遞減，當(dāng) x>1 時(shí)， f^′(x)>0 ，說明函數(shù) f(x)=(x²-3)e^x 在區(qū)間 (1，+∞)

內(nèi)單調(diào)遞增，那么函數(shù) f(x) 的最大值是 最小值是 f(1)=-2e ，然后設(shè) f(x)=t ，那么方程 t²-mt+1=0 有兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根，而且其中兩個(gè)根分別位于 內(nèi)，

或者兩個(gè)根均位于 (-2e，0) 內(nèi)，讓 g(x)=t²-mt+1=0 ，由于 g(0)=1>0 ，那么 ，也就是36 ，據(jù)此能夠得到 所以 Σ_m 的取值范圍為

3借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)突破函數(shù)最值類試題困境

求最值類題目在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中普遍存在，與函數(shù)有著緊密聯(lián)系，此類試題難度通常較大，解題步驟繁瑣，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力也有著較高要求.教師可指引學(xué)生借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)重新梳理解題思路，使其通過導(dǎo)數(shù)法能夠輕松求出函數(shù)的最值，簡(jiǎn)化解題流程，減少錯(cuò)誤情況的出現(xiàn)，促使他們快速求得正確結(jié)果[3].

例3 已知函數(shù)f(x）=a-ln?? 在點(diǎn)（1，f(1) ）處的切線同 x 軸相平行.求：（1）實(shí)數(shù) α_a 的值；（2）函數(shù) f(x) 的最大值.

解（1）根據(jù) 得到 讓 f^′(1)=0 ，即為 0由此求得 a=1 (2)讓 f^′(x)=0 ，則 ，

據(jù)此求得 x=1 .即 f(x) 的最大值是 f(1)=1 所以函數(shù) f(x) 的最大值是1.

4借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)突破不等式類試題的困境

不等式問題屬于高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的一類試題，通常和函數(shù)相結(jié)合，在高考中也占據(jù)著一定的分值比例.在平時(shí)的不等式試題解題訓(xùn)練中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)知識(shí)在處理此類試題時(shí)的作用和價(jià)值，使其依托導(dǎo)數(shù)迅速確定函數(shù)的性質(zhì)，精準(zhǔn)判斷出函數(shù)的狀態(tài)，從而獲取到更多的信息，完成不等式試題的解答，擺脫解題困境.

例4 當(dāng) x>-1 時(shí)，請(qǐng)證明 1)?x ：詳解 根據(jù)題意可設(shè)函數(shù) 則 （由于當(dāng) -1′

(x)>0 ，當(dāng) x>0 時(shí)， f^′(x)<0 那么函數(shù) 在區(qū)間（1，+∞ ）內(nèi)的最大值為 f(0)=0 ，則 f(x)?f(0)=0 ，也就是 即為 ：然后令函數(shù) 則 （20由于當(dāng)- -1′(x)<0 ：當(dāng) x>0 時(shí)， g^′(x)>0 ，故函數(shù) g(x) 在區(qū)間 (-1，+∞) ）內(nèi)的最小值是g(0)=0 ，則 g(x)?g(0)=0 ，即 即為 1當(dāng) x>-1 時(shí)， 成立.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭娟娟.導(dǎo)數(shù)思維在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐[J].數(shù)理天地（高中版），2024(17）：24—25.

[2]楊培斌.淺論如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)工具指導(dǎo)學(xué)生解題[J].考試周刊，2024（26)：65-68.

[3]趙曉燕.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題新高考題型及解題方法研究[J].數(shù)理化解題研究，2024(4)：10-12.