用構(gòu)造函數(shù)法解比較大小問題

1引言

在高中數(shù)學(xué)中，比較大小問題是常見題型之一，尤其是在處理指數(shù)、對數(shù)、階乘等復(fù)雜函數(shù)形式時，直接比較往往困難重重.構(gòu)造函數(shù)法通過抽象問題特征，構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值或增長特性的分析.這種方法不僅簡化了求解過程，還提高了解題的嚴(yán)謹(jǐn)性與效率.本文將對構(gòu)造函數(shù)法進行系統(tǒng)分類，并通過典型例題剖析其在實際問題中的應(yīng)用.

2 實際問題中的應(yīng)用

2.1 移項構(gòu)造法

移項構(gòu)造法通過將比較對象整理為函數(shù)形式，利用移項構(gòu)造單變量函數(shù)，通過分析單調(diào)性或極值判斷大小關(guān)系.這種方法適用于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的比較，尤其在快速確定變量大小關(guān)系時非常高效.

例1已知 agt;bgt;cgt;dgt;0 ，當(dāng) xgt;0 時，比較 a^x-b^x 和 c^x-d^x 的大小.

解析解這類題目第一個步驟就是移項構(gòu)造函數(shù)： f（x）=a^x-b^x-（c^x-d^x） .第二步則需要求導(dǎo)，分析函數(shù)性質(zhì)

根據(jù) agt;bgt;cgt;d 且 得 f^′（x）gt;0. 因此， f（x） 在 xgt;0 時為增函數(shù).結(jié)合x=0 時 f（0）=0 ，得 f（x）gt;0 ，即 a^x-b^xgt;c^x-d^x 例2 比較 2023²⁰²⁴ 和 2024²⁰²³ 的大小.

解析 同樣的，對于比較大小問題，第一步就是移項構(gòu)造函數(shù)，定義輔助函數(shù)： 0），這個函數(shù)是基于冪指數(shù)的增長特性，將復(fù)雜的冪比較問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)的分析.

第二步分析函數(shù)單調(diào)性，當(dāng) x=e ，有 f^′（e）=0 即函數(shù)在 x=e 處達到最大值.當(dāng) x 0，所以 f^′（x）gt;0 ，即 f（x） 在（O，e）上單調(diào)遞增.當(dāng) xgt;e，1-lnxlt;0 ，所以 f^′（x）lt;0 ，即 f（x） 在（e，+∞） ）上單調(diào)遞減.結(jié)論： f（x） 在 x=e 處取極值，先增后減.

接著可以比較兩個數(shù)：因 elt;2023lt;2024 ，得f（2023）gt;f（2024） ，故 進一步推出答案： 2023²⁰²⁴gt;2024²⁰²³

2.2 作差構(gòu)造法

作差構(gòu)造法通過對兩個量取差值，將大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為輔助函數(shù)的正負(fù)性分析.這種方法的核心在于研究作差函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性和極值點位置，是處理線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)大小比較的常用手段.

例3 比較 e^0.5 和 的大小.

解析 當(dāng)需要判斷 e^0.5 和 的大小關(guān)系，但是直接比較并不直觀時，可以嘗試通過作差構(gòu)造輔助函數(shù)來分析.

直接定義輔助函數(shù) ，將兩者的差轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的研究對象.這個函數(shù)的構(gòu)造來源于對 y=e^x 的觀察，即其增長特性與線性函數(shù) 有一定的差異，兩者作差比大小，將大小比較轉(zhuǎn)化為 f（x） 的正負(fù)判斷； y=e^x 是指數(shù)函數(shù)， 是一次函數(shù)，單獨分析它們的大小很難，但將差值轉(zhuǎn)換成函數(shù)后，就能用導(dǎo)數(shù)研究f（x） 的單調(diào)性、極值，系統(tǒng)性解決問題.

研究 f（x） 的性質(zhì)可以幫助判斷差值的正負(fù).先求導(dǎo)數(shù)： f^′（x）=e^x-2. ，可知：當(dāng) 時，f^′（x）gt;0 ，即 f（x） 單調(diào)遞增；當(dāng) x′（x）lt;0 ，即 f（x） 單調(diào)遞減.函數(shù) f（x） 的極小值出現(xiàn)在 處，計算極小值： f（ln2）=e^ln2- 由于 ≈0.693 ，得 f（ln2）≈-0.386. 接著驗證當(dāng) x=0.5 4 估算 1.648（注：直接數(shù)值對比是“結(jié)果驗證”，函數(shù)法推導(dǎo)是“原理證明”，數(shù)學(xué)分析題里若要“論證大小關(guān)系”，函數(shù)法推導(dǎo)更嚴(yán)謹(jǐn)、更具普適性，所以文中優(yōu)先用函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)，而非單純依賴估算值對比.），得f（0.5）=1.648-2.5=-0.852. 說明在 x=0.5 時， f（x）lt;0 因此，

·

例4設(shè)函數(shù)

（1）若求實數(shù) a 的值；

（2）分析函數(shù) f（x） 的單調(diào)區(qū)間.

解析 （1）由題意， f（x） 的導(dǎo)數(shù)為： f^′（x）=a 切線的斜率等于導(dǎo)數(shù)值，因此在 x=e 時 又知 ，代人可得 （2）討論函數(shù)的單調(diào)性，已知 f^′（x）=a- 令 f^′（x）=0 ，可得 解得 x 1

由導(dǎo)數(shù)符號分析：當(dāng) 時， 即f^′（x）lt;0 ，函數(shù)遞減；當(dāng) 時， 即f^′（x）gt;0 ，函數(shù)遞增.

綜上，函數(shù) f（x） 的單調(diào)性為：在區(qū)間 遞減；在區(qū)間 上遞增.

這道題的難點在于對導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合理解與應(yīng)用，尤其是將臨界點 和單調(diào)區(qū)間分段討論結(jié)合起來，這對學(xué)生的邏輯推理能力提出了一定要求.

2.3 特征抽象構(gòu)造法

特征抽象構(gòu)造法通過抽象表達式或問題的關(guān)鍵特征，構(gòu)造能夠反映增長趨勢的函數(shù).這種方法通常適用于階乘、冪函數(shù)等快速增長問題，通過對輔助函數(shù)的分析提煉出變量間的比較關(guān)系.

例5 比較 n ！和 n^′ 的大小 （n?1 .

解析問題抽象與特征分析： ?（?） 表示階乘， $n ^ { ＼dprime }$ 表示 n 的 n 次冪.兩者隨 n 增大都會快速增長，因此直接比較不易處理.可以抽象出兩者增長速率的特征，通過對比二者的對數(shù)值解決問題.定義輔助函數(shù)： ，并分析函數(shù)性質(zhì).根據(jù)階乘的性質(zhì)： 將其與 對比：當(dāng) ，且 二者相等；當(dāng) 的增長速率小于 ，即

通過數(shù)學(xué)歸納法進一步驗證：當(dāng) n=1，1！=1¹ ，成立；假設(shè) k！Δ ，證明 （k+1） ！ lt;（k+1）^k+1 ：（k+1）！=（k+1）?k！ ，根據(jù)假設(shè) k！k ，有（k+1）！lt;（k+1）?k^klt;（k+1）^k+1. 結(jié)論：對于n?1 ，總有 n！n ·

本題通過對兩種快速增長函數(shù)的比較，訓(xùn)練了學(xué)生對抽象函數(shù)的構(gòu)造與分析能力，同時強化了數(shù)學(xué)歸納法在證明中的應(yīng)用.

3結(jié)語

通過本文的分析與例題展示，可以看出構(gòu)造函數(shù)法在比較大小問題中的廣泛應(yīng)用價值.移項構(gòu)造法、作差構(gòu)造法和特征抽象構(gòu)造法各有優(yōu)勢，能夠高效解決復(fù)雜的數(shù)值比較問題.掌握這一方法不僅能提高解題效率，還能加深對數(shù)學(xué)中函數(shù)特性與增長規(guī)律的理解，為應(yīng)對更復(fù)雜的問題奠定堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

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