參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用賞析

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

參數(shù)方程是曲線方程的一種表示形式，它是解析幾何的重要工具.對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的解析幾何題，學(xué)生常用普通方程進(jìn)行解答，不但運(yùn)算量大，而且容易出錯(cuò).若巧妙構(gòu)建直線和圓錐曲線的參數(shù)方程，能夠快速有效地解決相關(guān)問(wèn)題[1]，下面筆者通過(guò)具體實(shí)例加以說(shuō)明.

1 利用參數(shù)方程求最值問(wèn)題

最值問(wèn)題是解析幾何中的常見(jiàn)題型之一，解決此類問(wèn)題可運(yùn)用函數(shù)思想、幾何性質(zhì)、均值定理、參數(shù)方程、向量法等多種方法.

例1設(shè) A 為橢圓 上的一動(dòng)點(diǎn)，又已知點(diǎn) C（8，4） ，以 AC 為對(duì)角線作矩形ABCD，使 AB//x 軸， AD//y 軸，求矩形ABCD 面積的最大值.

解析 設(shè)點(diǎn) ，則矩形ABCD的面積 S=（8-4cosθ）（4-2sinθ）=8[4 .令 t=sinθ+cosθ ，兩邊平方得 代人化簡(jiǎn)得 S=4（t-2）² +12 因?yàn)? ，所以當(dāng) t=1 時(shí)， S_max=16 ，即文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0024-03矩形ABCD面積的最大值為16.

例2已知傾斜角為 α 的直線 ξ_l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) M（2， 0），且直線 ξ_l 與曲線 x²+2y²=1 相交于 ^A，B 兩點(diǎn)，求 ∣MA∣?∣MB∣ 的最小值.

解析 設(shè)直線 l 的參數(shù)方程為 t是參數(shù)）， 0?αlt;π ，代入曲線方程整理，得（1+sin²α）t²+4tcosα+3=0 ，判別式 Δ=16cos²α ，解得 設(shè)點(diǎn) M，N 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t₁，t₂ ，由參數(shù) χ_t 的幾何意義得 所以 ∣MA∣?∣MB∣ 的最小值是

2利用參數(shù)方程求取值范圍問(wèn)題

取值范圍問(wèn)題是解析幾何中常見(jiàn)的考查內(nèi)容之一，該問(wèn)題類型較多，解法靈活多變，常見(jiàn)的有代數(shù)方法和幾何方法，若轉(zhuǎn)換思維方式，用參數(shù)法來(lái)解則可以鍛煉學(xué)生的一題多解能力.

例3 已知 E，F(xiàn) 是橢圓 上的兩點(diǎn)，收稿日期：2025-03-05作者簡(jiǎn)介：趙林，本科，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

線段 EF 的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) G（k，0） ，求k 的取值范圍.

解析設(shè)點(diǎn) E（4cosθ，3sinθ），F(xiàn)（4cosφ，3sinφ） 由垂直平分線的性質(zhì)可知 ∣GE∣²=∣GF∣² .于是（k-4cosθ）²+（3sinθ）²=（k-4cosφ）²+（3sinφ）² 展開(kāi)化簡(jiǎn)得 7（cos²θ-cos²φ）=8k（cosθ-cosφ） .又因?yàn)榫€段 EF 的垂直平分線與 x 軸相交，所以cosθ-cosφ≠0 因此 ，且 cosθ+cosφ ?∈（?-2，2） .從而 即 k 的取值范圍是

例4已知M為橢圓C10 上的點(diǎn)， N 為圓 C₂：x²+（y-6）²=2 上的點(diǎn)，求IMNI的取值范圍.

解析設(shè)點(diǎn) ，圓心 C₂（0，6） ，半徑 ，則 因?yàn)?-1?sinθ?1 ，所以 -1?3sinθ+2?5. 因此5 .由題意得 即IMNI的取值范圍是

3利用參數(shù)方程求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是解析幾何中的重要內(nèi)容，也是近幾年各省高考的基本題型之一，解決這類問(wèn)題的方法較多，需要依據(jù)問(wèn)題的內(nèi)部規(guī)律及知識(shí)之間的相互聯(lián)系找到最優(yōu)解法.

例5已知橢圓 的長(zhǎng)軸的左、右頂點(diǎn)分別為 ^{A，B，C} 是橢圓上任一點(diǎn)，引 AD⊥AC，BD⊥BC 且 AD 與 BD 的交點(diǎn)為 D ，求動(dòng)點(diǎn) D 的軌跡方程.

解析設(shè)點(diǎn) C（3cosθ，sinθ） ，由題意知 A（ε-3 0）， B（3，0） ，且 cosθ≠±1，sinθ≠0. 所以

故直線AD的方程為y=_3（cos0+1） 直線BD的方程為y=_3（cos0 -1） ①×②得y2=9（cos20-1） 化簡(jiǎn)整理得 ，即為動(dòng)點(diǎn) D 的軌跡方程.

例6已知直線l 和橢圓 ^°=1 ，從坐標(biāo)原點(diǎn) o 出發(fā)的射線與直線 l 和橢圓 E 分別相交于 ^A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) G 在線段 OA 上，且滿足∣OB∣²=∣OA∣?∣OG∣ ，求動(dòng)點(diǎn) G 的軌跡方程

解析 設(shè)射線所在直線的參數(shù)方程為

χ_t 是參數(shù)），分別代人直線 l 和橢圓 E 的

方程得： 及

設(shè) t₁，t₂，t 分別是點(diǎn) B，A，G 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由參數(shù)的

幾何意義得 ∣OB∣=t₁，∣OA∣=t₂，∣OG∣=t ，代人，得

因?yàn)?x=tcosα，y=tsinα ，所以 ③ ④ 又因?yàn)?∣OB∣²=∣OA∣?∣OG∣ ，所以 t₁²=t₂?t ③÷④ ，得 所以動(dòng)點(diǎn) G 的軌跡方程是 6x²+8y²-3x-4y=0.

4利用參數(shù)方程求定點(diǎn)問(wèn)題

解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題是歷年數(shù)學(xué)高考的難點(diǎn)之一，在求解過(guò)程中往往伴隨復(fù)雜的運(yùn)算.提高解決此類問(wèn)題的效率，對(duì)學(xué)生的思維深度、解題的專注度以及運(yùn)算能力的培養(yǎng)，都有非常積極的意義.

例7已知過(guò)點(diǎn) P（0，1） 且斜率為 k（k≠0） 的直線l 與橢圓 交于 ^A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 與點(diǎn) B 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，證明直線 AQ 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)

解析 設(shè)點(diǎn) A（cosα，2sinα），B（cosβ，2sinβ） θ（ε-cosβ，2sinβ） ，因?yàn)?k_PA=k_PB ，所以 去分母得 2sin（α-β）=-（cosα-cosβ） 即 因?yàn)棣痢佴?，所以 直線 AQ 的方程為 ，令 x=0 ，則

所以直線 AQ 過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）.

例8 已知直線 ξ_l 與拋物線 C：y²=8x 相交于A，B 兩點(diǎn)，且直線 ξ_l 與 x 軸交于點(diǎn) M ，若 為常數(shù)，證明點(diǎn) M 為定點(diǎn)，并求點(diǎn) M 的坐標(biāo)

解析設(shè)點(diǎn) M（m，0） ，直線 AB 的參數(shù)方程為 （ χ_t 是參數(shù)），將其代入拋物線方程，整理得 t²sin²α-8tcosα-8m=0. 設(shè) ^A，B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t₁，t₂ ，則 t₁，t₂ 是方程的兩根，由韋達(dá)定理得 于是 （20當(dāng)且僅當(dāng) m=4 時(shí) 為常數(shù).

所以點(diǎn) M 為定點(diǎn)，點(diǎn) M 坐標(biāo)為（4，0）.

5 利用參數(shù)方程求定值問(wèn)題

解析幾何中的定值問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng).很多學(xué)生受思維定式的影響，往往采用代數(shù)法來(lái)做，解題過(guò)程很復(fù)雜，不如參數(shù)法簡(jiǎn)單.

例9已知橢圓 G 的上頂點(diǎn)為 C 右頂點(diǎn)為 D ，若 M 是橢圓 G 上一點(diǎn)，直線 MC 與 x 軸交于點(diǎn) E ，直線 MD 與 y 軸交于點(diǎn) F ，求證： ∣DE∣? ∣CF∣ 為定值.

解析 設(shè)點(diǎn) M（3cosθ，2sinθ） ，因?yàn)辄c(diǎn) C（0，2） ，D（3，0），直線MD的方程為y=3cos0-3 ，令χ =0，得y=1-cos0 則 直線MC的方程為 ，令 y=0 ，得 x_E 則 ．即有 ∣DE∣θ?α

所以 |DE|?|CF| 為定值.

評(píng)注本題的一般方法是設(shè)直線 l 的方程是 y ξ=kx+m ，再根據(jù)已知條件得到 k 和 ?_m 之間的等量關(guān)系，消去 m 就可以求出 k 的值.但計(jì)算過(guò)程十分煩瑣，而采用參數(shù)法來(lái)做，可取得事半功倍的解題效果.

6 結(jié)束語(yǔ)

參數(shù)方程在解析幾何中是一枝獨(dú)秀的奇葩，它不僅是一種描述幾何對(duì)象的有效工具，還是解決幾何問(wèn)題的重要方法[2].通過(guò)引入?yún)?shù)，可以將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力、思維能力和創(chuàng)新能力都有著十分重要的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1］周花香.圓錐曲線參數(shù)方程在數(shù)學(xué)解題中的使用［J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2022（11）：10-12.

[2]張超.巧構(gòu)參數(shù)方程妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（15）：59-61.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]