基于復(fù)合運(yùn)動基元的機(jī)器人多演示軌跡在線建模研究

中圖分類號：TP242；TG248 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.019

0 引言

近年來，工業(yè)機(jī)器人在特定結(jié)構(gòu)化環(huán)境中的應(yīng)用日益普及，顯著提升了生產(chǎn)效率。然而，面對非特定任務(wù)時(shí)，機(jī)器人示教編程仍存在過程煩瑣、學(xué)習(xí)成本高等問題。因此，如何讓機(jī)器人具備自主學(xué)習(xí)新技能的能力，成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。目前，強(qiáng)化學(xué)習(xí)、模仿學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)[-2等先進(jìn)的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)已成功應(yīng)用于機(jī)器人的技能學(xué)習(xí)。在各種學(xué)習(xí)方法中，從演示中學(xué)習(xí)已被證明是一種最有效的方法，可以讓機(jī)器人模仿人類的行為，最終掌握操作技能[3-4]

演示學(xué)習(xí)的核心問題是演示軌跡樣本的編碼與泛化。對此，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多演示學(xué)習(xí)算法，進(jìn)行軌跡的有效編碼與泛化，例如：動態(tài)運(yùn)動基元[5]33-33l]（（Dynamical Movement Primitive，DMP）、概率運(yùn)動基元[72616-24（Probabilitic MovementPrimitive，ProMP）和高斯混合模型與回歸（GaussianMixtureMod-el-GaussianMixtureRegression，GMM-GMR）等以及相關(guān)改進(jìn)算法[8-9]。這些算法中，DMP具有高度的非線性特性和高實(shí)時(shí)性，已被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人的各個(gè)領(lǐng)域。DMP是一種基于2階動力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動基元算法，其數(shù)學(xué)模型由線性彈簧阻尼系統(tǒng)和一個(gè)可學(xué)習(xí)的非線性項(xiàng)組成。其中，非線性項(xiàng)是多個(gè)基函數(shù)的線性組合，能夠用于擬合軌跡形狀，通常使用局部加權(quán)最小二乘[]、遞歸最小二乘[等方法進(jìn)行參數(shù)求解。

盡管DMP在軌跡編碼和泛化上具備一定優(yōu)勢，但DMP屬于單樣本學(xué)習(xí)算法，單次演示具有很強(qiáng)的隨機(jī)性和不確定性，難以直接用于演示軌跡學(xué)習(xí)。為了學(xué)習(xí)多條演示軌跡的特征，GINESI等2通過引入一個(gè)額外的變量對多個(gè)相似軌跡建模，提高了DMP的泛化能力；PARASCHOS等[7]2616-2624提出ProMP方法進(jìn)行軌跡分布建模，使用與DMP相似的非線性項(xiàng)，并引入高斯分布對演示軌跡進(jìn)行建模。上述算法雖已成功應(yīng)用于不同的演示任務(wù)學(xué)習(xí)[13-14]，但存在過多的超參數(shù)，容易使參數(shù)估計(jì)陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[15]1521-1544和文獻(xiàn) [16]^17-20 采用高斯混合模型（Gauss-ianMixtureModel，GMM）和高斯混合回歸（GaussianMixtureRegression，GMR）作為基元進(jìn)行軌跡編碼，模型參數(shù)通過期望最大化（ExpectationMaximization，EM）算法學(xué)習(xí)。然而，在進(jìn)行GMM軌跡編碼時(shí)，高斯函數(shù)的個(gè)數(shù)無法確定；基于期望最大化算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，需要反復(fù)計(jì)算數(shù)據(jù)的協(xié)方差，存在計(jì)算效率低的問題。

針對上述問題，本文在文獻(xiàn)[15]521-1544和文獻(xiàn)[16]^17-45 的基礎(chǔ)上，提出一種復(fù)合DMP算法。首先，通過GMM進(jìn)行多條演示軌跡的建模，使用DMP對高斯混合回歸軌跡進(jìn)行學(xué)習(xí)，克服DMP單樣本學(xué)習(xí)的缺陷；為了提高GMM的軌跡建模效率，使用路徑積分和Welford公式增量式計(jì)算演示軌跡數(shù)據(jù)所屬分布、均值和協(xié)方差，從而實(shí)現(xiàn)GMM參數(shù)的在線更新；最后，設(shè)計(jì)并完成了手寫體字母多軌跡建模和商標(biāo)紙拆垛軌跡學(xué)習(xí)與泛化試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提方法具有快速多軌跡建模能力和穩(wěn)定的泛化能力。

1復(fù)合動態(tài)運(yùn)動基元算法

復(fù)合動態(tài)運(yùn)動基元算法流程如圖1所示。在軌跡演示過程中，使用增量式參數(shù)更新策略進(jìn)行高斯混合模型的參數(shù)計(jì)算。得到模型參數(shù)后，使用動態(tài)運(yùn)動基元進(jìn)行高斯混合回歸軌跡學(xué)習(xí)，并在新的工作位置完成軌跡泛化。

1.1動態(tài)運(yùn)動基元算法

DMP是由IJSPEERT等[5]33-335在2002年提出的，其基本思想是在一個(gè)簡單穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)中引入非線性函數(shù)，并通過非線性函數(shù)控制系統(tǒng)的運(yùn)動過程，使系統(tǒng)最終達(dá)到目標(biāo)吸引子狀態(tài)。具體表達(dá)式為

式中， τ 為時(shí)間常數(shù)，用于控制系統(tǒng)的時(shí)間縮放； 為系統(tǒng)的加速度； α 和 β 均為正的系統(tǒng)參數(shù)，在合適的參數(shù)選擇下，系統(tǒng)會達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)； x_g 為系統(tǒng)的目標(biāo)位置； x 為系統(tǒng)的位置； 為系統(tǒng)的速度；f（t） 為非線性強(qiáng)制項(xiàng)； χ_t 為時(shí)間。對非線性項(xiàng)進(jìn)行建模，可以實(shí)現(xiàn)DMP對不同目標(biāo)位置軌跡的泛化。強(qiáng)制項(xiàng)由徑向基核函數(shù)線性加權(quán)表示，一般為

式中， φ_i（t） 為徑向基核函數(shù)； w_i 為基函數(shù)對應(yīng)的權(quán)重值； N_?1 為基函數(shù)的數(shù)目，其大小取決于演示軌跡的復(fù)雜程度。

為了避免顯式時(shí)間依賴，引入標(biāo)準(zhǔn)的1階動力學(xué)衰減系統(tǒng)，即

式中， γ 為衰減系數(shù)； s 為相位變量。強(qiáng)制項(xiàng)可以進(jìn)一步改寫為

對于該系統(tǒng)來說，從任意初始位置開始，令 s 的值從1單調(diào)收斂到0，同時(shí)系統(tǒng)從初始位置收斂至目標(biāo)位置?？梢圆捎镁植考訖?quán)回歸對權(quán)重參數(shù) w_i 進(jìn)行估計(jì)，以保證參數(shù)學(xué)習(xí)速度。在單次的演示過程中，記錄下軌跡點(diǎn)的位置、速度和加速度數(shù)據(jù)序列 ，就可以估算出 f 將演示軌跡數(shù)據(jù)代入到式（1）中，得到強(qiáng)制項(xiàng)為

在進(jìn)行權(quán)重參數(shù)求解時(shí)，可以將式（4）改寫為線性組合形式，即

f（w_i，s）=Tw

式中， T 為回歸矩陣； w=[w₁ ， w₂ w_N1J^r 。 T 的具體表達(dá)式為

定義損失函數(shù)為

利用最小二乘法求取 J 的極小值，可以得到對應(yīng)的最佳權(quán)重并擬合出演示軌跡序列，從而給出學(xué)習(xí)后的軌跡數(shù)據(jù)。對于初始位置和目標(biāo)位置發(fā)生改變的情況，可以將相位變量重置為1，并根據(jù)式（1）重新計(jì)算能夠適應(yīng)新的目標(biāo)位置的軌跡數(shù)據(jù)。DMP的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算效率高，且模型能夠很好地保留演示軌跡的形狀和運(yùn)動特征。然而，DMP是單樣本學(xué)習(xí)算法，無法實(shí)現(xiàn)多條演示軌跡的學(xué)習(xí)。因此，本研究將對DMP算法做出改進(jìn)。

1. 2 高斯混合模型

為了將DMP算法推廣到多演示軌跡學(xué)習(xí)中，本文采用高斯混合模型與回歸的方法對多條演示軌跡進(jìn)行建模，并使用DMP對高斯回歸軌跡進(jìn)行學(xué)習(xí)。假設(shè)共進(jìn)行了 n 次演示，可將采集到的軌跡數(shù)據(jù)表示為 X={X¹ ， X² ，…， 其中，單次演示軌跡表示為 Xⁱ∈X，i=1 ，2，…， n 。這些軌跡數(shù)據(jù)包含在有限高斯混合模型中。假設(shè)數(shù)據(jù)來自以下分布

式中， k 為高斯函數(shù)的個(gè)數(shù)； π_c 為混合系數(shù)； μ_c 和 分別為高斯分布的均值和協(xié)方差。在給定一組觀測值 x₁ ， x₂ ，…， x_n 時(shí)，可以采用EM算法進(jìn)行最大似然估計(jì)，即通過EM算法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高斯混合模型的擬合。具體步驟是：首先，初始化均值、協(xié)方差和混合系數(shù)；其次，在E步驟和M步驟之間交替進(jìn)行，不斷調(diào)整先驗(yàn)參數(shù) π_c 和GMM模型的高斯函數(shù)參數(shù)（均值 μ_c 和協(xié)方差矩陣 ）。

在E步驟中，使用當(dāng)前的參數(shù)值，對所有 i= 1，2，…， Ω_n 和所有 c=1 ，2，…， k 計(jì)算以下后驗(yàn)概率：

在 M 步驟中，使用 γ（z_ic） 的值重新估計(jì)參數(shù)：

式中，

1.3在線參數(shù)辨識算法

采用GMM的軌跡編碼方式可以充分利用多條演示軌跡數(shù)據(jù)，提取更多的運(yùn)動特征，從而將DMP算法推廣到多演示軌跡學(xué)習(xí)。然而，在上述EM算法進(jìn)行GMM參數(shù)估計(jì)時(shí)，需要獲取所有演示軌跡后才能進(jìn)行迭代求解，整體計(jì)算效率較低。針對上述問題，本節(jié)提出一種高效的GMM參數(shù)估計(jì)方法。該方法采用增量式更新策略，在采樣過程中僅利用單個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，從而顯著提升計(jì)算效率。算法運(yùn)行過程如圖2所示。

進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，GMM的高斯分布個(gè)數(shù)k需要人工預(yù)先指定，并進(jìn)行多次測試才能確認(rèn)合適的取值。因此，本節(jié)通過設(shè)置軌跡長度閾值進(jìn)行k值的自適應(yīng)更新。首先，通過路徑點(diǎn)的離散積分計(jì)算軌跡長度 L [式（14）]；然后，基于軌跡長度確定高斯分布個(gè)數(shù) k [式（15）]。 k 值隨著軌跡長度的變化進(jìn)行動態(tài)更新。

式中， Δx_i=x_i-x_i-1?Δy_i=y_i-y_i-1?Δz_i=z_i-z_i-1 分別表示第 i 次采樣點(diǎn)坐標(biāo)和第 i-1 次采樣點(diǎn)坐標(biāo)的前向差分值； λ 表示長度閾值，當(dāng)某個(gè)高斯分布距離超過 λ 時(shí)，產(chǎn)生新的高斯分布。經(jīng)過現(xiàn)場進(jìn)行的多次反復(fù)試驗(yàn)可知，演示軌跡的長度主要集中在0.1～2m 。進(jìn)一步試驗(yàn)表明，當(dāng)將長度閾值 λ 設(shè)定為0.1m 時(shí)，算法能夠適應(yīng)這一區(qū)間范圍內(nèi)的軌跡學(xué)習(xí)需求。

最后，采用Welford公式增量計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)所屬分布的均值和協(xié)方差，實(shí)現(xiàn)GMM參數(shù)的在線更新。有

綜上所述，增量式高斯混合模型參數(shù)估計(jì)算法如算法1所示。

1.4 高斯混合回歸

通過上述求解方法，可以得到更新后的GMM參數(shù) ， ， ；然后，采用高斯混合回歸方法生成期望軌跡。具體做法是：將數(shù)據(jù)分為輸入、輸出兩部分 （x⁰|x¹） ，且滿足

根據(jù)式（18）和式（19）所示分解方式，可以得到給定輸入下期望輸出的條件概率，即

式中，

然后，根據(jù)高斯分布的特性，可以得到輸人輸出數(shù)據(jù)的期望和協(xié)方差之間的關(guān)系，即

最后，可以得到期望輸出，即

2 試驗(yàn)分析與討論

2.1 試驗(yàn)平臺

試驗(yàn)平臺如圖3所示。其中，機(jī)器人為6自由度工業(yè)機(jī)器人，各個(gè)關(guān)節(jié)上安裝有高精度光電編碼器以進(jìn)行位置反饋，末端執(zhí)行器上配備有專用夾具以進(jìn)行商標(biāo)紙抓取。演示學(xué)習(xí)算法軟件通過TCP/IP與機(jī)器人控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)交互，算法參數(shù)如表1所示。

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，分別設(shè)計(jì)了手寫體字母軌跡的復(fù)現(xiàn)試驗(yàn)和機(jī)器人拆垛演示試驗(yàn)。首先，通過在手寫字母體軌跡上的軌跡編碼與復(fù)現(xiàn)試驗(yàn)，對EM算法和本文所提的基于路徑積分和Welford公式的增量式參數(shù)估計(jì)算法的性能進(jìn)行對比分析。然后，在實(shí)際機(jī)器人拆垛任務(wù)上進(jìn)行演示軌跡學(xué)習(xí)與泛化試驗(yàn)，以驗(yàn)證所提復(fù)合DMP算法的有效性。

2.2算法性能指標(biāo)

為了量化演示學(xué)習(xí)的效果，引入均方根誤差和皮爾遜相關(guān)系數(shù)，衡量復(fù)現(xiàn)軌跡與演示軌跡之間的相似性。其中，根據(jù)泛化軌跡數(shù)據(jù)點(diǎn)與演示軌跡數(shù)據(jù)點(diǎn) x 的誤差來計(jì)算均方根誤差（RootMeanSquareError，RMSE），計(jì)算過程如式（25）所示。其中， N 代表一條演示軌跡中的數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)。根據(jù)數(shù)據(jù)方差和協(xié)方差之間的比例關(guān)系計(jì)算皮爾遜相關(guān)系數(shù) ρ_x ，計(jì)算過程如式（26）所示。

式中， σ 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.3手寫體軌跡復(fù)現(xiàn)試驗(yàn)

本節(jié)采用公共數(shù)據(jù)集中10條手寫體字母S的軌跡作為演示軌跡，并進(jìn)行增量式GMM參數(shù)估計(jì)方法的計(jì)算效率和軌跡復(fù)現(xiàn)性能試驗(yàn)。為了模擬實(shí)際的演示建模過程，在試驗(yàn)中設(shè)置軌跡數(shù)據(jù)采樣頻率為 500Hz ○

為了合理評估本文所提算法的計(jì)算效率，兩種算法都分別進(jìn)行10次參數(shù)估計(jì)試驗(yàn)。其中，基于增量式的在線估計(jì)方法在采樣過程中進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，所需時(shí)間均值僅為 0.035ms 。而基于EM算法需要得到所有軌跡數(shù)據(jù)后才能進(jìn)行模型迭代求解，其求解所需時(shí)間的均值為 5616ms 。

圖4和圖5所示分別為采用基于增量式GMM參數(shù)估計(jì)過程和基于EM方法的軌跡復(fù)現(xiàn)效果?？梢钥闯?，兩種方法都可以從數(shù)據(jù)中提取軌跡特征并完成軌跡復(fù)現(xiàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，基于增量式的參數(shù)估計(jì)方法不需要使用全部數(shù)據(jù)，可以極大地縮短計(jì)算時(shí)間。

從表2所示量化指標(biāo)數(shù)據(jù)可得，兩種方法得到的復(fù)現(xiàn)軌跡與演示軌跡之間都具有高度的相似性。其中，基于增量式參數(shù)估計(jì)方法的皮爾遜系數(shù)和均方根誤差的平均值分別為 0.984mm 和 0.056mm ，基于EM方法的皮爾遜系數(shù)和均方根誤差的平均值分別為 0.984mm 和 0.057mm ?？梢钥闯?，本文所提的改進(jìn)方法在保證多軌跡學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，具有更高的計(jì)算效率。

2.4機(jī)器人商標(biāo)紙拆垛試驗(yàn)

機(jī)器人商標(biāo)紙拆垛演示學(xué)習(xí)過程如圖6所示。商標(biāo)紙拆垛中，最重要的兩個(gè)動作是抓取物體和放置物體。因此，試驗(yàn)使用復(fù)合動態(tài)運(yùn)動基元算法學(xué)習(xí)抓取軌跡和上料軌跡的特征，并在不同位置進(jìn)行軌跡泛化，以驗(yàn)證本文所提算法的有效性。圖7、圖8所示分別為抓取、上料軌跡建模與泛化結(jié)果。表3所示為抓取和上料回歸軌跡的皮爾遜系數(shù)。

從圖7和表3中可見，在抓取軌跡建模與學(xué)習(xí)的過程中，當(dāng)目標(biāo)位置發(fā)生變化時(shí)，機(jī)器人依然能夠很好地進(jìn)行軌跡的建模并保持軌跡形狀。其中，基于增量式和基于EM參數(shù)估計(jì)方法的皮爾遜系數(shù)的平均值分別為0.987和0.983。

從圖8和表3中可見，當(dāng)上料軌跡初始位置發(fā)生變化時(shí)，機(jī)器人依然能夠保持軌跡形狀并完成演示任務(wù)。其中，基于增量式和基于EM參數(shù)估計(jì)方法的皮爾遜系數(shù)的平均值分別為0.993和0.993。上述結(jié)果表明，本文所提方法能夠使機(jī)器人很好地完成抓取和上料軌跡的建模與泛化。

為了測試所提算法的計(jì)算效率，采用基于EM算法、基于增量式更新算法分別進(jìn)行上述抓取與上料試驗(yàn)，重復(fù)運(yùn)行10次，計(jì)算出各自完成軌跡建模與復(fù)現(xiàn)所需的時(shí)間，結(jié)果如表4所示。數(shù)據(jù)表明，本文所提增量式更新算法平均只需 0.033ms 即可完成軌跡建模與泛化，具有很高的計(jì)算效率。

3結(jié)論

提出了一種基于復(fù)合動態(tài)運(yùn)動基元的機(jī)器人拆垛軌跡演示學(xué)習(xí)算法，旨在解決傳統(tǒng)算法在軌跡學(xué)習(xí)上的局限性。該算法引入GMM對多演示軌跡進(jìn)行建模，通過路徑積分和Welford公式在線進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；完成多軌跡建模后，進(jìn)一步利用DMP學(xué)習(xí)高斯混合回歸軌跡，有效克服了EM算法參數(shù)估計(jì)效率低以及DMP單樣本學(xué)習(xí)的缺陷。

通過手寫體字母和具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的商標(biāo)紙拆垛任務(wù)試驗(yàn)測試了算法的有效性。結(jié)果表明，基于復(fù)合動態(tài)運(yùn)動基元的演示學(xué)習(xí)算法具備多軌跡學(xué)習(xí)的能力，且計(jì)算效率高，泛化能力強(qiáng)。該算法為機(jī)器人商標(biāo)紙拆垛任務(wù)的編程提供了一種便捷、高效的學(xué)習(xí)途徑，有望在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮重要作用。

參考文獻(xiàn)

[1］孫宇，汪泳.探析工業(yè)機(jī)器人技術(shù)在輕工企業(yè)的應(yīng)用研究[J].輕 紡工業(yè)與技術(shù)，2021，50（4）：55-56. SUN Yu，WANG Yong.Research on the application of industrial robottechnologyin light industry enterprises[J].Lightand Textile Industryand Technology，2021，50（4）：55-56.

[2] 方寧，盧光明.工業(yè)機(jī)器人在煙草行業(yè)的應(yīng)用[J].煙草科技， 2000，33（3）：21-22. FANG Ning，LU Guangming.Application of industrial robots in tobacco industry[J].Tobacco Scienceamp; Technology，20oo，33（3）： 21-22.

[3] 曾超，楊辰光，李強(qiáng)，等.人-機(jī)器人技能傳遞研究進(jìn)展[J].自動 化學(xué)報(bào)，2019，45（10）：1813-1828. ZENG Chao，YANG Chenguang，LI Qiang，et al. Research progresson human-robot skill transfer[J].Acta Automatica Sinica， 2019，45（10）：1813-1828.

[4]遲明善，姚玉峰，劉亞欣.基于示教編程的共融機(jī)器人技能學(xué)習(xí) 方法的研究進(jìn)展[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2020，41（1）：71-83. CHI Mingshan，YAO Yufeng，LIU Yaxin. Advances in coexistingcooperative-cognitive robots skill learning approach based on learning from demonstration[J].Chinese Journal of Scientific Instrument，2020，41（1）：71-83.

[5] IJSPEERTAJ，NAKANISHIJ，HOFFMANNH，etal.Dynamical movement primitives：learning attractor models for motor behaviors[J].Neural Computation，2013，25（2）：328-373.

[6] SAVERIANOM，ABU-DAKKAFJ，KRAMBERGER A，etal. Dynamic movement primitives in robotics：a tutorial survey[J]. The International JournalofRoboticsResearch，2023，42（13）： 1133-1184.

[7] PARASCHOSA，DANIELC，PETERSJ，etal.Probabilisticmovementprimitives[C]//Proceedingsofthe27th International Conferenceon Neural Information Processing Systems.New York：CurranAssociatesInc.，2013：2616-2624.

[8]CALINON S，GUENTERF，BILLARDA.On learning，representing，and generalizinga task ina humanoid robot[J]. IEEE TransactionsonSystems，Man，andCyberneticsPartB，Cybernetics，2007， 37（2）：286-298.

[9] RAVICHANDARH，POLYDOROSA S，CHERNOVA S，et al. Recent advances in robot learning from demonstration[J].Annual Review ofControl，Robotics，and Autonomous Systems，2020，3 （1）：297-330.

[10]CLEVELAND W S.Robust locally weighted regression and smoothing scatterplots[J]. Journal of the American Statistical Association，1979，74（368）：829-836.

[11]SCHAAL S，ATKESON C G.Constructive incremental learning fromonly local information[J].Neural Computation，1998，10 （8）：2047-2084.

[12]GINESI M，SANSONETTO N，F(xiàn)IORINI P.Overcoming some drawbacks of dynamic movement primitives[J].Robotics and Autonomous Systems，2021，144：103844.

[13］殷聰聰，張秋菊.機(jī)器人演示學(xué)習(xí)編程技術(shù)研究綜述[J].計(jì)算機(jī) 科學(xué)與探索，2020，14（8）：1275-1287. YIN Congcong，ZHANG Qiuju.Review of research on robot programmingby learning from demonstration[J].Journal ofFrontiers ofComputer Science and Technology，2020，14（8）：1275-1287.

[14]YU XB，LIU PS，HE W，et al.Human-robot variable impedance skillstransfer learning based on dynamic movement primitives[J]. IEEERoboticsandAutomationLetters，2022，7（3）：6463-6470.

[15]GUENTERF，HERSCHM，CALINON S，et al.Reinforcement learning for imitating constrained reaching movements [J]. AdvancedRobotics，2007，21（13）：1521-1544.

[16]胡晉.機(jī)械臂運(yùn)動的示教學(xué)習(xí)方法與應(yīng)用研究[D].杭州：浙江 大學(xué)，2018：17-45. HU Jin.Motion imitation learningand execution for robot manipulators[D].Hangzhou：Zhejiang University，2018：17-45.

[17]CALINON S.A tutorial on task-parameterized movement learning and retrieval[J].Intelligent ServiceRobotics，2016，9（1）：1-29.

Research on online modeling of multiple demonstration trajectories for robotsbased on compositemovement primitives

LI Zhiyong1 YAN Bin'HUANG Xiaoping1LIU Changsheng1MA Cunguo'LIU Tundong2 （1.Xiamen Tobacco Industrial Co.，Ltd.，Xiamen 361028， China） （2.Pen-Tung Sah Institute ofMicro-Nano Science and Technology，Xiamen University，Xiamen 361102，China）

Abstract：[Objective]Aimingat theproblems oflowparameter estimationeficiencyand lackofmulti-trajectory modeling abilityintraditionalrobotdemonstrationlearningalgorithm，anonlinemodelingmethodofrobotmultipledemonstration trajectories based on composite dynamical movement primitives was proposed.[Methods]Gausian mixture model was used to modelmulti-demonstrationtrajectoryinthecompositealgorithm.Throughdynamical movementprimitives，theregesion trajectoryof the Gausian mixture modelwas learnedwhichenhanced the multi-trajectory modelingcapability.To improvethe eficiencyofparameterestimationofthemodel，anonlineparameterestimationalgorithmbasedonWelford’sformulaandpath integralwas designed tocalculate model parameters icrementallyduring the trajectorysampling proces，andthe parameter estimationcouldbecompletedat thendofthedemonstration.Finallasix-degreeof-freedomindustrialrobotwasusedasthe objecttodesignandcomplete thelearning experimentofthedepaletizingtrajectorydemonstration.[Results]Thersultsshow thattheparameter estimation timeoftheproposedalgorithmisonly 0.033ms .Thedemonstrationlearningalgorithmbased on improveddynamic motionprimitivesisefficientinparameter estimationandhastheabilityoffastmult-trajectory modelingand generalization.

Key Words： Dynamical movement primitive; Gaussian mixture model; Online demonstration learning