一種單自由度螺旋形空間折展機構的設計與分析

中圖分類號：TH112.1 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.007

0 引言

折展機構是一種能夠從折疊收攏狀態(tài)展開到預定工作狀態(tài)的機構，一般有完全折疊和完全展開兩種穩(wěn)定的工作構型。完全折疊時，體積較小，利于儲存和運輸；完全展開時，包絡體積較大，可以實現(xiàn)設計目標，完成對應任務。折展機構由于能夠改變形狀和尺寸以適應各種環(huán)境，具有極大的研究價值，不僅被廣泛應用于建筑領域，如應急建筑、橋梁2；也被廣泛應用于航空航天工程，如伸展臂[3]、太陽翼[4、天線等[5-。此外，折展機構還可以作為機械手進行抓??；在微創(chuàng)手術中用作支承結構植入人體8。隨著空間科學技術的快速發(fā)展，需要更多符合輕量化、高收納率、高精度、高展開可靠度和剛度等特點的折展機構來完成愈加復雜的任務。因此，對設計具有優(yōu)良性能的新型空間折展機構的需求尤為迫切[]。

研究人員對折展機構進行了深入探索并取得非常多的設計成果。ST-ONGE等[提出一種新型單自由度折展機構，由三角形平臺通過皮帶驅動的連桿連接，形成平行四邊形結構，從而完成擴展，在保持幾何形狀的同時可達到高膨脹比。CHENG等通過識別幾何約束方程，提出一種新的多層多環(huán)可展開連桿自由度分析方法，并基于此構建了大量新型傘狀展開機構。SUN等2使用4R接頭連接4個反平行四邊形單元，首次設計了一種具有5種模態(tài)的機構。ZHANG等3提出一個基于張拉整體的變形模塊，可進行一系列對稱與非對稱配置。WANG等[4基于三浦折紙?zhí)岢鲆环N平面圓形折展機構（DeployableCir-cularStructure，DCS），并給出一種基于平行投影原理的曲面DCS設計方法，能夠應用于高折展比的空間可展開天線的設計。LIAO等[15提出一種新的組裝方法來開發(fā)可展開三腳剪式單元（Tripod-ScissorUnit，TSU），所得結構具有更優(yōu)良的性能，可應用于支承結構。李端玲等對魔術花球進行結構分解，得到了空間并聯(lián)4分支及3分支機構等基本運動鏈，并提出一種從折紙到多個球形集成的機構構造方法[7]。

許多研究者從自然界生物的形態(tài)學變化上獲得靈感來設計機構。WANG等8應用仿生學原理，基于花開過程提出一種空間折展機構。NADAN等[受鳥類解剖結構的啟發(fā)，設計了一種多模塊組成的無人機起落架，可以通過折展形式實現(xiàn)對物體的抓取。TANG等2基于單環(huán)空間折展機構設計了一種新型多仿生變胞機器人Origaker，其能夠在不同工作模式下進行轉換。XU等2受蜘蛛捕食的啟發(fā)，設計了一種新型可展開空間碎片清除裝置。

本文提出一種以等腰梯形為基本模塊的單自由度螺旋形空間折展機構[22，從基座到末端模塊等比例縮小，完全收攏時呈螺旋形狀。該機構通過伸縮桿帶動連桿的方式改變模塊間夾角。基于阿蘇爾桿組法重新設計了模塊間的連接方式，并針對運動傳遞需求對基本模塊結構進行了改進；分析并探討了完成螺旋形折展機構功能所需的配置條件，分析了機構自由度，建立了該機構運動學模型并給出了展開空間分析方法。該折展機構結構穩(wěn)定，驅動簡單，具有較高的收納率、廣泛的應用場景。

1折展機構設計

1.1模塊間連接方式設計

圖1為連接機構簡圖。將象鼻褶皺凸起結構抽象為由兩桿組成的類三角連接相鄰模塊，并以連接在滑塊上的導桿驅動，由RRR桿組和RPR桿組組成[圖1（a）]；進一步，將其改進為伸縮桿驅動方式，帶動連桿運動[圖1（b）]。由象鼻抽象化后的基本模塊可知，其下底邊具有較長行程，易聯(lián)想到通過滑塊方式驅動改變相鄰模塊夾角的方式，由此得到由RRP桿組和單桿組成的圖1（c），由PRP桿組和RRR桿組組成的圖1（d），由PRP桿組和RRP桿組組成的圖1（e），以及最終由圖1（e）改進為伸縮桿形式的圖1（f）。

圖1（b）和圖1（f）所示機構為升級后的伸縮桿形式，與滑塊一導桿形式相比，其結構簡潔，有效避免了桿長冗余對機構運動的不利影響，從而節(jié)省了折展機構的占用空間。由圖1（b）可知，當伸縮桿伸長時，桿長增加，影響折展機構收攏空間，且該機構運動規(guī)律無法傳遞到相鄰模塊，需要考慮額外輔助驅動方式，或考慮每個伸縮桿單獨驅動，其過程過于復雜。圖1（c）、圖1（d）、圖1（f）所示機構通過滑塊再額外添加一根桿就能將運動規(guī)律傳遞到下一個模塊。圖1（d）、圖1（f）比圖1（c）多了用于固定連接桿的機架，多組模塊串聯(lián)組成折展機構后，會具有更強的結構穩(wěn)定性。相較于圖1（d），當滑塊行程相同時，圖1（f）的從動件具有更大的轉動角度，且結構更穩(wěn)定。綜上所述，選擇圖1（f所示機構作為相鄰模塊間連接機構。

1.2 折展機構設計

圖2所示為螺旋形空間折展機構的三維模型。為保證其能夠以螺旋形收攏，相鄰模塊之間大小成比例。結合圖3所示機構簡圖分析其運動過程?；灸K A_iB_iC_iO_i 作為機架固定，伸縮桿 D_iB_i+1 的旋轉點 E_i 固定在基本模塊 A_iB_iC_iO_i 中桿 C_iO_i 上，滑塊 D_i 固定在基本模塊 A_iB_iC_iO_i 中桿 A_iO_i 上并能沿著 A_iO_i 運動，伸縮桿 D_iB_i+1 （包含3桿，伸長桿 D_iF_i? 固定桿 F_iG_i 、伸長桿 G_iB_i+1） 、滑塊 D_i 與滑塊 D_i+1 通過連桿相連。當滑塊 D_i 沿 A_iO_i 向右運動時，滑塊 D_i 帶動伸縮桿D_iB_i+1 繞點 E_i 做逆時針旋轉運動，且伸縮桿 D_iB_i+1 兩端長度發(fā)生變化；伸縮桿另一端 B_i+1 帶動模塊O_iB_i+1C_i+1O_i+1 繞 O_i 點逆時針旋轉運動；同時，在連桿 D_iD_i+1 的帶動下，滑塊 D_i+1 也開始向右運動，直到滑塊 D_i 達到右極限位置，與 O_i 點重合。

此時，伸縮桿 D_iB_i+1 與 O_iB_i+1 桿完全重合，連桿 D_iD_i+1 與 O_iO_i+1 桿完全重合。同時，滑塊 D_i+1 也到達極限位置，與 O_i+1 點重合，伸縮桿 D_i+1B_i+2 C_i+1O_i+1 桿與 O_i+1B_i+2 桿也完全重合，該折展機構成為完全收攏狀態(tài)，如圖3（a）所示。圖3（b）所示為機構中間運動狀態(tài)。圖3（c）所示為3模塊機構完全展開狀態(tài)。當折展機構處于完全展開狀態(tài)時，各模塊底邊共線，此刻滑塊 D_i 處于左極限位置。

若使該折展機構能達到上述兩種狀態(tài)，在運動過程中不發(fā)生干涉，桿件需滿足一定尺度關系，即

如圖3（b）所示，3模塊折展機構由11個活動構件、10個轉動副以及6個移動副組成。根據(jù)平面連桿機構自由度公式，有

M=3n_f-2p_l-p_h

式中， M 為機構的自由度； n_f 為機構的活動構件數(shù)；p₁ 為機構的低副數(shù)； p_h 為機構的高副數(shù)。每個活動構件具有3個自由度，每個低副引進兩個約束，高副引進一個約束。將 代入式（2），得3模塊機構自由度 M=1 。每額外串聯(lián)一組模塊，折展機構將增加6個活動構件、6個轉動副以及3個移動副，自由度恒為1。

2折展機構運動學分析

圖4所示為基本模塊幾何關系。為便于分析，添加虛線后所得的模塊 A_iB_iC_i^′O_i 為等腰梯形，相鄰模塊成比例，其比例系數(shù)為 α_a 。以 O_i 為原點建立直角坐標系， A_iO_i 為 x 軸正方向。圖中藍色符號表示折展單元運動過程中的變量。假設已知 l₁₁ 一 l₁₂ 、 l₁₃ 參數(shù)，根據(jù)圖4所示幾何關系，有

l_ij=a^i-1l_1j（j=1，2，3，4，10）

式中， i 表示第 i 個模塊； j 表示第 j 個桿件。

圖5所示為折展機構完全展開情況。 l_is 表示滑塊D_i 與點 O_i 的距離，根據(jù)式（1），給定此時參數(shù) l₁₅= l₂₅=…=l_i5=l₅ 。首先，確定伸縮桿 E_i 點的位置，即先確定 l_i6 ，有

由完全展開狀態(tài)開始，滑塊 D₁ 向右移動 d₁ ， d₁ 為輸入參數(shù)，該折展機構如圖6所示，圖7、圖8為圖6的局部示意圖。建立機構整體坐標系 O₁-xy ，對該折展機構進行位置正解分析，即已知輸入參數(shù) d₁ 分析 l_i7 與 l_i8 長度變化關系；得 α_i1 、 α_i2 小 α_i3 角度變化關系，再得出 θ_i 、 α_i4 、 α_i5 角度變化關系；最后通過l_（i+1）9 求出下一滑塊移動距離 d_i+1 。依次得到折展單元運動傳遞關系，從而得到最終模塊末端點位置。

Fig.5Schematic diagram of the deployable-foldable unit mechanism （fully expanded）

在圖7和圖8中，有

θ_i=πrad-2φ_i-α_i3=α_i1+α_i2-φ_i

式中， α_i1 為變量，當其處于圖5狀態(tài)時，則為 β_i ；當折展機構完全收攏時， θ₁=…=θ_i=θ 。

在圖8中， sin（π-θ_i）=sinθ_i ，有

α_i5=θ_i-α_i4

當滑塊 D_i 移動的距離為 d_i 時，滑塊 D_i+1 相對于下一模塊底邊移動的距離 d_i+1 可以表示為

d_i+1=l_（i+1）9-[l_（i+1）1-l₅]

根據(jù)三角形性質可得， l_i5+l_（i+1）9gt;l_（i+1）1 。其中，由于 l_（i+1）9+l_（i+1）5=l_（i+1）1 ，有 l_i5gt;l_（i+1）5 。又由式（8）可得 d_i=l_s-l_i5 。因此，在折展機構完全展開到收攏過程中，前一滑塊移動行程總是小于后一滑塊。

當滑塊移動到右極限時， D_i 與 O_i 點重合，此時圖7中 ΔE_iD_iO_i 與 ΔE_iB_i+1O_i 不存在，圖8中ΔD_iD_i+1O_i 不存在，故 α_i1 、 α_i2 、 α_i3 、 α_i4 與 α_i5 都不存在。這種情況下，可得

θ_i=πrad-2φ_i

l_（i+1）9=l_（i+1）1

d_i+1=d_i

根據(jù)機器人末端的位姿 ， n 表示模塊數(shù)量，將模塊末端點表示為

式中， 。當 n=1 時， O₁=（0， 0， 0） 0

3折展機構展開空間分析

空間折展機構在完全收攏與完全展開之間轉換時會產生較大的形態(tài)變化，需確保其轉換姿態(tài)過程中不與外部發(fā)生干涉碰撞，故研究其展開空間具有十分重要的意義。

該螺旋形空間折展機構模塊數(shù)量較多，分析計算較為復雜，不適合應用幾何法以及解析法求解工作空間。因此，本文根據(jù)圖6所示整體坐標系，采取數(shù)值法來求解工作空間。

首先，根據(jù)第2節(jié)中運動學分析設置機構基本參數(shù)，使各桿長、角度等配置符合該機構條件。以起始滑塊移動距離設置劃分步距值，循環(huán)迭代計算各桿長、角度隨步距值改變而得到的結果。根據(jù)折展機構位置分析所得的式（22）求得各模塊端點位置正解，并繪制出所有模塊末端點軌跡圖；基于此全局搜索邊界坐標點，獲取最外側輪廓圖，此為折展機構工作空間輪廓。根據(jù)外輪廓圖劃分區(qū)間，在每個區(qū)間上都使用三次樣條插值法計算，從而得到邊界曲線。通過計算機模擬，產生隨機點落入矩形區(qū)域內，并判斷該點是否落入邊界曲線內。若是，則記錄落入邊界曲線內的點數(shù) m ，并進行 N 次試驗，通過公式計算出工作空間面積。

由于該折展機構為螺旋形，在運動過程中，最外側輪廓可能是中間某模塊端點，如圖9所示。不同顏色線條表示不同模塊端點軌跡，而全局搜索邊界坐標點則是依據(jù) x 軸上[ x_min ， x_max ]范圍內對應任意 y 坐標值并進行排序，取其中最大值。

依據(jù)搜索的邊界坐標點得到外輪廓圖，假設從最左邊點到最右邊點， x∈[x_min ， x_max] ，劃分 ?[x_min ， x_max. 為k 個區(qū)間 ， ，…， ，共有k+1 個點，其中兩個端點 x₀=x_min ， x_k=x_max 。對每個小區(qū)間 [x_k-1 ， ∣x_k∣ 進行三次樣條插值得到邊界曲線。這些區(qū)間將整個工作空間分為 k 小塊，設每一塊均為X型區(qū)域，即作垂直于 x 軸的直線穿過該區(qū)域，直線與邊界曲線最多只有兩個交點。

再通過蒙特卡洛方法求出工作空間面積。蒙特卡洛方法的基本思想是通過某種試驗的方法，用隨機事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率。求解螺旋形空間折展機構工作空間面積時，產生的隨機點落入矩形區(qū)域中，矩形區(qū)域面積 s 為

s=（x_max-x_min）（y_max-y_min）

式中， x_max，x_min 分別為外輪廓 x 軸方向最大值、最小值； 分別為外輪廓 y 軸方向最大值、最小值。

進行 N 次試驗，落入邊界曲線范圍內的有 m 個點，則落入概率 P 為

故將對該螺旋形空間折展機構工作空間面積求解轉化為概率問題。該螺旋形空間折展機構工作空間面積 S 約為

N 值越大， s 值越接近真實值。通過多次求解面積并取其平均值這種方式，也能使最終計算結果更接近真實值。

4算例

4.1 折展機構運動學仿真

在空間折展機構從線形展開到螺旋形收攏過程中，由于模塊數(shù)量較多，且各模塊同時進行運動，因而有必要通過運動學仿真分析來驗證其折展過程中模塊與模塊間是否發(fā)生運動干涉。

為評估折展機構運動過程中是否會發(fā)生干涉，了解模塊間夾角 θ_i 的變化尤為重要，與 θ_i+1 有關聯(lián)的變量較多，難以通過解析解得出其關系，故通過數(shù)值分析其變化規(guī)律。

螺旋形空間折展機構基本參數(shù)如表1所示。

取初始滑塊速度為 5mm/s 。在模塊數(shù)量為30的情況下，得到折展機構運動圖（圖10），圖10中忽略了固定的基座模塊。在模塊數(shù)量分別為10和30的情況下，得到各滑塊行程隨時間變化圖（圖11）及各模塊夾角隨時間變化圖（圖12）。由圖11可知，隨著時間變化，下一滑塊移動行程始終大于上一滑塊，驗證了前面得到的結論。由圖12可知，在運動前期，存在θ_i+1?θ_i 的情況，而到某一界限后則符合 θ_i+1gt;θ_i 這一規(guī)律。結合圖10可知，末端模塊率先完成收攏，該螺旋形折展機構運動過程中不會發(fā)生干涉。

4.2折展機構展開空間算例

使用表1所示折展機構參數(shù)進行展開空間分析。取起始滑塊步距值為 1mm ，分不同模塊數(shù)量 n 討論各模塊端點運動軌跡，運動中各項參數(shù)依據(jù)運動學分析所得進行計算，得到圖13所示的運動軌跡圖及圖14所示的機構末端運動軌跡。

取 n=30 情況下各模塊端點運動軌跡圖做進一步分析，提取出圖15所示的展開空間外輪廓。其中，y_max=9687mm ， y_min=0 ， x_max=14690mm ， x_min= -1242mm 。由蒙特卡洛方法求10次展開空間面積，得到表2并取平均值，得展開空間面積 S≈1.1788× 10⁸mm²c 2

5 結論

1）提出一種單自由度螺旋形空間折展機構，其相鄰模塊間成比例，完全展開呈線形，完全收攏呈螺旋形。該機構完全收攏時模塊角度相同，需滿足一定桿件尺度關系才能完成折展運動。

2）對折展機構建立運動學模型，得到滑塊位移以及模塊夾角函數(shù)表達式，隨后得到模塊末端點位置。提出一種針對該機構的展開空間分析方法，基于全局搜索邊界，得到折展機構展開空間外輪廓。

3）以具體算例進行運動學仿真分析。仿真結果驗證說明，其折展過程中模塊與模塊間不會發(fā)生運動干涉。給出各模塊中滑塊行程與模塊夾角隨時間變化的關系，以及模塊末端點軌跡圖。基于三次樣條插值以及蒙特卡洛方法，計算得到展開空間面積。

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Design and analysis of a spiral space deployable-foldable mechanism with singledegree of freedom

WANGRuguiLIShuxian JINCongYUYiyin （School ofMechanical Engineering，Guangxi University，Nanning 53ooo4，China）

Abstract：[Objective]Aiming tomeettherequirementsof high-performance deployable-foldable structures inaerospace andrelatedfields，asingledegre-of-freedomspiraldeployable-foldablemechanismwasdevelopedtoachievestructural stabilityhighstowageeficiencyandeaseofcontrol.Methods]Inspiredbythecurlingandextendingbehaviourofthe elephants’trunk，amechanism wasdesignedtofoldintoaspiralshapeandunfoldintoalinearconfiguration，anddrivenby telescopicrods.Thepositionsofthemoduleendpointswereanalysed，andakinematicmodelwas establishedtoderivethe relationbetweenthedisplacementandtherotationangles.Thetrajectoriesof moduleendpoints werecomputed numericallto extractthe boundaryofthedeployable space.Thedeployablearea was estimated usingthecubic spline interpolation and the MonteCarlo method.Motion simulations wereconducted to evaluate potential interference between modules.[Results] Simulationresultsshow thatno interference occurs between modulesduring deployment，and the mechanism maintains the stableoperation.Theboundaryofthedeployablespaceisclearlydefined，andthestructureexhibitshighstorageeffcency， satisfyingspatialperformancerequirements.Theproposed mechanismdemonstratesexcelentdeployabilityanddeployment stability，and mayserveasvaluable reference forthedesignandoptimisationofspiraldeployable-foldable structures.

Key words： Spiral; Deployable-foldable mechanism; Kinematics analysis; Deployable space; Bionic design