探究實(shí)際生活中與圓相關(guān)的綜合問(wèn)題

1引言

“圓”作為初中數(shù)學(xué)中的重要幾何圖形之一，其與人們的日常生活有著密不可分的聯(lián)系.由于實(shí)際生活中與圓相關(guān)的綜合問(wèn)題，常常涉及圓的性質(zhì)定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，以及較為復(fù)雜的幾何圖形關(guān)系，這就導(dǎo)致學(xué)生在解決此類問(wèn)題會(huì)遇到了一定的阻力，因此熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵所在.

2 例題呈現(xiàn)

圖1為對(duì)心曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，圖2為對(duì)心曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的模型示意圖，滑塊 B 和曲柄 OA 的端點(diǎn) O 在一條直線上，曲柄 OA 從 OC 開始繞回轉(zhuǎn)中心O 逆時(shí)針整周轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，連桿 AB 使滑塊 B 在直線 OB 上往復(fù)運(yùn)動(dòng).直線 OB 與圓 O 交于點(diǎn) C 和點(diǎn)D （點(diǎn) D 在點(diǎn) c 的左側(cè)），連桿AB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與圓 O 的另一交點(diǎn)是點(diǎn) E ，曲柄 OA 的長(zhǎng)度是 8dm .當(dāng)連桿 AB 與圓 O 相切時(shí)，點(diǎn) c 剛好是 OB 的中點(diǎn).試求：

（1）連桿AB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)曲柄 OA 轉(zhuǎn)動(dòng)使得 AB 首次與圓 O 相切時(shí)，滑塊 B 在直線 OB 上移動(dòng)的距離；（3）如圖3所示，當(dāng)曲柄 OA 轉(zhuǎn)動(dòng)，首次使得 AB =3BE 時(shí)，曲柄 OA 掃過(guò)的面積.

3解題思路

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的應(yīng)用.

（1）首先，根據(jù)題目中的已知條件，明確連桿AB與圓 O 相切時(shí)點(diǎn) C 的位置；然后，利用中點(diǎn)和等邊三角形的性質(zhì)，判斷出 ΔAOC 的類形；最后，結(jié)合正切函數(shù)與等邊三角形的性質(zhì)，即可計(jì)算出連桿AB的長(zhǎng)度.

（2）結(jié)合幾何關(guān)系，即可求算出滑塊 B 在直線OB上移動(dòng)的距離.

（3）首先，利用已知條件和幾何關(guān)系，求算出BE和OD的長(zhǎng)度；然后，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和幾何關(guān)系，建立方程并求解出BC的長(zhǎng)度，同時(shí)求算出OB的長(zhǎng)度；最后，再結(jié)合勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，即可計(jì)算出曲柄OA掃過(guò)的面積.

解析（1）當(dāng)曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)使得連桿AB與圓O 相切時(shí)，此時(shí) OA⊥AB ，如圖4所示，連接 AC

因?yàn)辄c(diǎn) c 是 ?OB 的中點(diǎn)，

所以在 RtΔOAB 中， AC=OC=BC 又因?yàn)?OA=OC .所以 AC=OC=AO .

所以 ΔAOC 是等邊三角形，

則 ∠AOC=60^°

因?yàn)? 所以

（2）當(dāng)曲柄 OA 未開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， O，A，B 三點(diǎn)共線，如圖5所示，點(diǎn) B 在點(diǎn) B^′ 的位置，點(diǎn) A 在點(diǎn) A^′ 的位置，

此時(shí) ：

當(dāng)曲柄 OA 轉(zhuǎn)動(dòng)使得 AB 首次與圓 O 相切時(shí)，由題（1）可知 OB=2AO=16 業(yè)所以 8.綜上所述，滑塊 B 在直線 OB 上移動(dòng)的距離是 ：

（3）如圖6所示，連接 CE，AD 因?yàn)?AB=3BE ，由題（1）可知 ，所以

又因?yàn)?OA=8 ，所以 OD=OC=8 ，CD=16 因?yàn)樗倪呅蜛DCE是圓 O 的內(nèi)接四邊形，所以 ∠CEB=∠D ：又因?yàn)?∠B=∠B ，所以 ΔCEB 與 ΔADB 相似，所以 ，自 可解得 （已舍去負(fù)值），所以 在 ΔAOB 中，

所以，由勾股定理逆定理可得知， ΔAOB 是直

角三角形，即 ∠AOC=90^° ·綜上所述，可求得曲柄 OA 掃過(guò)的面積是：

4結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)一道例題的深入剖析，詳細(xì)地展示了如何將圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中.在解決實(shí)際生活中與圓相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，不僅加深了學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解，還極大地激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)還鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力和問(wèn)題分析能力.